廣義有序加權(quán)指數(shù)調(diào)和平均算子及其應(yīng)用

何 霞，劉衛(wèi)鋒

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院，鄭州 450015）

0 引言

集成算子的研究是多屬性決策的一個核心問題，目前，人們提出了許多有效的集成算子用于決策信息集成，諸如WA算子[1]、WG算子[2]、OWA算子[3]、OWG算子[4]、OWH算子[5]、GOWA算子[6]、Bonferroni平均算子[7]、Heronian平均算子[8]等，而且逐漸形成了以研究集成算子的性質(zhì)、分類、構(gòu)造等為內(nèi)容的集成算子理論。

在集成算子的構(gòu)造方面，Yager[9]和Calvo[10]等首先從理論上探討了集成算子與罰函數(shù)之間的關(guān)系，證明了一些常見的集成算子的確可以通過罰函數(shù)而得到的,為研究集成算子的構(gòu)造開辟了一條新途徑。隨后，Calvo和Beliakov等[11]從一般意義上說明了通過罰函數(shù)來構(gòu)造集成算子的條件，并探討了罰函數(shù)與集成算子之間的聯(lián)系。Zhou等通過構(gòu)造不同的罰函數(shù)，得到了多種廣義集成算子，如GOWLW 算子[12]、GOWEP 算子[13]、GOWLP 算子[14]、GOWM算子[15]、GOWP算子[16]以及GOWLH算子[17]等，這些算子豐富了現(xiàn)有集成算子的類型，也對人們構(gòu)造更多類型的集成算子發(fā)揮著積極地啟發(fā)作用。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文繼續(xù)利用罰函數(shù)的思想來構(gòu)建一個廣義集成算子，并研究其決策應(yīng)用。首先，根據(jù)集成數(shù)據(jù)和集成結(jié)果之間的偏差構(gòu)建并求解一個基于罰函數(shù)的最小化優(yōu)化模型，從而定義了廣義有序加權(quán)指數(shù)調(diào)和平均算子(GOWEHA)，并研究了該算子的性質(zhì)。然后，定義了GOWEHA算子的orness測度，探討了orness測度的性質(zhì)，并在給定orness水平下，提出了求解GOWEHA算子權(quán)重向量的最小指數(shù)平方法。最后，提出了一種結(jié)合GOWEHA算子的多屬性決策方法，通過實例說明方法的可行性。

1 相關(guān)概念

為方便起見,約定 I=[0，1]。

定義1[3]:設(shè) a1，a2，…，an∈I為待集成數(shù)據(jù)，若函數(shù)：

則稱OWA為有序加權(quán)平均算子，簡稱為OWA算子，其中 bj為 ai中第 j大的數(shù)，權(quán)重向量為 w=(w1，w2，…，wn)，且

定義2[3]：OWA算子的orness測度定義為orness(w)

定義3[6]：設(shè) a1，a2，…，an∈I為待集成數(shù)據(jù)，若函數(shù)：

則稱GOWA為廣義有序加權(quán)平均算子，簡稱為GOWA算子，其中bj為ai中第 j大的數(shù)，權(quán)重向量為w=(w1，w2，…，wn)，且，參數(shù) λ∈ R-{0}。

定義4[6]：GOWA算子的orness測度定義為

定義5[9-11]：若函數(shù)P:In+1→I滿足下面三個條件:

（1）任意向量 x∈In和數(shù) y∈I，有 P(x，y)≥0；

（2）若 x=y且 y=(y，y，…，y)∈In，則有 P(x，y)=0；

（3）對每個固定的向量x，使得P(x，y)的最小值構(gòu)成的集合是單點集或區(qū)間；

則稱函數(shù)P為一個罰函數(shù)。

2 GOWEHA算子

2.1GOWEHA算子的定義

設(shè) a1，a2，…，an為待集成數(shù)據(jù)，w=(w1，w2，…，wn)為數(shù)據(jù)加權(quán)向量，且。若集成結(jié)果為n元函數(shù) y=f(a1，a2，…，an)，則希望集成數(shù)據(jù)aj與集成結(jié)果 y之間的偏差越小越好，為此構(gòu)造罰函數(shù)J和最小化問題：

