數(shù)學(xué)認(rèn)知視野下的群體互動場效應(yīng)

王文玲

摘 要：有效的師生雙向交流、生生雙向交流等群體交流，都能使數(shù)學(xué)課堂產(chǎn)生積極的正能量，從而在數(shù)學(xué)課堂上建構(gòu)和諧向上、學(xué)生和教師共建的群體互動場.積極進(jìn)取的群體互動場效應(yīng)，能使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情，引發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的思考，同時培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和思維能力，使群體互動場效應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮積極向上的推動作用.

關(guān)鍵詞：群體互動場；蝴蝶效應(yīng)；共振效應(yīng)；塔馬拉效應(yīng)

學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、體會感受數(shù)學(xué)思想觀念、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實際問題、將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識進(jìn)行深加工并遷移的過程，都屬于數(shù)學(xué)認(rèn)知范疇.學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的認(rèn)知過程中常常形成心理力場[1].教師在充分了解并牢牢把握學(xué)生內(nèi)在心理力場的基礎(chǔ)上，運(yùn)用有效的群體互動建構(gòu)外在心理力場，使群體互動場效應(yīng)發(fā)揮積極的作用.

一、從知識點認(rèn)知下看群體互動場的蝴蝶效應(yīng)

蝴蝶效應(yīng)是指在原創(chuàng)前提下的某一系統(tǒng)中，即便是細(xì)微的變動都能使整個原創(chuàng)系統(tǒng)發(fā)生復(fù)雜的長久的系列反應(yīng).在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)這個群體互動中就常常能體現(xiàn)蝴蝶效應(yīng).學(xué)生的學(xué)習(xí)過程離不開學(xué)生自主思索、合作交流，當(dāng)然教師富有啟發(fā)性的傳授，也能有一蹴而就的效果.如果能夠?qū)ⅰ白灾魈剿鳌薄敖處熞龑?dǎo)”“生生互動”三者有機(jī)地結(jié)合在一起，就一定能使教學(xué)取得更為顯著的效果.數(shù)學(xué)知識點是數(shù)學(xué)認(rèn)知的主要對象，“形”（幾何）與“數(shù)”（代數(shù)）是中學(xué)數(shù)學(xué)中兩個緊密聯(lián)系的研究對象.《從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展》這一內(nèi)容，是學(xué)生已學(xué)習(xí)了的勾股定理及其逆定理，而勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展，是圖形與代數(shù)完美的結(jié)合，通過觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的拓展性思維、互助意識和研究精神.

師生回顧勾股定理，教師順勢引導(dǎo)學(xué)生理解勾股定理與正方形面積之間的關(guān)系，即以直角三角形的三條邊分別作三個正方形，得到兩個小正方形的面積之和便是大正方形的面積.如圖1.

師：如果將圖1中的一個正方形對折，另外兩個不變，是否存在[S1+S2=S3]？

生1：不存在.[∵S1=12a2]，[S2=b2]，[S3=c2]，

又[∵12a2+b2≠c2]，[∴S1+S2≠S3].

師：那么怎么做才能使得[S1+S2=S3]仍然成立呢？

生2：將其他兩個正方形按同樣的方式對折.

[∵S1=12a2]，[S2=12b2]，[S3=12c2]，

又[∵a2+b2=c2]，[∴S1+S2=S3].

師：如果以直角三角形的三條邊[a，b，c]為邊，向外分別作其他圖形，那么是否存在[S1+S2=S3]呢？以小組為單位合作討論完成.

組1：我們組是以直角三角形的三條邊[a，b，c]為直角邊，向外分別作等腰直角三角形，存在 [S1+S2=S3].

[∵S1=12a2]，[S2=12b2]，[S3=12c2]，

又[∵a2+b2=c2]，[∴S1+S2=S3].

組2：我們組是以三條邊向外分別作正三角形，存在[S1+S2=S3].

[∵S1=12?a?32?a=34a2]，

[S2=34b2]，[S3=34c2]，

又[∵a2+b2=c2]，[∴S1+S2=S3].

組3：我們組是以直角三角形的三條邊[a，b，c] 為斜邊，向外分別作等腰直角三角形，存在[S1+S2=S3].

[∵S1=12?a?12?a=14a2]，[S2=14b2]，[S3=14c2]，

又[∵a2+b2=c2]，[∴S1+S2=S3].

組4：我們組是以直角三角形的三條邊[a，b，c]為直徑，向外分別作半圓，存在[S1+S2=S3].

[∵S1=12?π?（12?a）2=18πa2]，

[S2=18πb2]，[S3=18πc2]，

又[∵a2+b2=c2]，[∴S1+S2=S3].

