數學認知視野下的群體互動場效應

王文玲

摘 要：有效的師生雙向交流、生生雙向交流等群體交流，都能使數學課堂產生積極的正能量，從而在數學課堂上建構和諧向上、學生和教師共建的群體互動場.積極進取的群體互動場效應，能使學生產生濃厚的學習數學的激情，引發學生在數學方面的思考，同時培養學生的創新能力和思維能力，使群體互動場效應在數學教學中發揮積極向上的推動作用.

關鍵詞：群體互動場；蝴蝶效應；共振效應；塔馬拉效應

學生獲得數學基礎知識、體會感受數學思想觀念、運用數學方法解決實際問題、將數學基礎知識進行深加工并遷移的過程，都屬于數學認知范疇.學生在數學課堂上的認知過程中常常形成心理力場[1].教師在充分了解并牢牢把握學生內在心理力場的基礎上，運用有效的群體互動建構外在心理力場，使群體互動場效應發揮積極的作用.

一、從知識點認知下看群體互動場的蝴蝶效應

蝴蝶效應是指在原創前提下的某一系統中，即便是細微的變動都能使整個原創系統發生復雜的長久的系列反應.在數學課堂教學這個群體互動中就常常能體現蝴蝶效應.學生的學習過程離不開學生自主思索、合作交流，當然教師富有啟發性的傳授，也能有一蹴而就的效果.如果能夠將“自主探索”“教師引導”“生生互動”三者有機地結合在一起，就一定能使教學取得更為顯著的效果.數學知識點是數學認知的主要對象，“形”（幾何）與“數”（代數）是中學數學中兩個緊密聯系的研究對象.《從勾股定理到圖形面積關系的拓展》這一內容，是學生已學習了的勾股定理及其逆定理，而勾股定理到圖形面積關系的拓展，是圖形與代數完美的結合，通過觀察圖形，探索圖形間的關系，發展學生的拓展性思維、互助意識和研究精神.

師生回顧勾股定理，教師順勢引導學生理解勾股定理與正方形面積之間的關系，即以直角三角形的三條邊分別作三個正方形，得到兩個小正方形的面積之和便是大正方形的面積.如圖1.

師：如果將圖1中的一個正方形對折，另外兩個不變，是否存在[S1+S2=S3]？

生1：不存在.[∵S1=12a2]，[S2=b2]，[S3=c2]，

又[∵12a2+b2≠c2]，[∴S1+S2≠S3].

師：那么怎么做才能使得[S1+S2=S3]仍然成立呢？

生2：將其他兩個正方形按同樣的方式對折.

[∵S1=12a2]，[S2=12b2]，[S3=12c2]，

又[∵a2+b2=c2]，[∴S1+S2=S3].

師：如果以直角三角形的三條邊[a，b，c]為邊，向外分別作其他圖形，那么是否存在[S1+S2=S3]呢？以小組為單位合作討論完成.

組1：我們組是以直角三角形的三條邊[a，b，c]為直角邊，向外分別作等腰直角三角形，存在 [S1+S2=S3].

[∵S1=12a2]，[S2=12b2]，[S3=12c2]，

又[∵a2+b2=c2]，[∴S1+S2=S3].

組2：我們組是以三條邊向外分別作正三角形，存在[S1+S2=S3].

[∵S1=12?a?32?a=34a2]，

[S2=34b2]，[S3=34c2]，

又[∵a2+b2=c2]，[∴S1+S2=S3].

組3：我們組是以直角三角形的三條邊[a，b，c] 為斜邊，向外分別作等腰直角三角形，存在[S1+S2=S3].

[∵S1=12?a?12?a=14a2]，[S2=14b2]，[S3=14c2]，

又[∵a2+b2=c2]，[∴S1+S2=S3].

組4：我們組是以直角三角形的三條邊[a，b，c]為直徑，向外分別作半圓，存在[S1+S2=S3].

