用“模型思維”方法進行高考物理選考復習的研究與實踐

摘 要：模型是智慧的結晶，模型也是打開未知世界的鑰匙.只要學生積累了足夠的基本模型，掌握了分析處理問題的基本方法，就可以從基本的物理模型出發，對物理綜合題進行物理模型的拆解，從而將復雜問題簡單化，既可消除對物理學習的畏難情緒，還可以在將基本模型進行重新組合的基礎上，設計出新的問題，使學生對物理知識融會貫通，從而激發出無限的智慧和力量.

關鍵詞：物理模型；模型思維；聯想類比

“學考+選考”的新高考改革方案已進行了兩年，這次課程改革的主要目的是為了增加學生的選擇性，實現個性化的發展.但是，由于考試時間大大提前，考試內容也增加了不少，每周實際授課的課時數也沒有增加，而關鍵性試題在難度和靈活度方面的要求卻沒有下降，從而導致了學生參加第一次“學考”和第一次“選考”前的“必修內容”與“選修內容”的新課學習中任務重、時間緊，只能以快馬加鞭的教學節奏趕鴨子上架.而學生在參加第一次“高考選考”后的學習中，因學習時間的相對寬余，出現了一輪又一輪的幾乎重復教學的現象，由于學生在新課教學中經歷的幾乎是一種無根基的學習體驗，學習的過程匆匆而過，學生頭腦中無法在有條不紊的學習中經歷物理知識的發生、發展和變化的過程，學習的節奏與學生真實的學習節律并不和諧，致使整個教學過程效率低下，根本無法進入高效學習的境界.

那么，應如何解決這個問題呢？顯然，只有從物理學科的特點和學生學習的實際情況出發考慮問題，才能找到學習物理的最有效的教學路徑.

我們知道，在物理學習中，求解物理習題，是學生理論聯系實際的一個重要方面，物理習題總是命題者依據某個物理模型，設計必要的物理情境，給出已知量、隱含量，進而提出需要求解的問題的過程中編制而成的.因此，解決物理問題的過程，實際上就是還原命題者設置的物理模型的過程[1].抓住了“模型思維”這個牛鼻子，就把握了問題的實質.

那么，什么是“模型思維”？在物理教學中，應如何培養學生“模型思維”的意識，切實幫助學生提高模型的識別能力、遷移能力和應用模型解決問題的能力呢？

一、“模型思維”的特點

（一）“模型思維”的提出

我們知道，為了研究物理問題的方便，往往通過抽象思維或形象思維，運用理想化、簡化和類比等方法，建立起描述某一物理問題的模型，物理問題就是依據一定的物理模型進行構思、設計而成的.我們也知道，聯想是運用已有的知識和經驗從一事物想到另一事物、從一現象想到另一現象、從一模型想到另一模型、從一規律想到另一規律的心理活動.通過聯想，容易找到事物間的聯系，迅速找到解決問題的途徑.因此，所謂的“模型思維”就是以一些已知的基本物理模型為思維元素，并借助它們進行思維，從而迅速把握解決物理問題方向的思維方法[2].

（二）“模型思維”的優點

1.具有“化繁為簡”的魔力

在高中物理中，通常可以將各種形形色色的物理問題歸結為若干個典型的模型，并把解決問題的過程歸結為幾個關鍵的步驟. 首先，抓模型.找出問題的特征和與之對應的特定條件. 其次，套模型.套用符合問題特征的模型. 最后，出結果.抓住模型思維的特點和路徑，快速求得問題的結果[3].

2.能夠快速把握解決問題的方向，達到舉一反三、觸類旁通的效果

模型思維法源于大量同類題目相似解法的提煉，是“類型題”的靈魂，掌握一個模型就相當于掌握了千萬道同類型題，達到化腐朽為神奇的功效.

3.可以大大縮短解題的時間，有效地提高解題的準確率

對用常規解法復雜多變、往往難以把握的問題，運用“模型思維法”可以一舉破解“運算量大”、“陷阱多”的困惑，只要符合模型的基本特征，就能有序、快速有效地進行突破.

二、幾種典型的物理模型

分析各種類型的高中物理題后可以發現，就所涉及的知識與方法進行系統化、模塊化歸總后，主要可以歸結為以下幾類物理模型.

