證據理論視角下區間概率信息風險型決策新方法

閆 英,周中林,袁 明,甘 蜜

（1.西南科技大學 經濟管理學院,四川 綿陽 621010；2.西南交通大學 交通運輸與物流學院,成都 610031）

0 引言

在現實的決策過程中，由于問題的復雜性、知識經驗的限制和預測的不確定性，方案的屬性或決策者偏好有可能表現為隨機變量，即決策者無法準確預知未來的狀態，但可以預估各種可能狀態的概率，這類決策問題被稱為風險型決策問題。由于風險型決策廣泛存在于項目投資分析、風險評估、新產品研發評估等社會經濟領域，因此近年來國內外學者開展了較多研究，其中區間概率信息條件下的風險型決策問題受到了較多關注[1-4]。

區間概率信息條件下風險型決策的關鍵是如何將區間概率合理轉化為點概率，從而便于后續決策。文獻[1]、文獻[2]均采用C-OWA算子將區間概率轉化為點概率，具有一定的合理性，但基本單位區間單調函數的確定具有較大的主觀隨意性，文中也未指出其確定的原則，因此有可能影響到決策的準確性；文獻[3]從信息熵的角度出發，提出了一種基于最大熵準則的區間概率估計方法，通過求解最優規劃問題可以將區間概率轉化為點概率，但該方法存在區間概率改變時最優解可能不變的問題，可能得出有悖于常理的結論（詳見實例分析）；文獻[4]提出了一種基于Monte Carlo模擬法的區間概率轉化方法，該方法在其均勻分布假設下抽樣求得的點概率實際上逼近于區間概率的中值，且不能保證轉化后的點概率之和等于1。

實際上，從證據理論的角度來看，區間概率的下界即為信任測度，它表示對某狀態發生為“真”的信任程度，是一種偏保守的估計；區間概率的上界即為似真測度，它表示對某狀態不為“假”的信任程度，是一種偏激進的估計；它們與概率真值之間存在某種聯系。基于此，本文擬從證據理論的視角出發，考慮所有狀態發生可能性的信任測度和似真測度，從已知信息中推測概率真值的最可能估計值，從而較為客觀的將區間概率條件下的風險型決策問題轉化為點概率下的風險型決策問題。

1 證據理論簡介

定義1[5]：設 Θ為辨識框架（The Frame of Discernment），m:2Θ→[0，1]是從冪集到區間數[0,1]的一個映射，即基本概率分配（Basic Probability Assignment，BPA），?X，Y?Θ ，稱由定義的函數Bel:2Θ→[0，1]為 Θ 上的信任函數（Belief Function）；而由 Pl()X=定義的函數Pl:2Θ→[0，1]為Θ上的似真函數（Plausibility Function）；X的信任區間為 P(X)=[Bel(X)，Pl(X)]。

定義2[6]：設m是從冪集到區間數[0,1]的一個映射，即m:2Θ→[0，1]，對于Θ的 n個子集 Ai(i=1，2，…，n) ，其區間基本概率分配（Interval Basic Probability Assignment，IBPA）為：

其中0≤ci≤di≤1。若IBPA同時滿足以下條件：

則稱m為有效的IBPA。

定義3[7]：若 m(Ai)=[ci，di]滿足式（2），為有效的IBPA，當cj、dj同時滿足以下條件時：

稱m為歸一化的IBPA。

若m為有效的IBPA但未歸一化，則為了縮小區間寬度、降低信息冗余，需要按下式進行歸一化處理：

2 證據理論視角下的區間概率信息轉化方法

設需要在方案 ai(ai∈l，i=1，2，…，n)（l為決策空間）中做出決策，其中l有m個自然狀態，第j個狀態發生的概率為 Pj=[cj，dj](j=1，2，…，m)，方案 ai在狀態 j情況下的效用（或收益）為uij。根據EMV準則各方案的期望效用或收益為：

對于一組區間概率信息 Pj=[cj，dj](j=1，2，…，m)，從概率論的角度來說有數學期望E(∑ )Pj=1；從決策者的角度來說希望Belj無限逼近Plj，這樣區間概率就精確化為點概率，便于決策。然而，∑Belj≤1，因此1-∑Belj反映了已知區間概率信息對真實概率Pj低估的部分，稱為下偏離度；∑Plj≤1，因此∑Plj-1反映了已知區間概率信息對真實概率Pj高估的部分，稱為上偏離度。記：

則若α>β，即下偏離度大于上偏離度，說明相對似真函數，區間概率信息對信任函數的賦值過于保守，因此其點概率估計值應朝Plj的方向調整；反之，若α＜β，則說明相對似真函數，區間概率信息對信任函數的賦值過于冒進，因此其點概率估計值應朝偏向Belj的方向調整。

