諧波柔輪力學分析與疲勞壽命研究

葉南海 鄧鑫 何韻 孫昱晗

摘 要：為了完善諧波齒輪剛柔輪系統裝配與嚙合過程中的力學響應及柔輪疲勞壽命研究，提出了一種基于剛柔耦合與瞬態動力學分析理論的剛柔輪系統裝配與嚙合分析方法，得到了更加準確與合理的諧波柔輪裝配及嚙合過程中柔輪的應力分布和疲勞失效位置；柔輪結構和材料參數變化對其疲勞壽命的靈敏度研究，指出了柔輪疲勞設計的關鍵參數，并進一步指出了柔輪的疲勞壽命尺寸效應具有敏感區間，據此建立了柔輪的疲勞壽命模型.結果表明，諧波齒輪剛柔輪系統的力學與疲勞壽命分析不能忽略裝配與嚙合過程的影響；柔輪的設計應該規避疲勞壽命尺寸效應的敏感區間，以提高諧波齒輪的使用壽命.

關鍵詞：諧波齒輪； 瞬態動力學； 剛柔耦合； 靈敏度分析； 疲勞壽命

中圖分類號：TH132.43文獻標志碼：A

Abstract：In order to improve the mechanical response and fatigue life of the flexible spline （FS） during the assembly and meshing of the rigidflexible wheel gear of the harmonic drive， an assembly and meshing analysis method of rigidflexible gear system based on rigidflexible coupling and transient dynamic analysis theory was proposed. Stress distribution and fatigue failure position of FS were obtained more accurately and reasonably. The sensitivity of the structure parameters of FS and material property to its fatigue life indicates that the key parameters of the fatigue design of FS， and the fatigue life size effect of FS which has sensitive range， are also noted. In addition， the fatigue life model of FS was established. The results show that the mechanical and fatigue life analysis of the rigidflexible gear system of the harmonic drive cannot ignore the influence of the assembly and meshing process. The design of flexible wheel should avoid the sensitive range of fatigue life size effect to improve the service life of harmonic drive.

Key words：harmonic drive；transient dynamic；rigidflexible coupling；sensitivity analysis；fatigue life

諧波齒輪是在薄殼彈性變形理論基礎上發展起來的一種傳動裝置，其結構主要包含剛輪（CS）、柔輪（FS）和波發生器（WG）三個部件（以下簡稱剛柔輪系統）.相比傳統減速器，諧波齒輪具有體積小，傳動比大，承載高，傳動效率高等諸多優點，因而被廣泛用于航天航空、軍工裝備、醫療器械、工業機器人等高新技術領域.目前，約90%的諧波齒輪應用在機器人工業和精密定位系統中，已成為現代工業重要的基礎部件.

近年來，有限元分析方法被廣泛用于諧波齒輪的研究[1-2]，Len等人[3]通過有限元的方法研究了齒形幾何結構對諧波齒輪性能的影響，Routh等人[4]也通過有限元方法研究了諧波齒輪柔輪筒體長度對其強度以及傳遞誤差的影響.為了提高計算速度，柔輪1/4模型的分析方法也用于諧波齒輪柔輪強度及疲勞壽命等方面的研究[5-6].但當前國內外對諧波齒輪的數值研究分析多采用靜態方法，忽略了柔輪在工作環境下的嚙合運動特性以及柔輪與波發生器裝配時產生的變形殘余應力[7-8]，邊界條件的嚴重簡化也降低了分析結果的準確性.

本文提出了一種剛柔輪系統裝配分析方法，以研究柔輪在裝配完成后裝配應力的分布情況；在裝配預應力的基礎上，研究了剛柔輪嚙合過程中柔輪的應力分布和疲勞失效位置；此外，研究了柔輪結構的幾何參數和重要材料參數對其疲勞壽命影響的靈敏度，并根據研究結果指出了柔輪疲勞設計的主要設計參數；最后，通過擬合的方法建立了柔輪的疲勞壽命模型.

1 諧波齒輪柔輪受力研究

諧波齒輪工作原理如圖1所示[9].具有柔性軸承的凸輪波發生器為主動，柔輪從動，剛輪被固定.當波發生器裝入柔輪后，迫使圓形原始剖面的柔輪變形，長軸兩端的齒與剛輪齒完全嚙合，而在其短軸處則完全脫開，處于長軸和短軸輪廓之間不同區段內的齒有的嚙入有的嚙出.當波發生器沿著箭頭方向連續轉動時，波發生器迫使柔輪變形不斷變換，柔輪的齒相繼由嚙合轉變為嚙出，由嚙出轉向脫開，由脫開轉向嚙入，由嚙入轉向嚙合.從而實現柔輪相對于剛輪沿著波發生器相反的方向旋轉.