力的平衡類模型，勻變速直線運動類模型，運動的合成與分解類模型（渡河、拉船及拋體運動等），力與運動的關系類模型（包括動量定理所涉及的動力學問題），圓周運動類模型（包括帶電粒子在電磁場中的運動類問題），能量轉化類模型（包括光電效應現象），機械振動類模型（單擺、彈簧振子的簡諧運動），波動類模型（包括波的干涉和光的干涉），傳送帶模型，子彈打木塊類模型，電路的動態變化類模型，楞次定律類模型，電磁感應中最終穩態類模型，玻爾模型，光的傳播類模型.

三、運用“模型思維”解決問題的基礎

（一）擁有“模型思維”必須的知識與技能

擁有比較系統的知識結構，對物理學的基本概念與基本規律有比較深刻的理解，能熟練地通過受力分析與運動分析的方法快速地展示清楚物理情境，熟練地掌握分析物理問題的基本方法，須具有規范化的分析和表達物理問題的能力.

（二）注重模型的識別、構建與拓展

努力幫助學生形成獨立思考問題的習慣，樹立“模型思維”的意識，增強“建模、悟模與識模”的能力.

四、幾條運用“模型思維”解決問題的路徑

努力培養學生對模型的識別能力、遷移能力與重建能力，理解模型在物理學習中的價值，為迅速解決問題提供有力的保障.

（一）運用聯想類比的方法，快速進行突破

案例1 如圖1所示，在xOy平面內，有一電子源持續不斷地沿[x]軸正方向每秒發射出N個速率均為[v]的電子，形成寬為[2b]、在y軸方向均勻分布且關于[x]軸對稱的電子流.電子流沿x軸正方向射入一個半徑為R、中心位于原點O的圓形勻強磁場區域，磁場方向垂直[xOy]平面向里，電子經過磁場偏轉后均從P點射出.在磁場區域的正下方有一對平行于[x]軸的金屬平行板K和A，其中K板與P點的距離為[d]，中間開有寬度為[d=2l]且關于[y]軸對稱的小孔.K板接地，A與K兩板間加有正負、大小均可調的電壓[UAK].穿過K板小孔到達A板的所有電子被收集且導出，從而形成電流.已知[b=32R]，[d=l]，電子質量為[m]、電荷量為[e]，忽略電子間的相互作用.

（1）求磁感應強度B的大小；

（2）求電子流從P點射出時與負[y]軸方向的夾角θ的范圍；

（3）當UAK=0時，每秒經過極板K上的小孔到達極板A的電子數；

（4）畫出電流[i]隨[UAK]變化的關系曲線（畫在答題紙的方格紙上）.

分析：抓住粒子運動中力與運動的關系，從“模型思維”的角度來看，速率均為[v]的電子束平行于[x]軸進入磁場后的運動，是一個“磁聚焦問題”——平行射入圓形有界磁場的相同帶電粒子，如果圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等，則所有粒子都從磁場邊界上的同一點射出，并且出射點的切線與入射速度方向平行.所以，電子束中的所有電子最終都將沿不同的方向從P點射出；在P點射出、但未進入金屬板K前的所有電子將沿各自射出的方向作“勻速直線運動”；能夠進入平行金屬板K、A間的電子以各自的入射角作“類拋體運動”；對于進入平行板電場中運動的電子，在第⑷問中，還設計了一個類似于愛因斯坦得出光電效應方程的“解釋光電效應現象的模型”.

解析：（1）由題意可知，這是一個磁聚焦問題，粒子作圓運動的軌道半徑r=R，由牛頓第二定律知：

∵[eBv=mv2r]， ∴[B=mveR]

（2）由圖2及幾何關系可知，最上端的電子進入磁場后從P點射出時，其速度方向與負y軸所成最大夾角[θm]，滿足下式：

[2R=2b+2[2R-（R+Rsinθm）]]，

∴[sinθm=bR]，[θm=60]°

同理可知：最下端的電子進入磁場后從P點射出時，其速度方向與負y軸的最大夾角也是60°.故電子流從P點射出時，其速度方向與負y軸方向的夾角θ的范圍為：[-60°≤θ≤60°].

