高中數學圓錐曲線解題探究

張凱

【內容摘要】圓錐曲線是高中數學教學的重要內容，也是高中數學教學中的難點問題。雖然自初中學生學習函數以來，掌握了二次函數反比例函數等相關內容，但是對拋物線、雙曲線等知識并未形成系統的認識。因此本文將基于此對高中數學圓錐曲線的解題方式進行探究。

【關鍵詞】數學圓錐曲線解題

圓錐曲線是高中數學的重要組成部分，一般而言圓錐曲線的圖形分為橢圓、雙曲線和拋物線這三種形式。而在進行圓錐曲線的學習時還會涉及直線與圓錐曲線的位置關系，如相交、相切、相離。如何在眾多關系中找到更加簡便的解題方法是至關重要的。對于圓錐曲線而言 ，三種圓錐曲線的方程和性質是教學的重點，如取值范圍、對稱軸、頂點、離心率等。而圓錐曲線的難點就是圓錐曲線的綜合應用。下文將從不同的幾種方式簡談圓錐曲線如何解題。

一、運用定義進行解題

定義是圓錐曲線的基礎，因此在教學 的過程中需要讓學生熟練掌握定義，并能夠舉一反三，利用定義進行解題。例如在這樣一道經典例題中，便是用定義求解的。

例如：如圖線段AB=8，點C在線段AB上，AC=2，P為移動點，現將點A繞C點旋轉后與點B繞點P旋轉后重合于D。現在我們設CP=x，△CPD的面積為f（x），則f（x）的定義域和最值是什么？

根據這道題的題目我們可以知道PD=PB，且PD+PC=BC=6，又因為CD=CA=2。這時我們就可以根據圓錐曲線的定義進行求解。我們知道焦距為2，長軸的長是6，那么根據定義我們知道短軸的長為42，因此PC=22，同時當△CPD的面積為最大時也就是22.這道題雖然是讓求定義域和最大值，其實就是動點到兩個定點舉例之和為定長時，我們就應該聯想到橢圓定義，然后引導學生進行正確的解題。

二、運用化歸思想解題

在高中數學雙曲線解題中，如果一味運用定義生搬硬套，有時會讓題目變得錯綜復雜。而化歸思想是數學解題的利刃，可以讓復雜的問題簡單化，讓陌生的問題熟悉化。因此在雙曲線解題過程中巧妙運用化歸思想解題是十分有效的。

例如已知橢圓方程的焦距為23，離心率為32 。求橢圓方程并設橢圓定點B（0，b）的斜率為k的直線交橢圓于D，交X軸于E，且成等比數列，求k2。

這道例題的第一問很簡單，需要依靠定義和題目條件按部就班求解就可以。但是在第二問的求解上就十分值得思考了。通常我們可以按照常規思路把B、D、E的坐標用斜率表示出來然后在把的長度代入表示出來，最后求得k2的值。這一思路看似很直接、簡單，但是在實際解決中會發現有十分巨大的運算量，因此這種方式十分費力不討好。基于這個思路可以進行改良，將B、D、E的坐標用斜率表示出來后將投影到y軸并利用相似三角形來求解。這就運用了化歸思想，讓復雜的問題簡單化，讓陌生的問題熟悉化。根據已知條件我們可以得知橢圓方程為x24+y2=1，過B點的直線為y=kx+1。通過聯立這兩個方程，可以求出D點的坐標，由于呈等比數列，所以|BE|2=|BD||DE|，然后求解可得出k2的值。

三、運用參數方程解題

參數方程是相對獨立的內容，雖然在高中階段的運用的不是十分普遍，但是對于解決一些圓錐曲線的問題十分有幫助。因此在教學的過程中，教師應該向學生講解基礎的參數方程的應用問題，讓學生學會運用參數方程解決橢圓方程。

例如矩形ABCD的四個頂點都在橢圓上，橢圓的方程為x2a2+y2b2=1，同時對稱軸平行于坐標軸，求矩形的面積最值。

在橢圓方程x2a2+y2b2=1的坐標可以表示為（acosθ，bsinθ），然后用它表示出矩形的面積。在這道例題中，運用參數方程描述橢圓上的坐標，由于只有 一個變量，因此這個公式是只有一個自變量的解析式。運用參數方程的方式可以將二元函數轉化成一元函數來解題，是十分有效的一種方式。

圓錐曲線問題是高中數學的重要內容，所蘊含的內容十分豐富，解題方式也十分靈活多樣。本文只是選取了幾個教學方式進行了探究，圓錐曲線內容仍有很多方面值得教育工作者去探究。希望通過本文可以起到拋磚引玉的作用，讓課堂教學更加高效，讓學生學習圓錐曲線更加得心應手。

【參考文獻】

[1]安靜.高中數學中圓錐曲線課堂教學探討[J].數學學習與研究，2014（17）：14-15.

[2]王琦.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用[J].科學大眾：科學教育，2017（1）：28.

[3]莊豐.圓錐曲線問題中減少運算量的利器——構造法[J].中小學數學：高中版，2015（10）：61-63.

（作者單位：安徽省合肥市第十七中學）