基于潛在狀態變量的多結構突變同時檢測方法

王小剛

（北方民族大學 數學與信息科學學院，銀川 750021）

0 引言

結構突變的識別、估計和檢驗一直是統計學和計量經濟學中的熱點問題之一，許多學者對該問題進行了廣泛而深入的研究。隨著經濟、金融、生物等領域中面板數據的頻繁使用，在面板數據模型中深入研究結構突變理論就成為統計學家重要的研究方向之一[1,2]。在面板數據中研究結構突變理論，不僅給研究者和政策制定者理解突變點的實際意義提供了理論保證和指導作用，而且為有針對性地提出和制定政策提供了重要的參考價值，對防范崩潰式的突變有重要的風險警示意義。

目前，在存在多個結構突變的檢測中，通常采用的辦法是序貫檢測方法，即先假定只存在一個突變點進行檢測，然后利用已估計的突變點將數據分為兩段（突變前數據和突變后數據），再利用前述方法進行檢測，直至檢測不出突變點為止。序貫檢測方法易于理解、操作性強，缺點在于不能滿足同時檢測情形，不利于實時監測突變。在實際應用中，經常會考慮突發事件（如金融危機、財政貨幣政策變化、技術變革等）對社會、經濟、金融領域的影響，此時如何正確管理風險取決于人們能否快速的檢測到發生突發事件的時間和影響程度。此時，人們可能更加關心同時檢測出多個影響時刻而不是序貫檢測多個時刻。

多個結構突變的同時檢測方法主要基于貝葉斯方法，通過將突變參數的估計轉化為對潛在狀態變量的估計來解決。Chib[3]提出了不可逆的隱馬爾可夫鏈方法對多突變進行估計，通過對狀態變量的檢測來檢測突變點的個數和位置，這種方法對描述復雜的突變點非常有效，Pesaran等[4]將其應用于檢測時間序列數據中的多個突變。該方法通常得到的后驗分布需通過MCMC遞歸抽樣得到，即先在樣本和其他參數已知的條件下對狀態進行抽樣，然后在樣本和狀態已知的條件下對參數和轉移矩陣抽樣[3,5]。通過定義潛在狀態變量估計多個突變點的方法有三個方面的優點：一是狀態個數的確定不依賴于樣本也不取決于未來值；二是狀態之間可以提供更多關于共同分布的信息；三是該方法計算量小，可靠性強。但是，該方法的缺陷在于過于繁瑣，Geweke和Jiang[6]通過用一個Bernoulli潛變量st表示狀態改變的做法簡化了上述方法，假設時間序列數據存在多個突變點，令觀測值服從均值和方差存在突變點的正態分布，對均值參數、方差參數以及狀態變量引入先驗分布，利用分層貝葉斯方法解決對狀態變量的估計，從而得到多個突變點的估計，但是Geweke和Jiang[6]的方法并不能適用于面板數據。本文基于潛在狀態變量對存在的多個結構突變的面板模型進行同時檢測，利用貝葉斯方法和不可逆隱馬爾可夫鏈檢測面板數據中存在的多個突變，得到突變點的個數和位置估計，并將該方法應用到2003—2014年中國五省市的通貨膨脹數據的檢測中，發現存在四個突變點，并對每個突變點產生的原因做了分析。

1 不可逆隱馬爾可夫鏈方法

假設時間序列數據{yt}（t=1,2,…,T）在時間區間[1,T]上存在著M個突變（即M+1個狀態），突變表示為{km}（m=1,2,…,M），當突變點的個數大于1時，聯合密度為f(k1，k2，…，kM)，即：

在估計參數時，需要給出[1，T]上每一突變點km可能的取值，即：

令 ST=(s1，s2，…，sT)，其中每一個分量 st都是表示狀態離散的潛變量，取值集合為{1，2，…，M+1}（假設t=1時刻時狀態為1，則最后一個狀態為M+1），且有 s1＜s2＜…＜sT。序列{st}為馬爾可夫鏈，記其轉移矩陣為P：

其中 pij=prob(st=j|st-1=i)是給定t-1時刻狀態為i的條件下t時刻跳轉到狀態j的概率，且pii+pi,i+1=1。盡管該方法并未直接給出km的估計值，但可以通過計算每段{t:st=m}的長度而得到km的估計。每個突變點發生的時刻即為st值向前跳轉一步的時刻：

