高考數學復習的針對性

吳道春

摘 要：高考數學命題已經并將繼續聚焦數學核心素養，高考數學復習的針對性調整迫在眉睫.高考數學復習的五大針對性，即針對四基四能、針對教材資源、針對課程要求、針對重點難點和針對錯點盲點.

關鍵詞：高考數學；復習；針對性；數學核心素養

高考數學復習需要有針對性，而不少教師最終針對的是“知識點—題型”的循環往復.如果說這種復習的針對性在一定的歷史階段是有效的，那么隨著近年來核心素養逐漸成為國內外數學教育領域最熱、最前沿的關注點，高考數學命題已經并將繼續聚焦數學核心素養，高考數學復習的針對性調整就迫在眉睫.下面，筆者結合對2016年和2017年兩年江蘇高考數學試卷的最后一題的分析，探究高考數學復習的針對性.

例1 （2016年江蘇卷第23題 ）（1）求7C[36]-4C[47]的值；（2）設m，n[∈]N*，n ≥ m，求證：（m+1）C[mm]

+（m+2）C[mm+1]+（m+3）C[mm+2]+…+nC[mn-1]+（n+1）C[mn]=（m+1）C[m+2n+2].

例2 （2017年江蘇卷第23題） 已知一個口袋中有m個白球，n個黑球（m，n[∈][N]*，n[≥]2），這些球除顏色外完全相同.現將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編號為1，2，3，…，m+n的抽屜內，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜（k=1，2，3，…，m+n）.

（1）試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p；

（2）隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數，E（X）是X的數學期望，證明： [E（X）

分析：這兩個題都用到同一個組合恒等式：[Cm+1n+1=n+1m+1Cmn].

例1 （略解）：當[n=m]時，結論顯然成立；

例2 （略解）：

結合這“一個恒等式，兩年高考題”，我們探索性地提出高考數學復習的五大針對性.

一、針對四基四能

四基是指數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗.這兩個例題所涉及的數學基礎知識有組合數的概念和公式、古典概型、數學期望等；基本技能有組合數的運算、恒等式的推導、不等式的證明等；基本思想有分類討論思想、轉化思想、遞推思想（求和[k=nm+nCn-2k-2]）、整體思想（把“從袋子里面逐個取出n個黑球依次放入編好號的m+n個抽屜”抽象為“從m+n個抽屜中任取n個抽屜放黑球”）等；基本活動經驗有觀察、想象、分析、探究、運算、推理等.過去，我們比較重視基礎知識、基本技能，今后我們也要重視基本思想、基本活動經驗.

四能是指學生能夠發現和提出問題，分析和解決問題.發現問題是指在問題情境中通過觀察、思考發現的規律；提出問題是指用數學的語言和符號表達所發現的問題；分析問題是指識別問題的本質特征，厘清問題的條件和結論，探索解決問題的思路；解決問題是指運用數學工具一步步求解問題.例如，觀察例1、例2中式子的結構特征發現問題：左邊是一系列項的和，右邊是一項，需要求和；提出問題：左邊各項都有系數，如何把這些系數“吸進”組合數？分析問題：分析組合數的結構特征，探索、證明組合恒等式[Cm+1n+1=n+1m+1Cmn]；解決問題：代入組合恒等式，一步步完成解題過程.

四基是培養學生數學核心素養的載體，四能是培養學生數學核心素養的目標.教師應當創設適當的問題情境，引導學生在數學基本活動中學習數學基礎知識和基本技能，感悟數學基本思想；在整個教學過程中，教師應鼓勵學生發現和提出問題，分析和解決問題.

二、針對教材資源

教材是數學教學和考試命題的依據和核心.在蘇教版選修2-3的第24頁的練習題中有一道證明題，要求證明[rCrn=nCr-1n-1]，這個式子經過變形就是組合恒等式[Cm+1n+1=n+1m+1Cmn].

例1、例2的解題過程用到這個恒等式，如果就這樣認為例1、例2考查的就是這個恒等式的證明和應用，就會出現兩個嚴重的問題：（1）考試命題超出“課程標準”的要求和“考試說明”了；（2）我們在平常的教學中就會無限制地補充“課程標準”要求之外的知識，這樣不僅加重了教學的負擔，而且效果甚微，吃力不討好.實際上，根據上文分析，我們是在觀察了這兩個題目中式子的結構特征后，經過探索發現并應用這個恒等式的，而不是生搬硬套.實際上，命題專家出這兩個題的意圖是，利用教材資源，考查學生的數學核心素養.

關于如何用好教材資源，培養學生的數學核心素養，我們提出三點建議：（1）不僅要要求學生弄懂、會做所有課本例題、習題（基礎知識、基本技能），而且要引導學生掌握題目背后的通性通法，體會題目所蘊含的數學基本思想.（2）對于教材題目，教師不能一味地講解，教師可以適當引導學生的思維，學生在教師的引導下，抓住問題的本質特征，探索解決問題的思路、方法，在整個問題解決的過程中，學生始終沖在最前面，是問題解決的主體，這樣學生才能經歷問題解決的全過程，體驗數學基本活動經驗.（3）可以適當改編教材題目，促使學生加深對問題的理解，鞏固所涉及的概念和方法.改編不僅限于橫向的拓展，還包括縱向的躍升，如例1和例2是在教材題目結論的基礎上的應用，這就是一種躍升.任何一個數學結論（命題）都不是我們思維的終點，我們應當思考它的本質、它的推廣、它與相關命題的聯系、它有哪些應用等，數學核心素養就在這個過程中生成和提升.

