極端事件的重現(xiàn)間隔和風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)

張 馳，王 飛

（東南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京 211102）

0 引言

極端事件是指量級顯著超過平均值的事件，與一般事件不同，極端事件發(fā)生的概率較低，但產(chǎn)生的影響巨大[1]。在很長一段時(shí)間內(nèi)，極端事件通常被認(rèn)為是自發(fā)性的，即相互之間互不影響。然而，越來越多的研究表明，極端事件的發(fā)生并非互相獨(dú)立。相反，極端事件之間相互聚集，如氣溫異常、暴雨連降和金融市場中價(jià)格劇烈波動均集中在較短的時(shí)間區(qū)間內(nèi)。在金融市場中，極端事件發(fā)生的頻率要高于正態(tài)分布并帶有復(fù)雜特征，投資者很難通過分散投資使自己保持完全對沖狀態(tài)[2]。極端事件的發(fā)生也會對市場造成巨大傷害，市場動蕩嚴(yán)重時(shí)國家經(jīng)濟(jì)的正常運(yùn)行也會受到影響。因此，了解極端事件的特征對市場管理和風(fēng)險(xiǎn)控制都至關(guān)重要。在時(shí)間序列分析中，極端事件一直是重要的研究問題，然而，極端事件發(fā)生的低概率使得數(shù)據(jù)不足以支撐從統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上對其進(jìn)行研究[3]。為了解決數(shù)據(jù)不足問題，本文使用重現(xiàn)間隔方法進(jìn)行分析。

重現(xiàn)間隔是指發(fā)生在兩個(gè)連續(xù)極端事件之間的時(shí)間間隔。目前，重現(xiàn)間隔分析已被廣泛應(yīng)用于諸多系統(tǒng)的時(shí)間序列中[4-6]。近年來，大量的金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的產(chǎn)生使得能夠通過重現(xiàn)間隔分析對金融市場的極端事件進(jìn)行相對準(zhǔn)確的分析。通過研究金融市場極端事件之間的重現(xiàn)間隔，能夠更好地理解金融市場的波動特征和進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)。從2015年開始，中國股市經(jīng)歷了金融危機(jī)之后不曾有過的劇烈波動，價(jià)格的大幅波動為使用重現(xiàn)間隔分析方法提供了大量數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，市場和政府可以預(yù)測此類波動是否會再次發(fā)生。因此，不同幅度波動之間的時(shí)間間隔也成為了市場和政府關(guān)心的內(nèi)容。波動之間是否具有相關(guān)性，對短期和長期時(shí)間范圍內(nèi)的其他波動如何影響？能否通過已經(jīng)發(fā)生的波動對未來波動發(fā)生的時(shí)間和幅度做出預(yù)測？波動如何幫助風(fēng)險(xiǎn)度量？通過研究波動之間的重現(xiàn)間隔，可以為了解中國股市提供重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和指導(dǎo)意義。本文以中證500股指期貨為例，研究股市的波動規(guī)律。

1 模型設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)描述

1.1 模型設(shè)計(jì)

重現(xiàn)間隔τ是指給定某一閾值q時(shí)，低于（或超過）閾值的兩個(gè)連續(xù)的波動之間的等待時(shí)間。假設(shè)t時(shí)刻波動幅度大于q，由于此處q為負(fù)值，因此有R(t)＜q。則重現(xiàn)間隔可以表示為：

其中,t、t'代表時(shí)刻，R(t')為標(biāo)準(zhǔn)化處理過后的波動序列。重現(xiàn)間隔分析則是針對重現(xiàn)間隔τ所包含的性質(zhì)進(jìn)行研究的過程。

1.2 數(shù)據(jù)描述

中證500股指期貨合約標(biāo)的為中證指數(shù)有限公司編制和發(fā)布的中證500指數(shù)，交易代碼為IC。中證500股指期貨合約仿真交易自2014年3月21日開始，合約交割月份分別為交易當(dāng)月起連續(xù)的兩個(gè)月份，以及三月、六月、九月、十二月中兩個(gè)連續(xù)的季月，共四期，同時(shí)掛牌交易。

中證500股指期貨交易采用集合競價(jià)和連續(xù)競價(jià)兩種交易方式。集合競價(jià)時(shí)間為每個(gè)交易日9:10—9:15，其中9:10—9:14為指令申報(bào)時(shí)間，9:14—9:15為指令撮合時(shí)間。連續(xù)競價(jià)時(shí)間為每個(gè)交易日9:15—11:30（第一節(jié)）和13:00—15:15（第二節(jié)），最后交易日連續(xù)競價(jià)時(shí)間為9:15—11:30（第一節(jié)）和13:00—15:00（第二節(jié)）。