若不考慮柔輪的裝配和嚙合狀況，圖2所示為柔輪彈性齒圈微元段受力示意圖[10].其中，u、w分別定義為齒圈微元段的切向和徑向位移；N11、Q13、M11分別表征內齒圈微元段截面所受的軸向力、剪切力和彎矩；Ft、Fr分別為負載造成的微元段切向和徑向受力.

實際工作狀況下柔輪的變形和應力主要來自裝配和嚙合過程.裝配過程中，波發生器強迫柔輪的彈性筒壁截面輪廓由圓形曲線變形為余弦曲線形狀.嚙合過程中，柔輪的變形位置隨著波發生器的轉動發生周期性變化，并且柔輪和剛輪齒間存在大量的非線性接觸.這些接觸在接觸區域、方向、接觸剛度、摩擦行為等方面也時刻發生著變化，這使得諧波齒輪的工作過程變得極為復雜，相關方面的研究工作也變得相當困難.若將柔輪因裝配和嚙合過程造成的應力變化簡化為線形的，則可將式（5）中的Fr、Ft加以修正，得到新的運動微分方程式（6）.若考慮裝配過程和嚙合過程中應力應變的非線性變化，則柔輪的受力方式將變得異常復雜，本文在此不作深入討論.

2 諧波齒輪有限元模型

2.1 柔輪主要結構參數

本文以某型號的諧波齒輪為研究對象，柔輪結構和變形曲線如圖3所示，主要結構參數如表1所示，柔輪的輪廓變形曲線如式（7）.

2.2 剛柔輪系統裝配分析方法

對諧波齒輪柔輪受力形式的分析，可以比較清楚地知道，忽略柔輪與鋼輪裝配與嚙合過程的影響，用純靜態的方法來分析柔輪的力學或者其他一些機械特性顯然是不合理的.基于此，本文提出的剛柔輪系統裝配模擬分析方法，其目的在于準確了解波發生器與柔輪裝配過程給柔輪殼體變形和應力分布造成的影響，并將柔輪裝配分析的結果作為一種預處理，用于進一步剛、柔輪嚙合的瞬態動力學分析.

具體過程如圖4所示，將波發生器沿短軸對稱切開成波發生器1和波發生器2.初始狀態時波發生器1和波發生器2沿長軸方向有2ω0寬度的重疊區，然后把切開后的波發生器各自沿長軸往遠離中心處的方向位移ω0，最終使柔輪變形為實際裝配結束時的余弦曲線形狀，此后波發生器以2 000 r/min的輸入轉速帶動與之接觸的柔輪轉動，負載扭矩為29 N·m.

2.3 接觸控制

波發生器的連續轉動使其和柔輪內壁的接觸位置也持續變化，二者之間法向無相對運動，只有切向滑動；剛輪和柔輪嚙合時，嚙合部位也時刻發生變化，但接觸區域更多.在分析過程中，柔輪設置為柔性體，剛輪和波發生器為剛體，且剛輪始終被固定.裝配過程中波發生器和柔輪之間的接觸為剛柔接觸，剛輪和柔輪不接觸；嚙合過程中波發生器和柔輪之間的接觸為剛柔接觸，柔輪和剛輪之間也為剛柔接觸[11].由于剛柔輪系統的多區域、大面積接觸及接觸區域變化較快、無法準確判定位置等問題，本文采用直接約束算法，通過編寫程序自動探測運動物體的運動約束和相互作用區域，并施加接觸約束.以剛輪與柔輪齒端接觸為例，其接觸控制流程如圖5所示.

3 分析結果與討論

3.1 裝配分析結果與討論

剛柔輪系統的裝配過程分析，主要是研究裝配完成時柔輪和波發生器的位置關系、柔輪和剛輪的位置關系，以及了解柔輪的變形和柔輪應力分布情況.裝配分析開始后，設定完成時間為1 s，速度v=0.324 m/s.由圖6可知，裝配完成后，柔輪和剛輪之間并無干涉，長軸部分輪齒貼合緊密，短軸區域輪齒分離（規定：0°和±180°表示長軸位置方向角，±90°表示短軸位置方向角，以下各圖相同）.圖7為裝配完成時柔輪端面X、Y、Z向變形曲線.從圖7中可以看出，柔輪各向位移均勻、對稱，最大變形發生在長軸和短軸附近區域.

由圖7可知，X向變形的最大值0.331 mm大于0.324 mm，這是因為柔輪變形過程中，位于短軸區域內的齒圈由于撓性變形往靠近中心的位置收縮，裝配完成后，和波發生器依然不完全貼合，當裝配完成時，內壁母線轉動了角度θ′，柔輪齒端位移L′2除了波發生器平動位移L′1外，還有轉動造成的位移ΔL′，這使得輪齒外端節點位移L′2大于波發生器位移L′1，如圖8（a）虛線位置所示.

