高考數學文化命題的特征分析與啟示*
—— 以湖北十二年自主命題為例

☉浙江師范大學教師教育學院 李懷軍

☉河南師范大學數學與信息科學學院 黃廣月

為了提升學生核心素養(yǎng)、深化課程教學改革，教育部考試中心于2016年10月公布了《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》（教試中心函［2016］179號），提出“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內容”.2017年高考數學試題在命制上就體現(xiàn)出上述文件的要求：以太極圖中的陰陽魚、劉徽的割圓術和數學名著《算法統(tǒng)宗》為背景滲透數學文化；關注社會發(fā)展，注重引導考生運用數學知識解決生活實際問題.［1］高考試題命制的實踐和探尋，是推進考試內容改革的切入點.湖北省持續(xù)12年自主命制高考數學試題（湖北省自2004年起持續(xù)自主命制語文、數學和外語三門高考試題，并按照教育部要求于2016年回歸使用全國卷.），積累了豐富的命題經驗，“依托數學史料，嵌入數學名題，彰顯數學文化”［2］便是其中一個特色.對此，一些學者主要從試題賞析［2，3］或對試卷宏觀的把握與展望［4］的角度進行了階段性或整體性的研究.本文側重從整體的角度，對湖北12年文、理兩科自主命題，共二十四套高考數學卷進行較為全面的統(tǒng)計和深入的分析，以總結出命題特色和經驗，為廣大高中數學教師的教學提供參考.

一、數學文化命題的特征分析框架

唐恒鈞等在對澳大利亞數學統(tǒng)一評估試題進行文化研究時，從顯性要素的角度，將數學文化類型分為數學史、數學與生活、數學與科技、數學與人文社會、數學游戲、數學與藝術體育等6類.［5］對湖北12年高考數學試題進行分析，發(fā)現(xiàn)不存在“數學與體育”類試題，所以本文將高考試題中的數學文化整合為數學史、數學與生活、數學與科技、數學與人文藝術、數學游戲共5類.

二、數學文化類試題的命題特征分析

初步統(tǒng)計，湖北2004～2015年高考數學試題共有135道數學文化類試題，年度分布如圖1所示.據此可知，數學與生活、數學與科技類是數學文化命題的兩大傳統(tǒng).其中，數學與生活類試題在歷年試題中均有分布，所占比重也幾乎是最高；數學與科技類試題在前10年均有出現(xiàn)，且呈穩(wěn)定狀態(tài)，不過于最后2年“消失”于試卷.與此相反的是，數學與人文藝術、數學游戲散見于某些年份，數量極少.與前四類截然不同的是，數學史自2006年首次出現(xiàn)，之后在數量上呈上升態(tài)勢，并在2012～2015年穩(wěn)居高位.

圖1 數學文化類型試題2004～2015年度分布

進一步分析發(fā)現(xiàn)，湖北高考數學文化命題呈現(xiàn)出以下四個顯著特征：

1.依托數學史料，特色鮮明

如劉翀、儲廣釗所言：“依托數學史料，嵌入數學名題，彰顯數學文化”，這是湖北卷鮮明的特點.其實，經過12年時間的沉淀，湖北卷在數學文化類型的呈現(xiàn)上更加豐富多彩.

（1）取材數學名著，彰顯中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.

數學名著幾乎全部取材于我國古代的三本古算術書——《九章算術》、《數書九章》和《算數書》，見表1所示.該類試題主要以我國古代社會人們的生活實際和生產實際為背景，先用古漢語描述，再用現(xiàn)代漢語進行翻譯和解釋.［6］

這些試題的設計既符合考生的認知水平，又讓考生了解中國古代的數學成就，感受到我國古代數學的優(yōu)秀傳統(tǒng)——數學要關注生產、生活等社會問題，通過了解數學文化，體會數學知識方法在認識現(xiàn)實世界中的重要作用.［2］

（2）借助數學名題，考查數學思想方法.

表1 取材于數學名著的試題

表2 取材于數學名題的試題

數學名題是在歷史發(fā)展的長河中形成的，并在數學發(fā)展、數學應用和數學教學等方面起過或仍起著重要的作用，在數學史或數學教育史上有重要的地位和特殊的作用.

湖北省12年的高考自主命題數學試題中，也融入了數學名題、趣題（見表2）.它們大都與經典名題有關，背景涉及古今中外，有助于考生接受數學文化的熏陶，領略古今中外數學思想和方法的魅力.

（3）以數學家、數學學派成果為背景，領略數學全貌.

