一類常見力學(xué)問題錯解辨析

劉翠紅　王建永　文文

摘 要：計算旋轉(zhuǎn)面或旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)心是力學(xué)中的一類常見問題，解決這一類問題經(jīng)常出現(xiàn)微分量表達(dá)式寫錯的情況。本文分析了這一問題產(chǎn)生的原因，并給出了解決這一問題的比較簡便的夾逼準(zhǔn)則方法。通過用夾逼準(zhǔn)則方法分析旋轉(zhuǎn)面或旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)心計算問題，發(fā)現(xiàn)計算旋轉(zhuǎn)面的質(zhì)心時，應(yīng)把微元看成圓臺，而計算旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)心時，應(yīng)把微元看成圓柱。

關(guān)鍵詞：質(zhì)心 微元法 夾逼準(zhǔn)則

中圖分類號：O313.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）09（c）-0165-02

計算質(zhì)量連續(xù)分布的物體的質(zhì)心是力學(xué)中的一類常見問題。解決這一類問題的基本方法是微積分中的微元法，即把物體剖分成無數(shù)微元，先對微元做定量分析，然后再把分析結(jié)果對整個物體積分[1-3]。然而我們在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在使用微元法的時候不能正確地寫出微分量的表達(dá)式，導(dǎo)致了計算得到的物體的質(zhì)心是錯誤的，而且這一類錯誤比較隱蔽，不容易通過檢查進(jìn)行排除，所以很有必要指出并糾正這一類錯誤。

1 錯誤分析

下面我們以兩道計算物體質(zhì)心的題目為例，來說明這一類問題的常見錯誤做法及其產(chǎn)生錯誤的原因。

例1：如圖1所示，半球面質(zhì)量均勻分布，半徑為R，求其質(zhì)心。

解法1：由半球面質(zhì)量分布的對稱性，可知半球面的質(zhì)心一定在z軸上，因此只要計算質(zhì)心的z坐標(biāo)即可。

如圖1所示，取夾在均平行于半球面底面且距離為dz的兩平面之間的半球面部分為微元，把這一微元看成圓柱的側(cè)面，圓柱的側(cè)面展開后為一長方形，其長為，高為dz，面積。質(zhì)心的z坐標(biāo)：

其中σ為半球面的質(zhì)量面密度。

解法2：微元取法和解法1相同，把微元看成圓臺的側(cè)面，圓臺的側(cè)面展開后為一長方形，其長為，高為ds，面積。質(zhì)心的z坐標(biāo)：

顯然兩種解法的計算結(jié)果不同，那么哪種解法錯了呢？

經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)兩種解法的主要區(qū)別在于對微元的處理，解法1把微元看成圓柱的側(cè)面，得到的微元面積的表達(dá)式為，而解法2把微元看成圓臺的側(cè)面，得到的微元面積的表達(dá)式為。這最終導(dǎo)致了兩種解法計算結(jié)果的不同。

根據(jù)微積分理論[4]，只有式子成立時，才可以作為dU的表達(dá)式，即才有。這里是量U在某小區(qū)間上的增量，是一連續(xù)函數(shù)，是的高階無窮小，dU是量U在該小區(qū)間上的微分。

但是用公式來檢驗?zāi)骋槐磉_(dá)式是否某量的微分通常是比較麻煩的。實際上，用微積分中求極限的夾逼準(zhǔn)則來尋求一個量的微分是比較簡便的。下面我們結(jié)合例1，來說明這種方法。

如圖2所示，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，其圖象繞軸旋轉(zhuǎn)一周后形成一旋轉(zhuǎn)體。為求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積，用垂直于軸的平面把旋轉(zhuǎn)體剖分成無數(shù)微元。為求圖中所示微元（為清楚起見，把該微元放大了）的側(cè)面面積，設(shè)想把該微元的側(cè)面剪開并平鋪在一平面上，將得到如圖3所示的實線圖形ABCD，其中弧AB的長度為，弧CD的長度為，。由圖3易知，實線圖形ABCD的面積介于圖形ABEF的面積和圖形HGCD的面積之間，即有

由于在微元取法確定的情況下，微分量的表達(dá)式是唯一的，所以式（1）就是這里的微分量的表達(dá)式。

回到例1的兩種解法，根據(jù)式（1），可知解法1是錯誤的，解法2是正確的，即計算所取微元側(cè)面面積時，應(yīng)把所取微元看成圓臺，而不是圓柱。

例2：如圖1所示，半球體質(zhì)量均勻分布，半徑為R，求其質(zhì)心。

解法1：由半球體質(zhì)量分布的對稱性，可知半球體的質(zhì)心一定在z軸上，因此只要計算質(zhì)心的z坐標(biāo)即可。

如圖1所示，取夾在均平行于半球體底面且距離為dz的兩平面之間的半球體部分為微元，把這一微元看成圓柱，其底面積為，高為dz，體積。質(zhì)心的z坐標(biāo)：

顯然兩種解法的計算結(jié)果不同，那么哪種解法錯了呢？

經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)兩種解法的主要區(qū)別在于對微元的處理，解法1把微元看成圓柱，得到的微元體積的表達(dá)式為 ，而解法2把微元看成圓臺，得到的微元體積的表達(dá)式為。這最終導(dǎo)致了兩種解法計算結(jié)果的不同。

下面我們依然用夾逼準(zhǔn)則來分析兩種解法的對錯。

如圖2所示，函數(shù)在區(qū)間[a，d]上連續(xù)，其圖象繞軸旋轉(zhuǎn)一周后形成一旋轉(zhuǎn)體。為求旋轉(zhuǎn)體的體積，用垂直于軸的平面把旋轉(zhuǎn)體剖分成無數(shù)微元。由圖4易知，微元的體積介于半徑分別為和的兩圓柱的體積之間，即有：

2 結(jié)語

微元法是分析物理及工程技術(shù)問題的重要方法。在使用微元法時，寫出微分量的正確的表達(dá)式是解決問題的關(guān)鍵。檢驗微分量的某一表達(dá)式是否正確的基本方法是看其是否滿足式（1），或者用更簡便的求極限的夾逼準(zhǔn)則。本文結(jié)合質(zhì)量連續(xù)分布的物體的質(zhì)心計算問題說明了用夾逼準(zhǔn)則檢驗微分量的某一表達(dá)式是否正確的方法，這一方法對人們用微元法解決實際問題具有重要的借鑒意義。

另外，旋轉(zhuǎn)體是一類比較常見的物體，本文的研究表明，計算其微元側(cè)面面積時，應(yīng)把微元看成圓臺，而計算其微元體積時，應(yīng)把微元看成圓柱。這是在涉及旋轉(zhuǎn)體物體時要特別注意的問題。

參考文獻(xiàn)

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[2] 吳紅燕，侯越.質(zhì)心概念的應(yīng)用問題研究[J].安陽師范學(xué)院學(xué)報，2009（5）：64-66.

[3] 王明美.平面組合圖形質(zhì)心的計算[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報，2011，29（3）：35-36.

[4] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].5版.北京：高等教育出版社，2002：267-269.