本文中，中證500股指期貨價(jià)格數(shù)據(jù)來自于通達(dá)信數(shù)據(jù)庫，樣本周期始于2014年5月19日，終于2016年10月31日，去除周末以及節(jié)假日，最終樣本包括97501條數(shù)據(jù)。隨后對價(jià)格序列取對數(shù)并做一階差分處理，即，其中 p(t)是在第t分鐘時(shí)股指期貨的價(jià)格。由于使用的是1分鐘高頻數(shù)據(jù)，因此?t取1，取對數(shù)并一階差分處理之后的時(shí)間序列見圖1。圖1中清晰地顯示出了存在波動聚集的現(xiàn)象，說明存在長期相關(guān)性。其統(tǒng)計(jì)學(xué)特征見表1。

圖1 中證500股指期貨對數(shù)一階差分值

表1 中證500股指期貨對數(shù)一階差分值的統(tǒng)計(jì)學(xué)特征

2 實(shí)證分析

2.1 經(jīng)驗(yàn)概率分布

首先對r(t)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：

中證500股指期貨波動的重現(xiàn)間隔的概率密度函數(shù)使用廣延指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合[7，8]，其中是給定閾值q時(shí)的重現(xiàn)間隔均值，其余參數(shù)通過最大似然法進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果見表2。

表2 拉伸式指數(shù)函數(shù)參數(shù)估計(jì)

圖2顯示了不同閾值q下波動重現(xiàn)間隔τ的經(jīng)驗(yàn)概率分布Pq(τ)。隨著閾值|q|的上升，重現(xiàn)間隔中長間隔的數(shù)量增加而短間隔的數(shù)量減少，這意味著愈加劇烈的波動，兩次波動之間時(shí)間間隔長度更有可能增加而不是減小。從圖2中還可以看出，雖然閾值不同，但每個(gè)閾值的重現(xiàn)間隔的概率密度函數(shù)擬合曲線卻有著相似的形狀。因此，重現(xiàn)間隔τ的概率分布函數(shù)之間是否存在可能的標(biāo)度行為也就成為了本文關(guān)心的重點(diǎn)。

圖2 中證500股指期貨波動重現(xiàn)間隔概率密度分布

根據(jù) Yamasaki[9]的研究，本文使用標(biāo)度重現(xiàn)間隔 τ/進(jìn)行研究，且標(biāo)度重現(xiàn)間隔的概率分布服從其中為平均重現(xiàn)間隔，當(dāng)閾值 q 不同時(shí)，也會隨之變化，且有，說明隨著波動幅度的加劇，重現(xiàn)間隔的平均時(shí)長也會增加，這也和事實(shí)相符。如果函數(shù)獨(dú)立于 q，那么將存在單一函數(shù) f(x)，使得對于不同的閾值q有，即標(biāo)度重現(xiàn)間隔的概率分布會向單一曲線收斂且重現(xiàn)間隔具有標(biāo)度行為。為了檢驗(yàn)這一點(diǎn)，本文在圖3中列出了作為函數(shù)的散點(diǎn)圖。從圖3中可以清楚地看出，對于不同的閾值并未向同一條曲線收斂。也說明此處重復(fù)間隔并不具有標(biāo)度行為，無法通過標(biāo)度處理使得可以根據(jù)小波動行為推測出大波動行為。

圖3 中證500股指期貨波動重現(xiàn)間隔的標(biāo)度概率密度分布

2.2 記憶效應(yīng)

2.2.1 短期相關(guān)性

為了研究重現(xiàn)間隔的短期相關(guān)性，本文首先分析條件概率密度分布函數(shù)，是指給定閾值q時(shí)，在重復(fù)間隔τ0之后出現(xiàn)重復(fù)間隔τ的概率。如果重現(xiàn)間隔中不存在短期相關(guān)性，則獨(dú)立于τ0。為了得到更好的數(shù)據(jù)，本文并不選擇單一數(shù)值的τ0進(jìn)行研究，而是針對某一范圍的τ0進(jìn)行分析。

對于給定的閾值q，將其重現(xiàn)間隔按照遞增序列進(jìn)行排列，得到集合Q，將集合Q分為大小相同的四個(gè)子集，,且。則重現(xiàn)間隔最小的1/4集中在Q1中而最大的1/4集中在Q4。本文估計(jì)了條件概率密度函數(shù)，如果重現(xiàn)間隔之間不存在短期相關(guān)性，則可以得出

圖4 中證500股指期貨波動重現(xiàn)間隔條件概率密度函數(shù)Pq(τ|τ0)