該方法將原本每個個體需要估計TM次的復雜步驟簡化為每個個體只需估計M個參數{pmm}即可，所以能大大提高計算效率。突變點的概率可以表示為：

其中t0=0。若已知的待估參數θ和轉移矩陣P的先驗分布，可以利用貝葉斯公式得到參數的后驗密度：

Geweke和Jiang[6]通過用一個Bernoulli潛變量st表示狀態改變的做法簡化了上述方法，假設時間序列數據yt存在多個突變，假設發生突變的概率是相同的，用 prob表示，若st=0表示t和t+1時刻在同一狀態里，st=1表示t和t+1時刻不在同一狀態。在每個狀態jt時，假設觀測值服從均值和方差存在突變的正態分布，即：

然后對均值參數、方差參數以及狀態變量引入先驗分布，利用分層貝葉斯方法解決對狀態變量的估計，從而得到突變的估計。

2 基于潛在狀態變量的多結構突變檢測方法

2.1 模型介紹

本文將在靜態面板模型中引入潛在的狀態來描述突變，通過對狀態的識別得到突變估計。假設狀態之間的改變用Bernoulli潛變量st表示，prob(st=1)=π。令：

對于面板數據 yit，i=1，2，…，N，t=1，2，…，T ，在每一個狀態 jt下（在不引起混淆的情況下簡寫為狀態 j），考慮最簡單的情形：

其中 εit～iid N(0，h-1ij)，假設參數向量 (μij，hij)服從正態伽瑪分布，即：

2.2 突變估計的貝葉斯方法

因為 s=(s1，s2，…，sT-1)'是一個含參數 π 的Bernoulli過程，密度為：

其他參數的先驗密度為：

對于個體i和 j=1，2，…，J，相應的后驗密度為：

其中：

因為隨機向量(μij，hij)是條件獨立的，并且對于每個個體i服從正態伽瑪分布，故：

其中：

從上述參數分布中可以得到參數的邊際后驗密度：

將上式中其他參數積分掉，即可得到其他參數的邊際后驗密度：

3 五省市CPI通脹率突變的貝葉斯分析

居民消費價格指數（CPI）反映的是在一定時期內居民所消費商品和服務項目的價格水平變動趨勢和程度，居民消費價格水平的變動率在一定程度上反映了通貨膨脹（或通貨緊縮，簡稱通脹或通縮）的程度，在研究中常用CPI通脹率作為衡量通脹水平的一個數指標[7]。一般認為CPI增長率在3%以內屬于溫和通脹，而超過5%則屬于嚴重通脹。而通貨膨脹作為貨幣政策分析的重要變量，不僅是國家宏觀經濟政策調控的參考指標，而且關系到經濟發展和社會穩定。它既是全球央行制訂貨幣政策的重要指標，也是中國人民銀行構建和完善貨幣政策傳導機制的核心要素。

目前，在研究通脹率的文獻中，常采用的通脹率指標有CPI通脹率、商品零售價格指數通脹率（RPI）、GDP平減指數通脹率和核心CPI通脹率等，基于不同指數計算的通脹率側重點不同[8]。其中，由于CPI數據的可獲得性高和分析中的頻繁采用，所以在分析中常通過對CPI數據計算而得的CPI通脹率來研究通脹問題。

然而，通脹過程在貨幣政策和經濟環境的作用下不是一成不變的，當遭受重大沖擊后可能會使得模型結構發生某種變化，也會導致各省市通貨膨脹的動態過程發生突變，而度量這種變化的重要方法之一是在模型中引入結構突變，但現有的文獻較少對通脹過程存在的突變進行研究。事實上，我國是一個經濟發展很不平衡的國家，這種不平衡導致我國各省市通脹過程存在著顯著差異，因而有必要對各省市通脹過程存在的突變進行研究。與宏觀政策和貨幣政策的結構變化相吻合，中國的通脹率自20世紀90年代以來經歷了沖高回低的顯著變化。然而已有的文獻中基于突變對通脹問題進行深入研究的卻相對較少，張成思和劉志剛[9]基于中國CPI通脹率的研究發現我國通脹水平一直處于高位運行，1996年末發生了突變，此后通脹水平雖有所下降，但仍保持較高水平。下面將利用已給出的面板數據均值方差發生多個突變的貝葉斯方法對我國五省市CPI通脹率的動態過程進行研究，并從研究結果中分析CPI通脹率發生突變的原因。