同樣，Y向變形的最大值0.387 mm也大于波發生器位移0.324 mm，這是因為柔輪在波發生器的作用下發生變形，波發生器和柔輪內壁并不能完全貼合，實際接觸區域只有波發生器靠近光滑筒壁的小部分區域，柔輪產生撓性變形.當裝配完成時，內壁母線轉動了角度θ，柔輪齒端位移L2除了波發生器平動位移L1外，還有轉動造成的位移ΔL，這使得輪齒外端節點位移L2大于波發生器位移L1，如圖8（b）虛線位置所示.

綜合以上分析結果可知，剛柔輪系統裝配模擬完成時，柔輪和剛輪之間的位置及柔輪的變形是合理的，這與實際裝配完成時長軸方向輪齒嚙合，短軸方向輪齒分離結果相符.柔輪裝配過程中最大應力σmax隨時間t的變化趨勢如圖9所示.由圖9可知，柔輪最大應力變化可分為三個階段：波發生器與柔輪接觸開始至0.56 s，柔輪的最大應力呈線性增長；0.56 s至0.88 s，柔輪最大應力增長逐漸放緩，甚至在某一時段趨于平穩；0.88 s至1 s時，最大應力急劇增長.裝配過程中X、Y方向隨時間的變形規律如圖10所示，變形過程并非一直為彈性變形，在裝配完成的末端，柔輪在兩個方向都產生了塑性變形.

根據分析結果可以得出以下結論：第I階段，在波發生器接觸作用下，齒圈應力較大，筒壁應力較小，此階段最大應力的增長主要是齒圈應力的快速線性增長；第II階段，此階段齒圈部分應力增長緩慢，筒壁部分應力增長速度逐漸加快，但整體最大應力增長逐漸放緩；第III階段，不論是柔輪齒圈還是筒壁，最大應力都急劇增長，這是因為波發生器位移到一定程度，柔輪內外表面的周長被急劇拉長，應變瞬間增大，應力也隨之增大.圖11表示裝配結束時柔輪應力分布云圖.

3.2 嚙合過程分析結果與討論

根據上文的討論，剛柔輪系統的裝配模擬過程符合實際裝配情況，完成裝配時柔輪進入實際嚙合位置并與剛輪發生嚙合.柔輪與剛輪嚙合過程中最大應力σmax隨時間t的變化趨勢如圖12所示.由圖12可知，柔輪從裝配完成到承載額定負載進行嚙合，最大應力值從201 MPa上升到300 MPa以上，這是因為筒體發生扭轉，造成扭轉應力增加以及輪齒參與嚙合，齒根部位的彎曲應力增大.整個嚙合過程中，柔輪的最大應力值在310 MPa到450 MPa之間波動，這可能是因為嚙合過程中輪齒之間存在大量的碰撞，這些碰撞使得輪齒之間的接觸位置、方向和接觸強度時刻在變化，因此造成柔輪的應力分布不均勻，最大應力值也并不穩定.整個嚙合過程中，柔輪的最大應力峰值為448.6 MPa，如圖13所示，低于柔輪材料30CrMnSiA的屈服極限835 MPa.

采用瞬態動力學的分析方法并充分考慮柔輪的裝配與嚙合過程影響，剛柔輪系統中柔輪不論是裝配還是嚙合過程中的應力都比采用靜態分析方法的計算結果超出許多，并且柔輪的失效位置主要發生在齒寬部分及附近.對柔輪的分析不能將這兩個過程分離，嚙合過程的分析結果也表明，柔輪最大應力處于波動狀態，并非是采用靜態分析方法得到的一個恒定值.

4 柔輪疲勞壽命研究

4.1 參數靈敏度分析

大量研究及工程實例表明[1， 9]，諧波齒輪的疲勞失效主要發生在柔輪.由于諧波齒輪柔輪的疲勞壽命影響因素較多，這里引入靈敏度的分析方法來研究疲勞壽命對于輸入設計變量改變的敏感程度.在有限元分析中，約束和目標函數均有可能是靜力平衡位移解的響應，即為T=T（δ），而位移是設計變量的隱函數，即為δ=δ（X），則

根據柔輪的應力計算公式[9]，選擇柔輪筒長L，最大徑向變形量ω0，柔輪中性圓半徑Rm、齒寬B、桶壁厚度S、負載扭矩T、材料的彈性模量E和泊松比μ作為輸入變量，將柔輪的應力σ和疲勞壽命N作為輸出變量，進行各參數變化的靈敏度分析.分析時采用蒙特卡羅并結合拉丁方程的方法抽樣模擬1 000次，提取諧波柔輪最大應力和疲勞壽命對各個參數的靈敏度圖及應力對各參數的靈敏度值，如圖14和表2所示.