[∵S1=12?π?（12?a）2=18πa2]，

[S2=18πb2]，[S3=18πc2]，

又[∵a2+b2=c2]，[∴S1+S2=S3].

師：觀察以上結果，你發現了什么結論？

生：以直角三角形的三條邊[a，b，c]為邊，向外分別作形狀相同、大小不同的圖形，存在[S1+S2=S3].

在本節課的教學過程中，采取以小組為單位合作討論的方式進行，因為每個學生都有自己的想法，一起畫圖、討論、交流，從自己親身參與的在認知面積法證勾股定理這一知識點活動中，體驗數形結合的思想，從而培養學生的發散思維，產生積極的效應.教師恰到好處的引導探討過程，從最基礎的四邊形到豐富多樣的其他圖形體現從特殊到一般的探討方法.在知識的傳播過程中抓住生長點，利用“蝴蝶”的力量，著力激發有效的“蝴蝶效應”，提升課堂的教學質量與學習效率.

二、從數學思想認知下看群體互動場的共振效應

共振效應最初指物理學范疇，兩個振動頻率相同的物體，當其中一個發出振動時，另一個引起振動.在數學課堂教學這個群體互動場中的共振效應是指：群體有了共同的目標導向，即數學思想，并采取相互協調、步調統一的集體行動，這種相互促進的集體行動又形成強大的動力，使個人和群體的行動越發有效.在課堂上，教師能夠集中學生的積極要求，并根據這種要求積極努力開展教學工作，能在教學中產生積極的共振效應.

例如浙教版《數學》八年級上冊第三章第三節《3.3一元一次不等式（1）》是進一步掌握一元一次不等式的基本概念和基本解法，本課內容在本章節乃至整個初中數學階段都具有舉足輕重的地位，在學生早已研究了不等式的基本性質之后，又為一元一次不等式組等知識的深造奠定良好基礎，這一過程不僅是對已學知識的運用，還為后續的深入學習打下了基礎.本節課的引入給學生留下深刻的第一印象，通過魯班造鋸體現數學中常用的類比思想，激發學生學習本節課的濃厚興趣，同時這種類比思想有利于在文化底蘊領域發揮重要作用，大數學家歐拉就是運用了類比思想，解決了世界上著名的難題“巴塞爾”.在教學一元一次不等式概念和解法這個知識點時，創設寬松民主的學習氣氛，激發學生思維的主動性，給學生充分的自主探索的時間和空間，引導學生建立新知與已有的知識的聯系，以此減少學生獲取新知識的難度，通過教師啟發性的引導，調動學生學習新知的濃厚興趣，組織學生積極參與“探究—討論—交流—總結”的學習活動過程，讓每個學生都能動手、動口、動腦，培養學生多方的能力來打造理想的高效課堂，促進師生課堂群體互動場的共振效應的發生.

觀察下列不等式：

（1）[x>4] （2）[3x>30]

（3）[2x+13

師：上面這些不等式有哪些共同特征？請將它們與一元一次方程比較.

生1：都有一個未知數x.

生2：未知數都是一次.

生3：都是整式.

學生細心觀察分析，七嘴八舌地總結其都有的特征，通過觀察、猜測、歸納、總結這一系列過程，培養學生類比一元一次方程概念來推理一元一次不等式概念的意識，提升學生自主分析各類問題、解決各類問題的各方面能力.

在學生自己參與教學活動認知了一元一次不等式的概念后，為了幫助學生能夠類比解一元一次方程的一般步驟歸納解一元一次不等式的一般步驟，一個小小的題目解鎖學生的記憶.

