基于核心素養理念下的解題教學初探
——以一道高考題為例

☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

高中數學新課程標準修訂版提出了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等六大數學核心素養.數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的關鍵能力與思維品質，也是確保課程改革整體推進的核心.數學教學中，數學核心素養落實的迫切性日趨引起重視，如何在解題教學中落實核心素養的考查？筆者所在學校周末進行了一次周練，其中最后一題用了2017年普通高等學校招生全國統一考試理科數學第20題，學生的解答不理想.筆者以這道題為載體，談談核心素養在解題教學中的滲透，不當之處，敬請批評指正.

一、題目呈現

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

二、教學分析

（一）在分析問題過程中培養學生的邏輯推理能力

本題第（2）問是一道圓錐曲線中的定點定值問題，在解決這個問題時，可以從多個視角入手，因此也形成了不同的解題思路.

視角1：從結論入手

本題要求l過定點，設出直線l方程，根據直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，整理得到A，B橫坐標的和與積的關系.因此需要將直線l方程，與橢圓聯立，根據根與系數的關系得到直線中的定量關系.

證法1：設直線P2A和P2B的斜率分別是k1，k2.

如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐標分別為

由題設條件知，Δ=16（4k2+1-m2）＞0.

即m=-1-2k，當k＜0時，Δ＞0，

欲使y=kx-1-2k，即y+1=k（x-2），所以直線l過定點（2，-1）.

視角2：從題目隱含的基本圖形出發

本題的圖形隱含著“過橢圓上一個已知點作一條直線，與橢圓交于另一點”這個基本圖形，而這個基本圖形的解決方法常常是將直線與橢圓聯立，由于已知一個點的坐標，所以容易求出另一個交點，由此用分別用P2A，P2B的斜率表示出A，B點的坐標，寫出AB直線方程，找到直線過定點.

設直線P2A，P2B的斜率分別為k1，k2，則P2A，P2B的方程分別為y=k1x+1，y=k2x+1，其中k1+k2=-1.則直線P2A，P2B的方程為［k1x+（1-y）］［k2x+（1-y）］=0，

方程③的解就是橢圓C與兩直線P2A，P2B三個公共點P2，A，B的坐標，

當y≠1時，③可化為4k1k2（1+y）-x+（1-y）=0，

即A，B兩點的坐標滿足方程4k1k2（1+y）-x+（1-y）=0所以直線AB經過定點（2，-1）.

解題方法的獲得來自于題設條件、要證明的結論、題目結構之間的綜合分析.對題目所給的條件和結論進行邏輯推理，通過對此題的分析，教會學生發現已知和未知之間可能的因果鏈接，養成運用邏輯思考、分析問題的習慣.教會學生將新問題轉化為會解決的問題，未知的轉化為已知的，復雜的轉化為簡單，因為只有在這些轉化的過程中所用到的基礎知識、基本技能和基本思想才能讓學生真正理解、接受，只有經歷解答的過程才能積累基本活動經驗，才能逐步培養學生的核心素養.在日常教學中，教師要幫助學生把一個個具體知識理解到位并能用于解決問題，在日常教學中落實新理念，以核心素養為指向，既可以摒棄數學中諸如題海戰術之類的錯誤，又能切實發展學生核心素養.

（二）在拓展延伸中培養學生的數學運算能力

在解題教學中，教師不能僅僅滿足于“就題論題”，也不能止步于“練習鞏固”，而要通過有意義的探究活動，挖掘這一類題隱含的教學資源，圍繞“用代數方法解決幾何問題”這一主線，對原題進行拓展延伸，這樣可以極大提高課堂的效率和生機，培養學生的數學運算能力.

解完此題，可以追問學生：

（1）當直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值時，直線l具有怎樣的特征？

即當k1+k2=λ（λ≠0）是定值時，直線l恒過定點

（2）當直線P2A與直線P2B的斜率的積為定值時，結果又如何？

由“和”的定量關系，很容易想到其他運算結果是否也存在定量關系，自然就想到“積”的定量關系是否成立.解決方法和前面相同，此處限于篇幅，不一一細證.我們知道，圓錐曲線這章的運算一直是學生的軟肋，通過相同方法的操練，學生對運算的過程有了進一步的體驗，從而增加了對復雜運算的信心，提高運算能力.