3.1 五省市CPI通脹率的描述性分析

為了更直觀地反映通貨膨脹的動態過程，本文選取北京、上海、江蘇、浙江和廣東這五個中國經濟最發達的省市2003—2014年的CPI通脹率月度數據為樣本進行研究，數據來源于中經網統計數據庫。雖然目前的學術界將2000年作為我國新一輪經濟周期的開始，但是2000年和2001年的CPI都低于1%，2002年還出現了物價下跌和通貨緊縮現象，故本文選取2003年作為研究CPI通脹率的起始點，為了避免類似春節等重要的節假日因素對通脹率的影響，將月度數據轉化為季度數據。首先將五省市2003年1月到2014年12月的CPI月度環比數據轉化為以2003年1月為基期的定基數據，在此基礎上得到季度CPI數據，以季度數據的增長率為CPI通脹率數據（下文簡稱通脹率）。

圖1 中國五省市2003Q1—2014Q4的通脹率

圖1給出了2003年1季度到2014年4季度五省市通脹動態過程的折線圖，以反映我國五省市通脹的規律和特點。整體來看，這五省市的通脹是溫和的，不確定性和波動性在逐漸減小。從圖1中可以看出，五省市通脹率的動態走勢相似，皆圍繞著橫軸上下波動，波動范圍為-4%～4%。而2003年1季度到2006年3季度之間五省市通脹率的波動幅度較大，但在2006年4季度到2007年4季度間波動減小，呈現通脹趨勢，2008年1季度到2011年2季度之間波動幅度最大，呈現先通脹后通縮趨勢，2011年3季度之后波動性減小，呈現通貨緊縮趨勢。五省市通貨膨脹的動態過程大體相似，通脹率的描述性統計量由表1給出。

表1 2003Q1—2014Q4五省市通脹率的統計特征

由表1可知，五省市通脹率的均值和標準差之間的差異幾乎不顯著，這意味著五省份通脹率可能有相似的結構，有利于本文使用結構突變模型對五省市的通脹率進行分析。而基于不同省市標準差和均值綜合考慮的變異系數來看，五省市通脹率的變異系數存在差異，北京的通脹率變異程度最高，其次是浙江、廣東和江蘇，最后是上海。那么這些表面上的差異是否會對五省市的通貨膨脹動態過程產生不同的特征呢？接下來，本文將利用面板數據模型擬合這五省市的通脹率，并嘗試基于該模型研究五省市通貨率的突變點，以此劃分通脹率的變化特征。

3.2 五省市通脹動態過程結構突變的貝葉斯分析

對于北京、上海、江蘇、浙江和廣東五省市的通脹率數據 πit，i=1，2，…，5，t=1，2，…，48，在每一個狀態 jt下，假設：

參數向量(μij，hij)的先驗分布假設為正態伽瑪分布，即：

步驟1：用樣本均值表示 yi=(yi1，yi2，…，yiN)'的無條件均值，即：

步驟4：hiμ*的均值可以利用 yi方差的4倍與五省市年通脹率的方差之比得到，其中年通脹率用每年各季度通脹率的平均值替代，故：

取 -νi=8 ，則 -si=8/E(hiμ*)。

步驟5：π的識別是利用季度數據可能的最大突變個數與樣本中可能的突變的個數之比得到（T-1=47），即令

步驟6：除指數分布的參數外，其他先驗參數的標準差取為相應均值的一半。

先驗參數的選取見表2。

表2 先驗參數的選取

3.3 結構突變估計

基于模型和表2中對參數先驗分布的選取，對五省市的通脹率進行擬合，并估計了通脹率突變個數和位置。為了保證貝葉斯估計結果的收斂性，本文選取了三組不同的初始值生成三條馬爾可夫鏈，每條馬爾可夫鏈的迭代次數為110000次。為了避免初始值的影響本文去除前10000次burn-in樣本，最后得到包含1000次抽樣的后驗樣本。估計結果見圖2和表3。