師：觀察以上結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

生：以直角三角形的三條邊[a，b，c]為邊，向外分別作形狀相同、大小不同的圖形，存在[S1+S2=S3].

在本節(jié)課的教學(xué)過程中，采取以小組為單位合作討論的方式進(jìn)行，因為每個學(xué)生都有自己的想法，一起畫圖、討論、交流，從自己親身參與的在認(rèn)知面積法證勾股定理這一知識點活動中，體驗數(shù)形結(jié)合的思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，產(chǎn)生積極的效應(yīng).教師恰到好處的引導(dǎo)探討過程，從最基礎(chǔ)的四邊形到豐富多樣的其他圖形體現(xiàn)從特殊到一般的探討方法.在知識的傳播過程中抓住生長點，利用“蝴蝶”的力量，著力激發(fā)有效的“蝴蝶效應(yīng)”，提升課堂的教學(xué)質(zhì)量與學(xué)習(xí)效率.

二、從數(shù)學(xué)思想認(rèn)知下看群體互動場的共振效應(yīng)

共振效應(yīng)最初指物理學(xué)范疇，兩個振動頻率相同的物體，當(dāng)其中一個發(fā)出振動時，另一個引起振動.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)這個群體互動場中的共振效應(yīng)是指：群體有了共同的目標(biāo)導(dǎo)向，即數(shù)學(xué)思想，并采取相互協(xié)調(diào)、步調(diào)統(tǒng)一的集體行動，這種相互促進(jìn)的集體行動又形成強(qiáng)大的動力，使個人和群體的行動越發(fā)有效.在課堂上，教師能夠集中學(xué)生的積極要求，并根據(jù)這種要求積極努力開展教學(xué)工作，能在教學(xué)中產(chǎn)生積極的共振效應(yīng).

例如浙教版《數(shù)學(xué)》八年級上冊第三章第三節(jié)《3.3一元一次不等式（1）》是進(jìn)一步掌握一元一次不等式的基本概念和基本解法，本課內(nèi)容在本章節(jié)乃至整個初中數(shù)學(xué)階段都具有舉足輕重的地位，在學(xué)生早已研究了不等式的基本性質(zhì)之后，又為一元一次不等式組等知識的深造奠定良好基礎(chǔ)，這一過程不僅是對已學(xué)知識的運(yùn)用，還為后續(xù)的深入學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).本節(jié)課的引入給學(xué)生留下深刻的第一印象，通過魯班造鋸體現(xiàn)數(shù)學(xué)中常用的類比思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的濃厚興趣，同時這種類比思想有利于在文化底蘊(yùn)領(lǐng)域發(fā)揮重要作用，大數(shù)學(xué)家歐拉就是運(yùn)用了類比思想，解決了世界上著名的難題“巴塞爾”.在教學(xué)一元一次不等式概念和解法這個知識點時，創(chuàng)設(shè)寬松民主的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生思維的主動性，給學(xué)生充分的自主探索的時間和空間，引導(dǎo)學(xué)生建立新知與已有的知識的聯(lián)系，以此減少學(xué)生獲取新知識的難度，通過教師啟發(fā)性的引導(dǎo)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)新知的濃厚興趣，組織學(xué)生積極參與“探究—討論—交流—總結(jié)”的學(xué)習(xí)活動過程，讓每個學(xué)生都能動手、動口、動腦，培養(yǎng)學(xué)生多方的能力來打造理想的高效課堂，促進(jìn)師生課堂群體互動場的共振效應(yīng)的發(fā)生.

觀察下列不等式：

（1）[x>4] （2）[3x>30]

（3）[2x+13

師：上面這些不等式有哪些共同特征？請將它們與一元一次方程比較.

生1：都有一個未知數(shù)x.

生2：未知數(shù)都是一次.

生3：都是整式.

學(xué)生細(xì)心觀察分析，七嘴八舌地總結(jié)其都有的特征，通過觀察、猜測、歸納、總結(jié)這一系列過程，培養(yǎng)學(xué)生類比一元一次方程概念來推理一元一次不等式概念的意識，提升學(xué)生自主分析各類問題、解決各類問題的各方面能力.

在學(xué)生自己參與教學(xué)活動認(rèn)知了一元一次不等式的概念后，為了幫助學(xué)生能夠類比解一元一次方程的一般步驟歸納解一元一次不等式的一般步驟，一個小小的題目解鎖學(xué)生的記憶.