數學知識是數學家思維活動的成果，他們的思維方法、思維過程、求真向善尚美的精神及獨特的人格魅力是以“對象”的形式存貯在知識的內核之中.根據歷史相似性原理，學生在面對新問題時，很大程度上也會經歷數學家相似的思維過程，經受精神的洗禮.因此，以數學家、數學學派成果進行命制試題，不僅可以考查學生的思維方式和方法，也有利于幫助學生認識數學的發(fā)展性、直觀性、構造性和證偽性，激發(fā)學生學習數學的興趣和動機，培育真善美.

以畢達哥拉斯學派為例，湖北高考數學分別于2009、2012、2013年共三次（見表3）將其圖形數作為背景命制試題.圖形數理論源于古希臘畢達哥拉斯學派對自然現(xiàn)象和人類生活的觀察和思索——數不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀，數量和形狀決定自然物體的形式，并逐漸抽象成“萬物皆數”的哲學觀——數為宇宙提供了一個概念模型，數是宇宙萬物的本原.因此，這三道高考題不僅內在傳遞著上述的數學觀念，也引發(fā)一種思考——數學的孕育是一個漫長的過程，還能為數學課堂教學提供了很好的數學文化“引子”，有利于學生感受“萬物皆數”的哲學觀是人類文明史上首次將數學與文化緊密結合，對于自然科學的形成和發(fā)展中起到非常巨大的積極作用，體會列寧對畢達哥拉斯所作出的評價——“是科學思維的萌芽同宗教神話之類幻想間的一種聯(lián)系”——的涵義.

2.滲透“數學回歸生活”的理念

《普通高中數學課程標準（實驗）》在基本理念中指出：“高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯(lián)系，促進學生逐步形成和發(fā)展數學應用意識，提高實踐能力.”［7］湖北高考數學自主命題較為充分地體現(xiàn)了這一理念（見表4），既密切關注住房、環(huán)保等社會熱點問題，也涉及諸如過江大橋的車輛通行能力、車輛載運量與成本、志愿服務、家電送鄉(xiāng)活動等交通和公共服務問題.并且試題對生活話題的關注具有很強的時效性：2008年6月“中星9號”廣播電視直播衛(wèi)星被成功送入太空，同年8月8日我國舉辦北京奧運會，2009年這些元素就出現(xiàn)在理科第13題中.

表3 取材于數學家、數學學派成果的試題

將“數學回歸生活”的課程理念貫穿到高考數學試題的命制之中，既要求高考試題要貼近生活，蘊含生活化的情境.比如2013年文科第3題以小明同學騎車上學的三個連續(xù)事件為情境，讓考生判斷出哪一個是與這些事件吻合得最好的（距學校的距離關于時間的）圖像.又要讓學生能夠真切感受到數學是有用的，即將學生所學的數學知識應用于現(xiàn)實生活中，去解決歷史的、當下的許多現(xiàn)實問題.比如2008年文科第19題要求設計一張矩形廣告——含有大小相等的左右兩個矩形欄目，兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄間中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸，能使矩形廣告面積最小.

貼近生活與感悟數學的應用價值，不僅可以使學生感受到數學與現(xiàn)實生活的廣泛聯(lián)系，體會數學的價值；同時還可以使學生進一步鞏固所學的知識.特別是，在解答應用題時往往需要綜合性的數學知識，這將能幫助學生形成良好的知識網絡.［8］

3.跨學科融合，考查素養(yǎng)

科學與數學融合，培養(yǎng)求真精神；技術與數學整合，培養(yǎng)信息素養(yǎng).［9］數學與科技類試題利于考查學生綜合運用數學知識解決物理、化學、地理、生物、天文、醫(yī)療、衛(wèi)生、環(huán)境等學科或領域內問題的能力，以及探索、創(chuàng)新的精神、人際交往與合作能力和實踐能力.

表4 數學與生活類試題

在數學與科技這一類型上，湖北高考試題關注的范圍比較廣泛，見表5所示.既密切關注天文、地理相關的地球科學，比如嫦娥一號繞月變軌，水庫枯水期與最大蓄水量，衛(wèi)星覆蓋區(qū)域與“中星九號”衛(wèi)星發(fā)射，里氏震級M計算公式.又有諸如電子元件連接、放射性元素衰變現(xiàn)象、零部件的防腐處理等有關物理、化學物質科學的試題.

4.融入游戲和人文藝術，玩味數學

湖北卷從2009年開始以數學與人文藝術、數學游戲命制試題，如表6所示.這些試題以其雅趣的形式“娛人”，以其豐富的內容“引人”，以其無窮的奧秘“迷人”，以其潛在的功能“育人”.并且，部分數學游戲類試題與數學史中的數學名題交織重疊.