其中，λ為參數(shù)，且λ∈R-{0}。

根據(jù)上式，可以定義廣義加權(quán)指數(shù)調(diào)和平均算子。

定義6：設(shè) a1，a2，…，an∈I為待集成數(shù)據(jù)，若函數(shù)：

則稱GWEHA為廣義加權(quán)指數(shù)調(diào)和平均算子，簡稱GWEHA算子，其中 λ∈R-{0}，權(quán)重向量為 w=(w1，w2，…，wn)，且

若將GWEHA算子中的數(shù)據(jù)按降序排列，則可定義廣義有序加權(quán)指數(shù)調(diào)和平均算子。

定義7：設(shè) a1，a2，…，an∈I為待集成數(shù)據(jù)，若函數(shù)：

則稱GOWEHA為廣義有序加權(quán)指數(shù)調(diào)和平均算子，簡稱GOWEHA算子，其中λ∈R-{0}，bj是ai中第 j大的數(shù)，權(quán)重向量為

2.2 GOWEHA算子的性質(zhì)

定理1：設(shè) a1，a2，…，an與 c1，c2，…，cn為待集成數(shù)據(jù)，則：

（1）冪等性：若 ai=a(i=1，2，…，n)，則 GOWEHA(a1，a2，…，an)=a 。

（2）單調(diào)性：若 ai≤ci(i=1，2，…，n)，則 GOWEHA(a1，a2，…，an)≤GOWEHA(c1，c2，…，cn)。

（3）有界性：min{a1，a2，…，an}≤GOWEHA(a1，a2，…，an)≤max{a1，a2，…，an}。

（4）置換不變性：若 ci(i=1，2，…，n)是 ai(i=1，2，…，n) 的 任 意 一 個 置 換 ，則 GOWEHA(c1，c2，…，cn)=GOWEHA(a1，a2，…，an)。

證明：（1）若 ai=a(i=1，2，…，n)，則：

（3）由單調(diào)性和冪等性，易證。

（4）顯然。

下面證明GOWEHA算子關(guān)于參數(shù)λ單調(diào)遞減。

定理2：若 λ1≥λ2，則GOWEHA(λ1)≤GOWEHA(λ2)。

于是：

即GOWEHA算子關(guān)于參數(shù)λ單調(diào)遞減。

2.3 GOWEHA算子的orness測度

定義8：GOWEHA算子的orness測度定義為：

顯然，w=(1，0，…，0) 時，ornessλ(w)=1 ；w=(0，0，…，1)時，ornessλ(w)=0。

由GOWEHA算子的冪等性和單調(diào)性，可得

定理3：0≤ornessλ(w)≤1。

定理4：若 λ1≥λ2，則 ornessλ1(w)≤ornessλ2(w)。

2.4 GOWEHA算子權(quán)重向量確定

當不考慮權(quán)重分布情況下，如果要求權(quán)重分量越接近越好，則可以在給定的orness水平下，通過構(gòu)造下面優(yōu)化模型來確定GOWEHA算子的權(quán)重向量：

利用該優(yōu)化模型求解GOWEHA算子權(quán)重向量的方法稱為最小指數(shù)平方法。

例1：設(shè) n=6，λ=1，orness水平分別為：0，0.1，0.2，…，0.9，1時，利用LINGO軟件求得GOWEHA算子的權(quán)重向量見表1所示。

表1 GOWEHA算子的權(quán)重向量

由表1可以看出，隨著orness水平增加，權(quán)重w1單調(diào)增加，而 w6單調(diào)遞減，權(quán)重 w2，w3，w4，w5均為先增加后遞減，且orness水平為0.5左右時權(quán)重相等。

3 決策應(yīng)用

設(shè) X={x1，x2，…，xm} 為方案集，C={c1，c2，…，cn} 為屬性集。假設(shè)決策者給出的原始決策矩陣為A=(aij)mn，其中 aij(i=1，2，…，m，j=1，2，…，n)表示決策者給出的方案 xi關(guān)于屬性 cj的屬性值,w=(w1，w2，…，wn)為屬性權(quán)重向量，且

為了可以直接集成屬性值，需要對屬性值進行規(guī)范化。屬性可以分為效益型屬性和成本型屬性，令I(lǐng)1表示效益型屬性，I2表示成本型屬性，則由決策矩陣A可以得到規(guī)范化決策矩陣R=(rij)mn，其中

