淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題過程中的應(yīng)用

陳虎

【摘要】數(shù)形結(jié)合滲透于中學(xué)教材之中，高中數(shù)學(xué)的幾乎每一章節(jié)都有以數(shù)形結(jié)合的形式出現(xiàn)的問題，成為貫穿高中新課程的主線之一，從高中課程中知識(shí)點(diǎn)為主線思考數(shù)形結(jié)合思想在解題過程中的應(yīng)用，希望能起到拋磚引玉的作用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 高中數(shù)學(xué) 應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來進(jìn)行思索，使抽象思維與形象思維結(jié)合，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，從而利用數(shù)形的辯證統(tǒng)一，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結(jié)合滲透于中學(xué)教材之中，高中數(shù)學(xué)的幾乎每一章節(jié)都有以數(shù)形結(jié)合的形式出現(xiàn)的問題，成為貫穿高中新課程的主線之一，同時(shí)數(shù)形結(jié)合是歷年高考重點(diǎn)內(nèi)容之一。

第一，在集合部分，表示集合的圖示法。在解集合題時(shí)，可以通過圖示法（如韋恩圖、數(shù)軸、坐標(biāo)圖像）直觀展現(xiàn)集合與集合、集合與元素間的關(guān)系，使問題直觀化、形象化。

評(píng)析：本題是集合運(yùn)算的逆向問題，畫圖使得解題過程快速直觀。

第二，在函數(shù)部分，圖像都是從“形”的方面來表示函數(shù)關(guān)系，形象地顯示了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性等性質(zhì)，為研究函數(shù)數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，而函數(shù)的“數(shù)”則為函數(shù)圖像提供了理論依據(jù)和證明，在解決一些抽象的函數(shù)問題時(shí)，要充分發(fā)揮圖像的直觀作用，把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換。

在解決與方程的根有關(guān)的問題、反函數(shù)問題、函數(shù)的單調(diào)性問題、比較數(shù)值大小問題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想可以使問題的解決得到簡(jiǎn)化.

例2.已知方程|x2-4x+3|=m有4個(gè)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個(gè)數(shù)，而求方程的根的個(gè)數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題來解決。

解：方程|x2-4x+3|=m根的個(gè)數(shù)問題就是函數(shù)y=|x2-4x+3|與函數(shù)y=m圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

做出拋物線y=x2-4x+3=（x-2）2-1的圖像，將x軸下方的圖像沿x軸翻折上去，得到y(tǒng)=x2-4x+3的圖像，再作直線y=m，如圖2所示：由圖像可以看出，當(dāng)0

評(píng)析：數(shù)形結(jié)合可用于解決方程的解的問題，準(zhǔn)確合理地作出滿足題意的圖像是解決這類問題的前提。

畫出函數(shù)的草圖（圖3），由圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0]，[1，+∞），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，1]。

評(píng)析：在解決函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，我們常需要先確定函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，數(shù)形結(jié)合是確定函數(shù)單調(diào)性常用的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間形象直觀地反映在函數(shù)的圖像中。

例4.設(shè)函數(shù)f（x）=|lgx|，若0f（b），證明：ab<1。

分析：f（x）=|lgx|的圖像如圖4，由0f（b）可知必有0

證明：（1）當(dāng)時(shí)0

（2）當(dāng)時(shí)0

F（a）-f（b）=|lga|-|lgb|=-lga-lgb=-lgab>0，即lgab<0

∴ab<1

第三，在不等式部分，從不同角度構(gòu)造函數(shù)或不等式的幾何意義，讓不等式的解集直觀地表現(xiàn)出來，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想，給我們以“柳暗花明”的解題情境。 第四，在向量部分：向量具有二重性，一方面具有“形”的特點(diǎn)，如向量及其運(yùn)算的幾何意義；另一方面雙具有一套優(yōu)良的運(yùn)算性質(zhì)。因此，數(shù)形結(jié)合思想在這類問題中應(yīng)用，可將與向量的有關(guān)問題結(jié)合其幾何意義有時(shí)可轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何問題來處理，同時(shí)某些幾何問題也可以轉(zhuǎn)化為向量問題來解決。

第五，許多線性規(guī)劃問題，極值問題，存在著圖形背景，借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過圖形給出直觀的幾何描述，啟發(fā)思維，解決問題。由于篇幅關(guān)系不在再舉例說明。

綜上所述，數(shù)具有抽象概括的特點(diǎn)，形具有直觀形象的特點(diǎn)，在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，如能注意數(shù)形結(jié)合，想互補(bǔ)充，往往會(huì)收到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]章士藻.中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué).江蘇教育出版社.

[2]高中復(fù)習(xí)新構(gòu)想——數(shù)學(xué).光明日?qǐng)?bào)出版社.