（3）能夠到達A板的電子射出P點后的運動范圍如圖3所示，由圖中的幾何關系可知：

tan[α]=[ld]，∴[α]=45°，

運用問題（2）中的結論可得：

y'=Rsin[α]=[22]R，

設每秒進入兩極板間的電子數為n，則：

[nN]=[y'b]=[63]=0.82，

[n=0.82N].

（4）電子進入平行板電場中，設遏止電壓為[Ue]，由動能定理得：[eUe=0-12mv2]，

∴ [Ue=-12emv2]

由電子在電場中的運動情況可知，當電子沿與負y軸成45°角方向進入電場后，其運動軌跡剛好與A板相切，其逆過程是類平拋運動.設達到飽和電流所需要的最小反向電壓為[U′].對這樣運動的電子，在這個過程中，由動能定理得：

[eU′=12m（vsin45°）2-12mv2]，

∴[U′=-14emv2]

根據（3）中結論可得：飽和電流大小為[imax=0.82Ne].

綜上，可畫出電流i隨UAK變化的關系曲線如圖4所示.

評析：

（1）在分析物理問題時，一定要努力培養學生的模型意識，善于運用“模型思維”的方法進行審題，運用“模型思維”的語言進行情境表述，運用“模型思維”的方式進行規范化答題.

（2）要適時地引導學生改變審題、解題時的語言系統，善于用“模型思維”的形態進行思考與表述.

（二） 通過畫草圖的方式，展示清楚物理情境

案例2 如圖5所示，在0≤x≤a、0≤y≤a/2范圍內有垂直于[xOy]平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B.坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發射大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在[xOy]平面內，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內.已知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于a/2到a之間，從發射粒子到粒子全部離開磁場經歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一.求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的：

（1）速度的大小；

（2）速度方向與[y]軸正方向夾角的正弦.

分析：本題中，抓住力與運動的關系，從“模型思維”的角度來看，從處于O點的粒子源上沿不同方向射入磁場的帶電粒子都在作勻速圓周運動.問題的關鍵在于確定所有的這些帶電粒子中，到底沿哪個方向射入磁場的粒子將最后離開磁場.因此，就有必要用畫草圖的方法來展示清楚各個帶電粒子運動的物理情境.本題給定的情形是粒子運動的軌道半徑r大小確定但初速度方向不確定，所有粒子的軌跡圓都要經過入射點O，入射點O到任一圓心的距離均為r，故所有軌跡圓的圓心均在一個“圓心圓”——以入射點O為圓心、r為半徑的圓周上，如圖6（a）.考慮到粒子是向右偏轉的，我們從最左邊的軌跡圓畫起，取“圓心圓”上不同點為圓心、以r為半徑作出一系列圓，如圖6（b）所示.其中，軌跡①對應弦長大于軌跡②對應弦長——半徑一定、圓心角都較小時（均小于180°），弦長越長，圓心角越大，粒子在磁場中運動時間越長，可見軌跡①對應的圓心角為90°.

解析：設粒子的發射速度為v，粒子做圓周運動的軌道半徑為R，根據牛頓第二定律得：

[qBv=mv2R]，解得：[R=mvqB]

當[a2

設最后離開磁場的粒子的發射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關系得：

[Rsinα=R-a2]，[Rsinα=a-Rcosα]，

∵ [sin2α+cos2α=1]，

解得：[R=（2-62）a]，

[v=（2-62）qBam]，[sinα=6-610]

評析：由于作圖不仔細而把握不住“軌跡①對應弦長大于軌跡②對應弦長——半徑一定、圓心角都較小時（均小于180°），弦越長，圓心角越大，粒子在磁場中運動時間就越長”，從而誤認為軌跡②所對應的粒子在磁場中運動時間最長.這類題作圖要講一個小技巧——按粒子偏轉方向移動圓心作圖.

在本題的求解過程中，通過“模型思維”的方式，清楚明白地展示了物理情境，揭示了臨界狀態，明確了所有粒子的運動情況，從而快速地把握了解題的方向，為順利解題奠定了堅實的基礎.