下面提出一種基于GOWEHA算子的多屬性決策方法，具體步驟如下：

步驟1：專家根據(jù)實際情況創(chuàng)建原始決策矩陣A；

步驟2：通過規(guī)范化處理，得到規(guī)范化決策矩陣R；

步驟3：根據(jù)最小指數(shù)平方法，求出屬性權(quán)重向量w=(w1，w2，…，wn)。

步驟4：利用GOWEHA算子，由規(guī)范化決策矩陣求出方案xi的綜合屬性值ri。

步驟5：根據(jù)方案xi的綜合屬性值ri的大小實現(xiàn)方案排序擇優(yōu)。

例2：某投資商準備投資一個公司，經(jīng)過市場分析，他考慮了5家公司：x1為一家計算機公司，x2為一家汽車公司，x3為一家家具公司，x4為一家食品公司，x5為一家化工公司。為了選出最好的投資對象，該投資商組織了一個專家組對5家公司進行考察.經(jīng)過仔細分析研究，專家組從6個方面對投資對象進行評價：c1為期望效益，c2為技術(shù)能力，c3為市場競爭力，c4為承擔(dān)風(fēng)險能力，c5為管理能力，c6為組織文化。專家給出的原始決策矩陣分別為：

根據(jù)專家組的原始決策矩陣，利用GOWEHA算子對5家待投資公司進行排序擇優(yōu)。

步驟1：專家根據(jù)實際情況給出原始決策矩陣,見表2所示。

表2 原始決策矩陣A

步驟2：將原始決策矩陣規(guī)范化，得到規(guī)范化決策矩陣，見表3所示。

表3 規(guī)范化決策矩陣R

步驟3：根據(jù)最小指數(shù)平方法(λ=1，α=0.5，n=6)，求出 屬 性 權(quán) 重 向 量 w=(0.2033，0.1942，0.1783，0.1586，0.1394，0.1262)。

步驟4：利用GOWEHA算子(λ=2)，求出方案 xi的綜合屬性值ri分別為：r1=0.8456，r2=0.8667，r3=0.6982，r4=0.8133，r5=0.8551

步驟5：根據(jù)r2>r5>r1>r4>r3可知，方案排序為 x2?x5?x1?x4?x3。因此，該投資商可以優(yōu)先考慮向食品公司x2投資。

為了考查GOWEHA算子中參數(shù)λ對集成結(jié)果的影響，分別選取參數(shù) λ=±1，±2，±5，±8，±10，計算出方案綜合屬性值，并將綜合屬性值和排序結(jié)果，見表4。同時將根據(jù)OWA算子,OWG算子和OWH算子得到的綜合屬性值和排序也一起列入表4。

表4 方案綜合屬性值和方案排序

由表4可知，當 λ=-10，-8，-5，-2，-1，→0，1時，雖然方案排序略有變化，但是最優(yōu)方案均為x5；而當λ=2，5，8，10時，方案排序稍微有變化，但最優(yōu)方案為 x2；因此參數(shù)λ的變化會對方案排序結(jié)果有著重要的影響。由于λ→0時，GOWEHA算子的極限就是OWA算子，因此由二者得到的綜合屬性值和方案排序完全相同。同時，由OWG算子得到的排序結(jié)果與GOWEHA算子參數(shù)λ=2時方案排序完全相同。而由OWH算子得到的排序結(jié)果與GOWEHA算子參數(shù)λ=5，8，10時方案排序基本保持一致。因此從該例可以看出，通過OWA算子、OWG算子和OWH算子得到的方案排序可以歸結(jié)為，當參數(shù)λ取不同值時，由GOWEHA算子得到的方案排序，故而GOWEHA算子更具有一般性。

4 結(jié)束語

根據(jù)罰函數(shù)思想，通過構(gòu)建偏差函數(shù)定義了GOWEHA算子，并研究了其單調(diào)性、冪等性、有界性和置換不變性等性質(zhì)。隨后，定義了GOWEHA算子的orness測度，探討了其orness測度的性質(zhì)，并在給定orness水平下，提出了求解GOWEHA算子權(quán)重向量的最小指數(shù)平方法。最后，結(jié)合GOWEHA算子提出一種多屬性群決策方法，并通過應(yīng)用實例說明決策方法的可行性。研究結(jié)果進一步豐富了廣義集成算子決策理論和方法。

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