圖2 狀態變量個數后驗分布的直方圖

圖2給出了狀態變量個數后驗分布的直方圖，其后驗均值為4.09，后驗標準差為2.76，后驗中位數為4，置信水平為95%的后驗區間為[2,11]。表3給出了五省市通脹率突變的分層貝葉斯估計中后驗概率最大的七個時間點，這七個時間點就是通脹率最有可能發生變化的位置。從圖2中可以看出，當狀態變量的取值為4時后驗分布的概率最大。由此本文認為五省市在樣本期2003年1季度到2014年4季度間最有可能存在4個狀態，即3個突變點，突變點的可能位置可由表3得出。

表3 具有高后驗概率的結構突變估計

由表3可得，其中2006年第4季度、2008年第1季度、2013年第3季度的后驗概率最大，其中2007年第3季度和2008年第1季度相距很近，本文認為只有2006年第4季度、2008年第1季度和2013年第3季度是檢測出的突變點時刻，這與狀態變量的估計結果和對圖1的分析基本吻合。

本文以上述四個突變時刻作為界限將樣本分為五個狀態，分析四次突變前后五省市通脹率的變化，見表4。

表4 五階段通貨膨脹特征

由表4可知在狀態一時間段內，五省市通脹率的波動幅度較大，通脹和通縮交替出現，在階段二，通脹率波動逐漸減小，而且呈現通貨膨脹特征，階段三是波動幅度最大的階段，呈現先通縮后通脹特征，階段四通脹率波動較小，但呈現通貨緊縮特征。

下面對各個階段進行分析，從中得到發生結構突變的原因。

階段一：2003年1季度到2006年3季度之間的振蕩特征是大規模投資導致對鋼鐵、水泥、橡膠等原材料和石油、煤炭等資源的需求過大，推高了該類資源價格的上漲造成的高通脹和政府為抗通脹而實施的穩健的貨幣政策而形成的低通脹交織的結果。

階段二：從2006年4季度起，我國經濟出現了一輪連續的較為明顯的通貨膨脹，其原因是高速增長的固定資產投資推動了工業原材料和資源價格的上漲，而農產品價格帶動了物價上漲，從而加重了通脹壓力，2007年全年CPI漲幅累計達4.8%，表現為通脹。

階段三：雖然2008年第1季度的CPI總體漲幅達8.0%，但是隨著2008年下半年全球金融危機的蔓延，我國CPI同比增長率持續下滑，經濟增長速度正在放緩，中小企業面臨生存困境，從而進入通貨緊縮階段。隨后，政府實施積極的財政政策和寬松的貨幣政策時，進行了新一輪的基礎建設投資，五省市很快從金融危機的影響中走出，擴大的國內市場需求、人民幣連續升值及流動性轉移等輸入型通貨膨脹等內外因素導致價格水平不斷推高，形成了本階段后期的通脹。

階段四：隨著經濟刺激政策效果的不斷延續，通脹壓力也在逐漸減小，宏觀經濟政策從“穩增長、調結構”轉向了“重視結構調整和增長質量”，GDP增速開始放緩，投資持續回落，居民收入增速放緩，出口持續改善，物價漲幅地位運行，呈現通縮特征。

4 結論

本文通過引入潛在的狀態變量，利用貝葉斯方法在靜態面板模型中同時檢測存在的多個結構突變，得到了突變的后驗分布，給出了在面板數據中同時估計多個結構突變的方法，推廣了Geweke和Jiang（2011）[6]的方法。

選取2003年第1季度到2014年第4季度的北京、上海、江蘇、浙江和廣東的CPI通脹率季度數據作為研究對象，分析了經濟環境變化沖擊對通脹率的影響，發現2006年第4季度、2008年第1季度和2013年第3季度存在突變，通過對不同階段的分析解釋了發生突變的成因。利用貝葉斯方法對五省市通脹率存在的突變進行研究，得到以下兩個結論：

（1）我國五省市的通脹率存在結構突變，在歷史時期上表現出四次明顯的變化特征。這說明隨著我國經濟結構改革的不斷深化和宏觀經濟調控手段的逐步完善，通貨膨脹系統內某些經濟參數產生了明顯的變化，從而發生了突變。檢測結果表明突變發生在2006年第4季度、2008年第1季度和2013年第3季度。

（2）雖然我國在2005—2007年經濟起伏較大，發生較快的物價上漲，但經模型檢測表明這期間不存在變點，直到2008年1季度之后通脹率才發生變化。另外，我國政府在宏觀經濟調控中相機抉擇的經濟政策可能也是影響通脹率變化特征的一個因素。

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