解下列方程和不等式：

（1）[7x-2=9x+3]

生：移項，得：[7x-9x=3+2]

合并同類項，得：[-2x=5]

兩邊都除以-2，得：[x=-52]

（2）[7x-2≤9x+3]

生：移項，得：[7x-9x≤3+2]

合并同類項，得：[-2x≤5]

兩邊都除以-2，得：[x≥-52]

在剛開始做題時，要求學(xué)生寫出每一步解題步驟的具體依據(jù).教師引導(dǎo)學(xué)生類比歸納：解一元一次方程就是將其逐步變形為[x=a]（[a]為常數(shù)）的形式，而解一元一次不等式就是把不等式逐步變形為[x>a]（[x≥a]），[x

三、從思維方法認(rèn)知下看群體互動場的塔馬拉效應(yīng)

思維方法是數(shù)學(xué)本質(zhì)所在.群體互動場的塔馬拉效應(yīng)是指對于墨守成規(guī)的習(xí)以為常的觀念或事情倒過來思索的一種逆向思維方式.在一般課堂上，學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣于沿著事情發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決問題的方法[2]，但其實對于一些特殊問題，從問題本身出發(fā)推回到已知前提去考慮，或許會使解決問題的方法更便捷，甚至因此會有所發(fā)現(xiàn)，這就是逆向思維的魅力.

例如《平行線的性質(zhì)（1）》主要經(jīng)歷“兩直線平行，同位角相等”這一平行線的性質(zhì)的探索過程，并且會用此性質(zhì)進(jìn)行一般的判斷和推理，學(xué)會表述，是屬于空間和圖形領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識，為今后學(xué)習(xí)三角形全等、三角形相似、四邊形等知識奠定了理論基礎(chǔ).本節(jié)課首先通過中國古代《路邊苦李》的故事，作為一種逆向思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)，在教授平行線的性質(zhì)時，教師采用引導(dǎo)探究歸納法，通過精心設(shè)計問題，引發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)激情，在教師因勢利導(dǎo)的引導(dǎo)下，學(xué)生通過自主合作、觀察、發(fā)現(xiàn)、測量、猜想、交流、歸納，總結(jié)出平行線的性質(zhì)，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為教師指導(dǎo)下、學(xué)生自主探索的活動過程，并在思索中逐步形成自己的觀點，培養(yǎng)學(xué)生擅于觀察、勤于動手、勇于表達(dá)、樂于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

例 如圖2，梯子的各條橫檔互相平行，[∠1=100°]，求[∠2]的度數(shù).

師：請思考本題并說說解題思路.

生1：[∵AB//CD]，[∴∠1=∠3=100°]，[∴∠2=180°-∠3=80°].

師板書1：[AB//CD]（已知）

↓平行線的性質(zhì)

[∠3=∠1=100°]

↓平角的意義

[∠2=180°-∠3=80°]

生2：想要知道[∠2]的度數(shù)，就要知道[∠3]的度數(shù)，因為[AB//CD]，所以[∠3]與[∠1]的度數(shù)相等，只需要知道[∠1]度數(shù).

師板書2：要求[∠2]的度數(shù)

↑平角的意義

只需要知道[∠3]的度數(shù)

↑平行線的性質(zhì)

只需要知道[∠1]的度數(shù)

↑

[∠1=100°]已知

師：小組討論這兩種解題思路的特點.

生：思路1由已知條件出發(fā)，思路2由所求結(jié)果出發(fā).

師概括：思路1的特點是從已知出發(fā)思考問題，由因?qū)す瑸榫C合法.思路2的特點是從所求結(jié)果出發(fā)思索問題，執(zhí)果找因，為分析法.

在教學(xué)過程中不難發(fā)現(xiàn)，整個班級大多數(shù)個體都比較平常，但有些學(xué)生擅長從已知條件出發(fā)去看待問題，有些學(xué)生則擅長從所求結(jié)果出發(fā)去看待問題，讓他們的特長得以發(fā)揮，在解決問題的時候經(jīng)常用兩面夾擊的方法，即用分析法去思索，尋找解題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫，雙管齊下，找到溝通已知條件和結(jié)論的最佳方法，逐步縮小條件和結(jié)論之間的距離.正如恩格斯所說：“沒有分析就沒有綜合.”分析和綜合既是對立的，又是統(tǒng)一的，相比較而存在的，這樣就可以產(chǎn)生塔馬拉效應(yīng).

綜上所述，在課堂上，良好的學(xué)生群體互動關(guān)系會產(chǎn)生積極向上的能量，產(chǎn)生積極的互動效應(yīng)，促進(jìn)課堂教學(xué)工作積極有序的展開，并取得理想的效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉堤仿.數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的三維視角[M].北京：現(xiàn)代教育出版社，2008：224-225.

[2]楊曉霞，易良斌.數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維的路徑探索[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2018（7/8）：16-17.