由圖14和表2可知諧波齒輪柔輪疲勞壽命對各參數變化的靈敏度由大到小依次為：S、B、L、Rm、E、ω0、T、μ.可以比較清楚地發現，柔輪的結構參數對其疲勞壽命具有非常大的影響，特別是S、B、L三者對疲勞壽命的影響尤為明顯，應作為主要設計參數.

4.2 柔輪疲勞壽命的尺寸效應

通過柔輪疲勞壽命對各參數變化的靈敏度分析，分別選擇靈敏度值較大的S、B、L為主要設計變量，利用嚙合過程中柔輪的應力分析結果和SN Timestep分析方法對柔輪疲勞壽命進行仿真分析，以研究柔輪結構尺寸參數對其疲勞壽命的影響.

壁厚的敏感變化范圍為0.45～1.45 mm，柔輪最大應力及疲勞壽命變化趨勢如圖15所示.由圖15可知，隨著柔輪壁厚逐漸增加，彎曲應力增大，則會導致其柔輪疲勞壽命整體呈下降的趨勢，且下降速度由快減慢.當壁厚處于0.45～0.8 mm時，隨著壁厚值增加，柔輪壽命下降速度最快；當壁厚處于0.8～1.45 mm時，隨著壁厚值增加，疲勞壽命下降趨勢則大幅減緩.所以，在保證柔輪強度滿足要求的情況下，適當減小筒體壁厚，有助于降低柔輪中的最大應力值，增加柔輪疲勞壽命.

筒體長度敏感變化范圍為21～41 mm，柔輪最大應力及疲勞壽命變化趨勢如圖16所示.由圖16可知，在波發生器形狀不變的情況下，隨著筒長增加，柔輪的疲勞壽命呈現出先大幅度上升，后趨于平穩的狀況.但隨著柔輪筒長增加，柔輪的最大應力整體呈現出下降的趨勢，在筒長大于29 mm后，柔輪中的最大應力值已經逐漸小于柔輪的疲勞強度，并且此時柔輪的疲勞壽命處于較高水平.但是，筒長增大也會使筒體的最大扭轉量增大，這使得輪齒之間的接觸狀況惡化，將出現更為嚴重的應力集中，這對諧波齒輪的使用是不利的，所以筒長不宜過大.

齒寬敏感變化范圍為6～16 mm，柔輪最大應力及疲勞壽命變化趨勢如圖17所示.由圖17可知，隨著齒寬值的增加，柔輪疲勞壽命呈現出先快速增加后趨于平穩的狀況.但是，柔輪最大應力卻呈現出先快速降低后趨于平穩的狀況，特別是齒寬在波發生器軸承寬度（6.5 mm）附近時，柔輪最大應力變化最快.齒寬小于波發生器的寬度時，波發生器的接觸作用會造成齒圈和筒壁交界處嚴重的應力集中現象，最大應力值較大；當齒寬大于波發生器寬度時，交界處的應力集中現象得到有效改善，最大應力值迅速下降.因此齒寬的設計值應大于波發生器的寬度，這可以降低柔輪的最大應力，提升柔輪的疲勞壽命.

根據上文分析，筒長、壁厚和齒寬對諧波柔輪疲勞壽命的影響都有一個變化較大的敏感區域，趙建虎等人[12]的研究也指出了這一點.本文在考慮了裝配和嚙合應力的影響條件下，柔輪疲勞壽命的尺寸效應與文獻[12]的研究結果具有較好的一致性，這很好驗證了本文建立的計算模型的正確性.

4.3 諧波齒輪柔輪疲勞壽命模型

通過大量的疲勞仿真數據，本文得到了諧波齒輪柔輪結構的應力壽命曲線，如圖18所示，通過擬合，得到了基于應力的柔輪疲勞壽命公式，如式（12）所示.本文得到的柔輪疲勞壽命模型為今后諧波齒輪柔輪疲勞壽命的研究提供了一種新思路，在對諧波齒輪進行疲勞壽命實驗時，并非需要對諧波柔輪進行破壞實驗，可以通過一定的方法對柔輪工作過程中應力進行測量，進一步的通過疲勞壽命模型對諧波齒輪的疲勞壽命進行預測.對柔輪工作過程中的應力進行測量，也比疲勞破損實驗更加方便和經濟.

5 結 論

1）諧波齒輪剛柔輪系統中，不論是裝配還是嚙合過程中柔輪的應力都較大，對剛柔輪系統的分析研究不能忽略裝配和嚙合過程，只有充分考慮這兩個過程才能提高分析結果的合理性與準確性.

2）柔輪結構參數中的S、B、L三者對疲勞壽命的影響明顯，在柔輪的設計過程中，應使這些結構參數處于合理的范圍之內，盡量避開疲勞壽命對結構尺寸的敏感區域，以提高諧波齒輪的設計壽命.

3）在工程應用中，可以通過一定的方法測量柔輪工作過程中的應力來預測其疲勞壽命.

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