三、對數學教學改革的啟示

由以上分析可知，湖北高考數學12年自主命題，逐漸形成了以下命題特色：依托數學史料，特色鮮明；滲透“數學回歸生活”的理念；跨學科融合，考查素養(yǎng)；融入游戲和人文藝術，玩味數學.從試題的分析得到以下數學教學改革的啟示.

1.進一步擴大素材遴選范圍

教學素材既可以來源于生活、科技、數學名著或名題，也可以取材于高等數學，還可以從對古中國、古印度等世界古代數學文明，甚至包括現(xiàn)、當代中國數學家在內的研究成果進行加工獲得.比如，狄利克雷函數、（上、下）取整函數、符號函數、群、環(huán)、無窮的概念與性質，楊輝三角與排列組合，祖暅原理與微積分，劉徽的出入相補原理、割圓術與徽率，以及張丘建、朱世杰、秦九韶、祖沖之、李善蘭等數學家的杰出貢獻就是重要的教學素材.更有必要從教材文本中挖掘重要概念、法則、公式、定理、典型例、習題并加以改編，從國內外經典的數學游戲中遴選出集趣味性、啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性與評價性于一體的游戲題材，甚至從“萬物皆數”到“數學是一種文化體系”的數學哲學觀的嬗變中提取思想素材.

2.倡導發(fā)生式教學法

發(fā)生教學法是根據學生學習的過程與數學發(fā)展的歷程存在相似性，將數學思想逐步演化的歷史過程與數學嚴格的邏輯推理過程有機地結合起來，運用數學史的觀點和材料來重新組織教學的體系與內容，使學生真正理解課本上形式化推理體系背后的真正內涵.［10］運用發(fā)生教學法時，教師首先要通過創(chuàng)設情境等方式激發(fā)學生的學習興趣、動機，并在學生心理活動發(fā)展到恰當時機講授某個主題.在整個教學過程中，要根據重構的歷史進行教學，呈現(xiàn)知識的自然發(fā)生過程，努力讓學生在“文化繼承”中進行“意義賦予”.

表5 數學與科技類試題

表6 數學與人文藝術、數學游戲類試題

3.強調數學教學回歸生活

教師要針對數學教學內容從歷史生活與當下生活中尋求素材，根據學生特征與教學環(huán)境選擇生活素材作為教學素材，以及利用教學素材設計生活化的教學方案，實現(xiàn)數學的教育形態(tài)，也即“數學生活化”.另一方面，教師要引導學生在生活化的學習情境中探究、體驗或欣賞隱藏于其中的數學，用現(xiàn)實生活素材理解數學，用所學的數學內容應用于現(xiàn)實生活，從生活場景中實現(xiàn)“數學化”.［8］

4.踐行跨學科教育理念

從狹義上講，跨學科教育是基于復雜的問題通過多學科知識和方法的整合促進學生發(fā)展的教育.跨學科教育的產生是人們對知識、科技乃至社會發(fā)展至今的一個全新的、深刻的認識和訴求，具有優(yōu)化知識結構、培養(yǎng)創(chuàng)新能力、提升綜合素養(yǎng)的教育意義和價值.［11］教師可以通過教師之間的合作教學和引導學生進行合作學習，初步踐行跨學科教學理念.對于前者，教師之間可以采取全程合作教學、角色替換合作教學、互補合作教學、小組輪換合作教學等不同方式的合作教學.而對于后者，教師可以通過拋錨式教學、情境式教學、研討式教學、探究式教學、研究性教學，突出以學生為中心、強調團隊精神、促進合作學習.

1.董魯皖龍.滲透數學文化突出創(chuàng)新應用——專家解析2017年高考數學試題［N］.中國教育報，2017（3）.

2.劉翀，儲廣釗.穩(wěn)步創(chuàng)新，特色鮮明——對高考數學湖北十二年自主命題的賞析與回味［J］.數學通報，2016，55（1）.

3.倉萬林，史嘉.隨風潛入“卷”潤“題”細無聲——談湖北高考題的文化韻味及教學建議［J］.數學通報，2015（6）.

4.梅磊.回顧與展望：對十年高考數學湖北卷的一些思考［J］.數學通訊：教師閱讀，2013（11）.

5.唐恒鈞，張維忠.澳大利亞數學統(tǒng)一評估試題中的文化研究［J］.數學通報，2016（3）.

6.孫慶括.近十年高考數學文化命題的特征分析及啟示［J］.數學通報，2017（1）.

7.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

8.陳碧芬，張維忠，唐恒鈞.“數學教學回歸生活”：回顧與反思［J］.全球教育展望，2012（1）.

9.趙文靜，張雨強.初中數學課程中的STEM教育初探［J］.中小學教師培訓，2016（10）.

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11.陳濤.跨學科教育一場靜悄悄的大學變革［J］.江蘇高教，2013（4）.F