探索式教學設計的嘗試
——以《兩角差的余弦》為例

☉江蘇省南京市第十二中學 韓 靜

探索式教學是一種非常前沿的教學方式，其在上個世紀五十年代漸漸成為一種合理的教學方式.據筆者在各種參考資料上研究表明，探索式教學在國外公立學校中的使用頻率是相當高的，其目的旨在通過學生探索使其主動建構知識的形成，從而牢固地掌握知識體系.本文以三角函數內容《兩角差的余弦》為例，談一談自身的教學設計，如何讓學生理解公式的形成、推導，以及這樣設計的原因，請讀者指正.

一、背景分析

本課是人教版必修四第三章第一節的內容，它是正弦線、余弦線和誘導公式教學內容的延續，同時也是兩角和、差和倍角公式的源頭，是三角恒等變換的基礎.它對于三角變換、三角恒等式的證明都有著極強的工具性作用，是承上啟下的重要知識.

從學生的教學掌握水平來看，其已經掌握了利用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數，學習了誘導公式.理解了平面向量及其運算的意義，并能用數量積表示兩個向量的夾角，經歷了用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程.然而學生對向量作為工具處理問題的廣泛可用性體會不深，很難將一個三角問題聯想到用向量來解決.同時思維不夠嚴謹，教學時要引導學生區分清楚兩角差與相應向量夾角的區別和聯系.

完成本節知識的主要目標是：第一，通過向量的數量積推導兩角差的余弦公式.通過公式的簡單運用，使學生初步理解公式的結構及其功能；第二，通過公式的推導，著重培養學生獲取數學知識的能力和數學交流的能力.同時通過公式的靈活運用，培養學生的轉化思想和變化能力；第三，在教師的設計下，通過探索式教學，啟發學生自我發現、自我鉆研的精神，從學科素養的角度提高學生的核心素養.

二、設計思路

（1）兩角差的余弦作為和差關系的起始課，是有一定難度的.這里往后的三角公式與前期的三角公式有著本質的不同，因此如何設計教學成為關鍵.關于兩角差余弦公式的認知起點：我們都知道，教學應該從學生已有的與本節課相關的知識作為認知起點來展開教學，那么什么知識與兩角差的余弦公式有直接聯系呢？答案是誘導公式.我們都知道誘導公式是兩角和差公式的特殊情況，按照特殊與一般地辯證思想，誘導公式中反應出來的核心知識，思想方法在兩角差的余弦公式中會有更一般的反應.

圖1

圖2

誘導公式（一除外）反映圓的對稱性，看如下事實：π-α與α的終邊關于的終邊所在直線對稱，如圖1-α與α的終邊關于的終邊所在直線對稱，可以歸納出β-α與α的終邊關于的終邊所在直線對稱.這說明兩角差的余弦公式本質是對稱，是一個角的終邊關于另一個角的一半的終邊所在直線的對稱問題，是圓的對稱性的廣泛意義上的代數解析式.如圖2，從對稱性角度求解如下：

直角坐標系xoy 直角坐標系x′oy′

（2）鑒于此處的探究本質上是教師牽引學生完成，刪去教材中“幾何證明”部分.對比人教版、北師大版、蘇教版教材，只有人教版有“幾何證明”內容，表明“幾何證明”不是必需的；從證明的簡潔程度和教材的編排順序來看，著重要學習的是向量法證明，“幾何證明”的作用是思路的一個過渡，是考慮到證明兩角差余弦公式時學生不容易想到向量方法，而是更容易想到三角函數線，根據三角函數線設計的一個辦法.新的設計只要從三角函數線入手，逐步遷移到向量法即可.

（3）探索過程不追求一步到位，先不理會其中的細節，抓住主要問題進行探索，然后再反思完善.設計思路經歷以下兩個階段的修正：

圖3

圖4

第一階段：如圖3，圖4，將α，β特殊成45°和30°，將求cos（α-β）問題修改為求cos15°，有利于顯化已知條件和所求解，讓學生有可能從解三角形的角度解決問題，如圖3，圖4，即在等腰△AOB中，已知三邊，求頂角∠AOB.

設計的好處如下：第一，從求cos（π-α）遷移到求cos很自然地聯系到角的定義，單位圓，三角函數線；第二，很自然地體現角-α的終邊.這里有一個問題，是否需要體現-α的終邊？之前的學習通過旋轉的方式將角推廣到任意角，并用終邊與單位圓的交點來定義三角函數，而本課又是探究-α的三角函數，應該畫出-α的終邊，從而體現這個角的三角函數，讓學生產生對已學知識的聯系；第三，通過探究-α的位置，如圖5，得到△AOP?△P1OP2，將余弦線OM的長等價到OM2的長，通過提示OM2的含義：線段OP2在線段OP1上的射影，容易聯想到向量投影，從而過渡到向量方法求解.

圖5

三、步驟分析

步驟2：你認為公式會是cos（α-β）=cosα-cosβ嗎？讓學生自己動腦，動手驗證，從而認識要探索的意圖：公式在“恒等”方面要求的意義.第一，使學生明確常犯的直覺性錯誤為什么是錯的；第二，統一對探究目標中“恒等”要求的認識.

步驟3：回憶cos（π-α）=-cosα推導的過程.

意圖：教師展示“回顧過程”，回顧三角函數的定義，為下一步做好鋪墊.

圖6

圖7

步驟5：分析要求的量和已知條件.

意圖：學生依次思考以下問題：第一，已知條件都集中在哪個三角形內，已知什么？第二，余弦線OM可以轉化為△P1OP2中哪段長？第三，有沒有辦法求解OM1的長.

步驟6：注意到OM2的含義：線段OP2在線段OP1上的射影.你在學習什么知識時接觸過射影的概念？

意圖：讓學生經歷怎樣用向量知識作出探索的過程：第一，結合圖形，明確應選擇哪幾個向量，它們怎么表示？第二，怎樣利用向量數量積的概念和計算公式得到探索結果；第三，③將求射影遷移到求夾角余弦上來.

圖8

圖9

步驟7：推導cos（α-β）.

意圖：第一，觀察以上圖8和圖9，指出α-β與向量夾角θ之間的關系；第二，推導cos（α-β）與cosθ的關系.

步驟8：用兩角差的余弦公式證明：

意圖：體會誘導公式是兩角和差公式的特殊情況.

步驟9：教材例題1、例題2.

意圖：通過應用理解公式最基礎的練習.第一，三角變換關注角的拆分，易于理解；第二，由于是具體角，拆分過程容易進行；第三，拆分的多樣性，決定變換的多樣性；第四，思考問題：由求sin75°的值，為后面變換函數種類的思考作出鋪墊；第五，它需要思考實用公式前應做出的必要準備；第六，作出必要準備要運用同角三角函數的知識.

步驟10：小結.

意圖：教師可引導學生圍繞以下方面小結：第一，對公式的探索過程：怎么聯系有關知識？怎么進行探索？在探索方法方面的啟示；第二，利用差角余弦公式方面：對公式結構和功能的認識；三角式變換的特點；表述變換過程，引導學生思考建構探索過程中解決問題的方式方法.

總之，探索式課堂教學的設計是整節課流程的關鍵，從課程流程中，我們不難發現教師合理的設計是引發學生探索的主動力，在教學中需要不斷引導學生探索，這種學習方式有助于學生后續形成正確的知識學習觀，有助于其學科素養能力的形成.

1.宋衛東.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升【J】.中學數學月刊，2013（5）.

2.方石.數學教學詮釋思維品質【J】.數學通訊，2014（4）.

3.柴賢亭.數學教學中的問題設計 【J】.中學數學（上），2012（10）.H