三、針對課程要求

我們的數學教學，不能盲目地照本宣科.教什么、怎么教，要看“課程標準”，考什么、怎么考，要看“考試說明”，教考結合、有的放矢，才能精確制導、減負增效、穩操勝券.

例如，“課程標準”對排列與組合的學習要求是：理解排列、組合的意義，掌握排列數、組合數計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的應用問題.教學建議是：通過實例，引導學生總結出分類加法計數原理和分步乘法計數原理，理解排列、組合的概念；引導學生根據計數原理分析、處理問題，而不應機械地套用公式.同時，應避免煩瑣的、技巧性過高的計數問題.

“考試說明”包含命題的指導思想、考試內容及要求、考試形式及試卷結構、典型題示例.“考試說明”每年可能會有修訂，如2017年江蘇省高考“考試說明”中數學學科的主要修訂內容是：（1）突出數學基礎知識、基本技能、基本思想方法的考查，強調基礎知識和主干知識的重要性；數學的應用意識的考查要求是：能夠運用所學的數學知識、思想和方法，構造數學模型，將一些簡單的實際問題轉化為數學問題，并加以解決；創新意識的考查要求是：能夠發現問題、提出問題，綜合與靈活運用所學的數學知識和思想方法，創造性地解決問題.（2）關于“了解”“理解”的描述，參照考試大綱做了適當微調.（3）典型題示例進行調整，新增近兩年江蘇高考試題. 可以看出這些主要是對命題指導思想的修訂，修訂的方向就是緊跟數學教育改革的新理念——聚焦數學核心素養.

四、針對重點難點

我們的高考數學復習不能平均發力，必須在重點、難點上多發力.一般來說，數學學科的主干知識（如函數、數列等）以及“考試說明”中的理解（B）和掌握（C）層次的知識點都是重點，掌握（C）層次的知識點也是難點.

對于重點知識的復習，我們提出三點建議：（1）要夯實概念，學生要經歷概念的形成過程，從數和形兩個角度理解概念的本質，形成深刻的認識，培養學生的數學抽象和直觀想象核心素養，如例2就考查了學生對組合數以及古典概型等重點知識的深刻認識.（2）題型的訓練要遵循學生的認知規律，從單一向綜合過渡，從簡單向中等難度過渡，適時培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模、直觀想象和數據分析核心素養；題目不能過難，否則不利于學生數學核心素養的培養.例2就是考查學生數學核心素養的中等難度的綜合題.（3）教師可以適當引導學生的思維，但具體的問題解決過程要讓學生自己完成，教師不能包辦代替，在這個過程中，學生的數學核心素養才能得以提升.

對于難點知識的復習，我們在對重點知識復習的三點建議的基礎上，針對綜合性較強或較為困難的題目增加三點建議：（1）鼓勵學生花足夠的時間充分思考、探究，有的題今天想不起來，明、后天可以再想，總之要讓學生被這個題充分地“折磨”，在折磨的過程中，學生可以收獲超出這個題本身很多的東西，如數學知識、核心素養、解題經驗和能力、堅毅的精神等，所謂“磨刀不誤砍柴工”，這個時間值得花.（2）控制題量，學生在這部分題上花費的時間不能占用太多復習的總時間，否則得不償失.（3）對不同層次的學生分層要求.

五、針對錯點盲點

錯點是指學生解題犯錯的地方.學生解錯題目的原因可能有：（1）概念理解不深刻或有偏差，沒有抓住概念的本質特征；（2）對某種題型的訓練不到位，沒有達到熟能生巧的程度；（3）某一方面的數學素養的水平不高，沒有形成優質的思維品格；（4）學習的態度或解題的習慣有問題，沒有養成良好的心理特征.

錯點是非常寶貴的教學資源，我們提出以下建議：（1）要求學生按照知識體系分類將錯題整理到錯題本上，形成自己的錯題集；學生要訂正錯題，找出錯誤的原因，以便自主和有針對性地彌補不足.（2）教師要研究學生共性的錯點，反思自己教學中可能存在的問題，以便及時調整；教師可以針對共性的錯點，開設有針對性的專題課，針對個別學生的錯點，做好個別輔導.（3）如果是態度或習慣的問題，教師要多跟學生溝通，調動學生的積極性，端正態度，規范行為，嚴格要求.

盲點是指學生認知的盲區.舉三個例子：（1）例1、例2中的組合恒等式[Cm+1n+1=][n+1m+1Cmn]，教材不作要求，是學生認知的一個盲區，但是現在高考命題的指導思想是考查學生的數學核心素養，學生只要根據特定的運算情境，探究運算的方向和方法，探索發現它并不困難，這也是數學運算核心素養的高考水平所要求的.（2）2016年江蘇卷第13題“在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，[BC·CA]=4，[BF][·CF]=-1，則[BE][·CE]的值是 .”很多學生不會思考，是因為他們平常只知道算題，沒有反思或者教師沒有引導他們反思運算的基本思想——坐標思想，使得它成為學生認知的一個盲區.（3）2016年江蘇卷第19題（函數題）考查了“用不等證相等”的方法，2017年江蘇卷第20題（函數題）考查了“二元化一元”和“用單調性找不等關系”等方法，對很多學生來說這就是盲點.大多數時候，學生的盲點就是數學素養的缺陷，在高考復習的過程中，教師要及時發現學生的盲點并填補.

歸根結底，我們提出的高考數學復習的五大針對性最終都指向數學核心素養，數學核心素養將成為數學課程、數學課堂以及考試命題的最具統攝力的主線.