基于以上思想，提出區間概率信息向點概率轉化的公式如下：

式（7）具有以下性質：

證明：

證明：當α=0時，有∑Belj=1，根據式（3）有 Belj≤Plj，同時根據式（2）有Belj≤Plj，兩式聯立求解有Belj=Plj。

當β=0時證明過程類似，在此不再贅述。

3 區間概率信息條件下的風險型決策

區間概率信息條件下的風險型決策步驟如下：

步驟1：根據式（2）檢驗區間概率信息是否為有效的IBPA。若無效，則需組織相關專家、進一步調研和評估后重新給出區間概率的預測值；

步驟2：若區間概率信息為有效的IBPA，則根據式（3）檢驗區間概率是否為歸一化的IBPA，若不是，則按式（4）進行歸一化處理；

步驟3：根據式（6）計算上、下偏離度α、β；

步驟4：根據式（7）將區間概率信息轉化為點概率信息；

步驟5：根據EMV準則選出期望效用或收益最大的方案：

4 實例分析

例1：為便于比較，引用文獻[3]中的例1進行分析。某廠決定生產一種新產品，有以下3個方案供決策：建立新車間大量生產(α1)；改造原有車間達到中等產量(α2)；利用原有車間設備小批試產()α3。市場對該產品的需求情況存在暢銷、需求偏好、需求稍差和滯銷4種自然狀態，3種方案4種自然狀態下的每月利潤如下頁表1所示。

根據市場調研、專家分析等綜合研究，預測產品“暢銷”的可能性為10%～25%，“需求偏好”的可能性為30%～60%，“需求稍差”的可能性為15%～35%，“滯銷”的可能性為5%～15%。現需根據以上信息確定最優方案。

解：

步驟1：經檢驗，區間概率信息滿足式（2），為有效的IBPA；

步驟2：根據式（3），驗證區間概率信息為歸一化的IBPA，因此無須再進行歸一化處理；

表1 各方案每月利潤表

步驟3：根據式（6）計算 α、β，結果為 α =0.4，β=0.55；

步驟4：根據式（7）將區間概率信息轉化為點概率，結果如表2所示。表2中同時列出了本文方法和文獻[1]、文獻[3]法得到的點概率估計值。

表2 不同方法點概率估計值(例2)

步驟5：根據式（8）計算期望收益，結果如表3所示。表3還給出了文獻[1]、文獻[3]的計算結果，可見本文方法和文獻[1]、文獻[3]對決策方案的排序相同，即α1>α2>α3，最優方案為α1，表明了本文方法的正確性。

表3 不同方法EVM值計算結果(例1)

例2：若在例1中，通過分析預測產品“需求稍差”的可能性為15%～60%，其他已知條件不變，現需根據以上信息重新確定最優方案。

解：

步驟1：經檢驗，區間概率信息滿足式（2），為有效的IBPA；

步驟2：經檢驗，區間概率[0.15,0.6]不滿足式（3），因此需要按式（4）進行歸一化處理，結果為[0.15,0.55]；

步驟3：根據式（6）計算 α、β，結果為 α=0.4，β=0.35；

步驟4：根據式（7）將區間概率信息轉化為點概率，結果如表4所示。表4中同時列出了本文方法和文獻[1]、文獻[3]、文獻[4]方法得到的點概率估計值。

表4 不同方法點概率估計值(例2)

步驟5：根據EMV準則計算期望收益，結果如表5所示。表5還給出了采用文獻[1]、文獻[3]、文獻[4]方法的計算結果。

從表5可見，本文方法和C-OWA算子法得出的結果極為相近，本文方法、C-OWA算子法、Monte Carlo法得出的決策方案排序均相同，即α1>α2>α3，最優方案為α2；而熵極大化法的排序結果卻是α1>α2>α3，和其他3種方法得出的結論相矛盾。仔細對比表2與表4可發現，產品“需求稍差”的可能性由例1中的15%～35%變為例2中的15%～60%，從直觀的分析來看，轉化后的點概率應有所增加，本文方法和C-OWA算子法、Monte Carlo法獲得的點概率估計值均和直觀分析相符；而熵極大化法在例1、例2兩種不同條件下得到的點概率估計值竟然完全相同，顯然和客觀信息不符，因此才會最終得到與其他方法相悖的排序結果。從熵極大化法建立的最優化問題來看，當區間概率發生改變時，最優化問題改變的僅僅是解得可行域，實際上，在一個較為寬泛的區間內，最優解是相同的，這就是區間概率信息改變而轉化后的點概率不變的根本原因。雖然Monte Carlo法對決策方案的排序與本文方法相同，但從表4可知轉化后的點概率不滿足，因此對EMV值的評價是不準確的。

表5 不同方法EVM值計算結果(例2)

5 結束語

區間概率信息條件下的風險型決策是決策領域的一類特殊問題，本文從證據理論的視角，充分挖掘已知區間概率中隱含的信息，基于信任測度和似然測度提出了一種新方法。與已有幾種方法的對比表明，新方法簡單明了，具有較好的概率統計性質，且解釋性較好，為區間概率信息條件下的風險型決策問題提供一種新的解決途徑，具有較強的實際應用價值。

[1]陳春芳,朱傳喜.區間概率信息條件下的風險型決策方法[J].統計與決策,2009，(8).

[2]劉培德,張新,金芳.區間概率條件下屬性值為不確定語言變量的風險型多屬性決策研究[J].管理評論,2012,24(4).

[3]何大義.區間概率信息條件下的風險型決策問題的解法探討[J].運籌于管理,2007,16(6).

[4]何大義,周榮喜.區間概率信息條件下的決策方法[J].系統管理學報,2010,19(2).

[5]Dempster A P.Upper and Lower Probabilities Induced by a Multi-Valued Mapping[J].Annals of Mathematical Statistics,1967,38(4).

[6]Denoeux T.Reasoning With Imprecise Belief Structures[J].Interna?tional Journal of Approximate Reasoning,1999,20(1).

[7]Wang Y M,Yang J B,Xu D L,et al.On the Combination and Normal?ization of Interval-Valued Belief Structures[J].Information Sciences,2007,177(5).