解下列方程和不等式：

（1）[7x-2=9x+3]

生：移項，得：[7x-9x=3+2]

合并同類項，得：[-2x=5]

兩邊都除以-2，得：[x=-52]

（2）[7x-2≤9x+3]

生：移項，得：[7x-9x≤3+2]

合并同類項，得：[-2x≤5]

兩邊都除以-2，得：[x≥-52]

在剛開始做題時，要求學生寫出每一步解題步驟的具體依據.教師引導學生類比歸納：解一元一次方程就是將其逐步變形為[x=a]（[a]為常數）的形式，而解一元一次不等式就是把不等式逐步變形為[x>a]（[x≥a]），[x

三、從思維方法認知下看群體互動場的塔馬拉效應

思維方法是數學本質所在.群體互動場的塔馬拉效應是指對于墨守成規的習以為常的觀念或事情倒過來思索的一種逆向思維方式.在一般課堂上，學生已經習慣于沿著事情發展的正方向去思考問題并尋求解決問題的方法[2]，但其實對于一些特殊問題，從問題本身出發推回到已知前提去考慮，或許會使解決問題的方法更便捷，甚至因此會有所發現，這就是逆向思維的魅力.

例如《平行線的性質（1）》主要經歷“兩直線平行，同位角相等”這一平行線的性質的探索過程，并且會用此性質進行一般的判斷和推理，學會表述，是屬于空間和圖形領域的基礎知識，為今后學習三角形全等、三角形相似、四邊形等知識奠定了理論基礎.本節課首先通過中國古代《路邊苦李》的故事，作為一種逆向思維在數學學習中的體現，在教授平行線的性質時，教師采用引導探究歸納法，通過精心設計問題，引發學生濃厚的學習激情，在教師因勢利導的引導下，學生通過自主合作、觀察、發現、測量、猜想、交流、歸納，總結出平行線的性質，使數學教學成為教師指導下、學生自主探索的活動過程，并在思索中逐步形成自己的觀點，培養學生擅于觀察、勤于動手、勇于表達、樂于思考的學習習慣.

例 如圖2，梯子的各條橫檔互相平行，[∠1=100°]，求[∠2]的度數.

師：請思考本題并說說解題思路.

生1：[∵AB//CD]，[∴∠1=∠3=100°]，[∴∠2=180°-∠3=80°].

師板書1：[AB//CD]（已知）

↓平行線的性質

[∠3=∠1=100°]

↓平角的意義

[∠2=180°-∠3=80°]

生2：想要知道[∠2]的度數，就要知道[∠3]的度數，因為[AB//CD]，所以[∠3]與[∠1]的度數相等，只需要知道[∠1]度數.

師板書2：要求[∠2]的度數

↑平角的意義

只需要知道[∠3]的度數

↑平行線的性質

只需要知道[∠1]的度數

↑

[∠1=100°]已知

師：小組討論這兩種解題思路的特點.

生：思路1由已知條件出發，思路2由所求結果出發.

師概括：思路1的特點是從已知出發思考問題，由因尋果，為綜合法.思路2的特點是從所求結果出發思索問題，執果找因，為分析法.

在教學過程中不難發現，整個班級大多數個體都比較平常，但有些學生擅長從已知條件出發去看待問題，有些學生則擅長從所求結果出發去看待問題，讓他們的特長得以發揮，在解決問題的時候經常用兩面夾擊的方法，即用分析法去思索，尋找解題途徑，用綜合法進行書寫，雙管齊下，找到溝通已知條件和結論的最佳方法，逐步縮小條件和結論之間的距離.正如恩格斯所說：“沒有分析就沒有綜合.”分析和綜合既是對立的，又是統一的，相比較而存在的，這樣就可以產生塔馬拉效應.

綜上所述，在課堂上，良好的學生群體互動關系會產生積極向上的能量，產生積極的互動效應，促進課堂教學工作積極有序的展開，并取得理想的效果.

參考文獻：

[1]劉堤仿.數學教師專業發展的三維視角[M].北京：現代教育出版社，2008：224-225.

[2]楊曉霞，易良斌.數學教學中培養學生結構性思維的路徑探索[J].教學月刊·中學版（教學參考），2018（7/8）：16-17.