2.2.2 長期相關(guān)性

為了研究重現(xiàn)間隔中可能存在的長期相關(guān)性，本文采用消除趨勢波動分析法（Detrended fluctuation analysis）進(jìn)行研究[10]。Chen和Hu[11,12]的研究表明，消除趨勢波動分析法是檢驗(yàn)時(shí)間序列是否存在長期相關(guān)性的有效方法。DFA通過計(jì)算消除趨勢波動函數(shù)F(s)進(jìn)行判別，其中s是時(shí)間單位，并且F(s)與s滿足冪律關(guān)系，即F(s)～sH。H為Hurst指數(shù)，如果H＞0.5，說明序列存在長期相關(guān)性；如果H=0.5，則說明序列不存在長期相關(guān)性。圖5在雙對數(shù)坐標(biāo)系中給出了F(s)的擬合情況，可以看出F(s)與s滿足F(s)～sH關(guān)系，而Hurst指數(shù)可以通過估計(jì)擬合曲線的斜率獲得，參數(shù)估計(jì)結(jié)果見表3。表3的結(jié)果顯示，每一條擬合曲線的Hurst指數(shù)均大于0.5，說明重現(xiàn)間隔之間存在長期相關(guān)性，也證實(shí)了在中證500股指期貨的高頻數(shù)據(jù)中存在長期相關(guān)性。

圖5 消除趨勢波動函數(shù)擬合情況

表3 Hurst參數(shù)估計(jì)結(jié)果

2.3 風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)

圖6顯示了Wq(1|t)與t的函數(shù)關(guān)系，散點(diǎn)部分為實(shí)際計(jì)算值，實(shí)線部分為理論計(jì)算值。從散點(diǎn)部分可以看出，隨著t從1增加到60時(shí)間單位內(nèi)，Wq(1|t)呈緩慢下降趨勢，符合之前內(nèi)容和所驗(yàn)證的存在長期相關(guān)性這一事實(shí)。給定某一閾值q，即可計(jì)算極端事件再次發(fā)生的概率。在實(shí)線部分，可以看出當(dāng)t較大時(shí)，理論值與實(shí)際值更加接近。t愈大，差異愈小，這說明風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)Wq(?t|t)的理論計(jì)算值在短時(shí)期內(nèi)會高估風(fēng)險(xiǎn)。

圖6 Wq(1|t)理論值(實(shí)線)和實(shí)際計(jì)算值(散點(diǎn)標(biāo)志)

在金融市場中，風(fēng)險(xiǎn)的常用指標(biāo)為VaR（在險(xiǎn)價(jià)值），因此本文使用重現(xiàn)間隔分析中的損失概率密度函數(shù)對VaR進(jìn)行估計(jì)。VaR公式為，其中q為損失水平，P*為損失概率，P(R)是標(biāo)準(zhǔn)化序列R(t)的概率密度函數(shù)。在上文中，由于將平均重現(xiàn)間隔定義為，Nq是低于q的重現(xiàn)間隔的數(shù)量，因此約等于R(t)中的樣本總數(shù)，Nq+1等于R(t)＜q樣本的數(shù)量，因此可以得出平均重現(xiàn)間隔和VaR之間的函數(shù)關(guān)系，這意味著定義了風(fēng)險(xiǎn)水平q損失概率。圖7為半對數(shù)坐標(biāo)軸散點(diǎn)圖。如果投資者想知道損失概率為1%時(shí)所對應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)程度時(shí)，可以找到=1%所對應(yīng)q值，即是所求的VaR值。

圖7 中證500股指期貨極端事件平均重現(xiàn)間隔和閉值絕對值的函數(shù)關(guān)系

3 結(jié)論

本文對中證500股指期貨時(shí)間序列在低于不同閾值時(shí)，波動之間的重現(xiàn)間隔特征進(jìn)行研究，以期進(jìn)一步理解金融市場的大幅波動行為，本文主要研究了重現(xiàn)間隔的概率分布和記憶效應(yīng)。通過研究，首先發(fā)現(xiàn)在不同閾值情況下，重現(xiàn)間隔的概率密度函數(shù)服從廣延指數(shù)函數(shù)分布，但是不同閾值下概率分布函數(shù)之間不存在標(biāo)度行為，無法通過標(biāo)度處理以單一函數(shù)形式表示。其次，對重現(xiàn)間隔分別使用條件概率密度函數(shù)和消除波動趨勢分析發(fā)現(xiàn)重現(xiàn)間隔之間存在短期和長期相關(guān)性，與觀察到的波動之間相互集聚這一事實(shí)相符。最后，構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)對中證500股指期貨進(jìn)行了風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)，提供了相對準(zhǔn)確的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)，風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)Wq(?t|t)的理論值和實(shí)際值隨著時(shí)間增加愈加接近，隨后建立了損失概率和VaR之間的關(guān)系。后續(xù)分析可以通過獲取多個(gè)目標(biāo)期貨的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性研究以及擴(kuò)展樣本期間繼續(xù)完善，以幫助投資者更好地進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評估。

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