（三） 運用分析比對的方法，快速把握解題的方向

案例3 如圖8所示，圓形區域內有垂直紙面的勻強磁場B，A為磁場邊界上的一點，有大量完全相同的帶電粒子沿紙面內向各個方向以相同的速率[v]通過A點進入磁場，最后這些粒子都從圓弧AB上射出磁場區域，AB圓弧的弧長是圓O周長的[13]，不計粒子之間的相互作用，粒子的質量為m、電量為q.求：

（1）圓形磁場區域的半徑R；

（2）粒子在磁場中運動的最長時間；

（3）用斜線描出粒子所能到達的圓形磁場區域內的面積（需用尺規作圖）；

（4）若把磁場撤去，加平行于紙面的場強為E的勻強電場，發現所有從A點射入的粒子，從B點離開時動能最大，求最大動能.

分析：解題中，審題是基礎，審題中的圈圈點點、細讀慢看，都會給我們帶來絲絲光亮.在運用“模型思維法”處理物理問題時更應如此.在本題中，當“大量完全相同的帶電粒子沿紙面內向各個方向以相同的速率[v]通過A點進入磁場”時，其運動的模型顯然是“勻速圓周運動”，問題是為什么“最后這些粒子都從圓弧AB上射出磁場區域”？由題意可知，這些圓的半徑應該是相同的，這就需解題者抓住一個圓，以A點為中心，通過旋轉這個圓的方法，來體會“最后這些粒子都從圓弧AB上射出磁場區域”的含意，并對旋轉圓旋轉過程中的情形進行細心的比對中，找到符合要求的問題情境，從而求得問題的解決.

解析：（1）當軌道半徑小于或等于圓形磁場區域半徑時，粒子射出圓形磁場的位置離入射點A的最遠距離為圓軌跡的直徑.如圖9所示，當粒子從[13]圓周射出磁場時，粒子在磁場中運動的軌道直徑為AB，粒子都從圓弧[AB]之間射出.

根據幾何關系可得軌道半徑：[r1=Rcos30°][=32R]，

粒子在磁場中做圓周運動：[qBv=mv2r1]，

[r1=mvqB]，

聯立解得：[R=23mv3qB]

（2）帶電粒子在磁場中運動的半徑不變，速率不變，弧長越長，時間越長.所以，粒子在磁場中運動時如圖10所示的軌跡1所對應的時間最長.

[t=T=2πr1v=2πmqB]

（3）以A點為圓心、AB為半徑畫圓弧，交圓弧1于D點、交圓弧2于B點，粒子所能到達的圓形磁場區域內的面積為圖10中陰影部分的面積.

（4）把磁場撤去，加平行于紙面的場強為E的勻強電場，所有從A點射入的粒子，從B點離開時動能最大，說明從A到B電場力做功最多，即電場線的方向沿OB方向.由動能定理得：

[qER（1+cos30°）=EKm-12mv2]，

代入數據得：[EKm=12mv2+3EmvB]

評析：由于審題不仔細，對所有粒子運動的物理情境的揭示不夠充分，對第⑷小題，相當一部分學生認為勻強電場的場強方向應沿AB方向.

其實，能滿足這個條件的電場，圓弧上B點的切線方向應該在該電場的一條等勢線上.可見，善于運用“模型思維”的方式，通過畫草圖展示清楚物理情境的方法，是快速準確地突破思維陷阱的有效途徑之一.

顯然，在分析解決物理問題時，運用“模型思維”的方式進行分析突破的方法是很多的，這是一種非常智慧的方法，非常值得我們去研究與把握.

模型是智慧的結晶，模型也是打開未知世界的鑰匙.只要學生積累了足夠的基本模型，掌握了分析處理問題的基本方法，就可以從基本的物理模型出發，對物理試題進行物理模型的拆解，從而將復雜問題簡單化，既可消除對物理學習的畏難情緒，還可以在將基本模型進行重新組合的基礎上，設計出新的問題，使學生對物理知識融會貫通，從而激發出無限的智慧和力量.

參考文獻：

[1]查有梁.教育建模.（修訂版）[M].南寧：廣西教育出版社，2003：22-23.

[2]王超良.樹立模型意識，活化應變能力[J].物理教學，2000（4）：34-36.

[3]梁樹森.物理學習論[M].南寧：廣西教育出版社，1996：96-98.