證明：設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則PA，PB的方程分別為y=k1x+b，y=k2x+b，

即y-（k1x+b）=0；y-（k2x+b）=0.

將兩式相乘，按照x展開：

②代入①，得

方程③的解就是橢圓C與兩直線PA，PB三個公共點P，A，B的坐標，

當y≠b時，③可化為k1k·2（b+y）+（k1+k）2x+（b-y）=0，

即A，B兩點的坐標滿足方程

（1）當k1k2為定值λ，且（k1+k2）x+（b-y）=0，該直線系必過點③成立；

（2）當k1+k2為定值λ，且λ≠0，由④得λx+（b-y）=0，該直線系必過點），即④成立.

從這幾組變式中，我們發現圓錐曲線問題就是用代數的方法解決幾何問題，無論如何變，其大致的解題策略即為：將直線y=kx+m與橢圓聯立，得到“x1+x2”和“x1x2”的值，再根據定值關系，代入坐標，得到k、m之間的關系，最后利用直線的點斜式方程可以證明直線l過定點.在這個環節中，從特殊到一般，解決問題的方法不變，著眼讓學生經歷體會數學運算的過程與方法，旨在夯實學生數學運算的根基，提升學生運算求解的能力.通過觀察、分析選擇運算方向，求得運算結果，讓學生在運算過程中提升數學運算素養和鍥而不舍的意志品質.

數學運算是邏輯推理的重要形式，是得到數學結果的重要手段，是解決一切數學問題的基礎，這是數學運算的價值所在.通過數學運算核心素養的培養，能夠提高學生邏輯推理能力和解決數學問題的能力，形成程序化思考問題的習慣.因此，課堂教學設計應著眼數學運算的過程與方法，摒棄直接告訴學生運算方法和結果的做法，讓學生親身經歷數學運算的全過程，學會探究運算的方向，掌握運算的法則，選擇運算的方法，感受數學運算過程所帶來的成功體驗，從而提升學生的運算求解能力，培養學生數學運算、邏輯推理等核心素養.

（三）在變式中培養學生的數學抽象能力

一題多變往往將原題改為與原題內容、形式不同但解法類似的題目，例如，交換題目的條件與結論，讓學生在“變”中發現“不變”的本質，從“不變”中發現“變”的規律.在解題過程中，使學生領悟解題方法，由會解一道題到會解一類題，觸類旁通，舉一反三，從而有效較提高學生發散思維能力和知識遷移能力，提高學生的數學抽象能力.通過關聯題組，把學生的盲點變成探究點，加強他們知識點之間的橫縱聯系，在拓寬學生的思維廣度上是行之有效的.

追問：我們知道，數學中很多結論與條件交換了仍然成立，那么此題中，是否成立？答案是肯定的.

（a2k2+b2）x2+2mka2x+a2（m2-b2）=0.

當Δ=4a2b2（a2k2+b2-m2）＞0時，方程有兩個不相等的實數根，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

類似地，我們也可以得到當PA，PB積為定值和直線AB過定點，也是充要條件，這里不再贅述.

我們知道，橢圓和雙曲線、拋物線都是屬于圓錐曲線，那么這個定點定值結論是否在雙曲線和拋物線中成立呢？答案是肯定的，限于篇幅，這里只給出結論，留給讀者自證.

①當λ≠0時，k1+k2=λ的充要條件是直線AB過定點

（7）過拋物線y2=2px（p＞0）上的定點P（x0，y0）作斜率為k1，k2的兩條直線分別與拋物線交于A，B兩點，對于定值λ：

①當λ≠0時，k1+k2=λ的充要條件是直線AB過定點

通過變式探究讓學生加深對這類直線與圓錐曲線相交問題本質的理解，進一步提高識圖能力，學會用待定系數法求這類定值問題，引導學生思考橢圓與雙曲線，拋物線之間的內在聯系，通過觀察、分析、運算和反思，培養學生直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學抽象等核心素養.

總之，在數學課堂中，提升學生數學核心素養是一項系統工程，唯有將課堂的主動權交給學生，以數學知識的探究學習過程為載體，激發他們學習的熱情和智慧，積極培養學生的主動思考能力，才能把數學核心素養的培育落實在課堂教學的各個環節，把課堂真正的還原給學生，使課堂始終成為提升學生數學核心素養的主陣地.H