基于重視思維直覺下的運(yùn)算能力教學(xué)

☉南京大學(xué)附屬中學(xué) 杭麗華

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要關(guān)注很多方面，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)綜合能力素養(yǎng)的方方面面.比如，從定義和概念的角度我們要關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)；從變式角度思考知識(shí)運(yùn)用的多樣性；從運(yùn)算的角度體會(huì)代數(shù)方法的力量；從幾何意義的角度思考圖形化的重要作用等等，這些方方面面的結(jié)合才是數(shù)學(xué)綜合能力的培養(yǎng).

另一方面，大量研究表明學(xué)生數(shù)學(xué)問題的解決途徑主要是依賴直覺和慣性，這種直覺和慣性更多的是思維簡單化的體現(xiàn).并不是說學(xué)生這么做不對(duì)，而是因?yàn)閷W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中對(duì)知識(shí)的掌握和理解暫時(shí)只能達(dá)到這個(gè)層次，因此思維簡單化也是極為正常的選擇.這樣做最大的優(yōu)點(diǎn)是從解題角度發(fā)現(xiàn)問題的可解性，最大的缺點(diǎn)是往往因?yàn)樗季S直覺化導(dǎo)致運(yùn)算量有一定的攀升，因此可以這么說對(duì)于初學(xué)者而言要加強(qiáng)思維直覺角度下的運(yùn)算能力培養(yǎng)是關(guān)鍵.

一、數(shù)學(xué)思想在基本運(yùn)算中的重要性

基本運(yùn)算是一切數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，比如，各種三角公式的使用、向量的坐標(biāo)計(jì)算、解析幾何中直線和圓的位置關(guān)系、空間幾何中向量方法的使用等等.不少學(xué)生在應(yīng)試中計(jì)算方面的失分較多，而且很多因素是各種各樣的基本運(yùn)算，這足以表明簡單問題下的運(yùn)算是需要加強(qiáng)的.這里筆者需要進(jìn)一步指出的是，重視基本運(yùn)算的重要性不僅僅是基本量的運(yùn)算這么簡單，更要關(guān)注在這運(yùn)算中涉及一些簡單的數(shù)學(xué)思想，這樣的基本運(yùn)算才是有質(zhì)有量的.

問題1 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=m，前m項(xiàng)和Sm=n（m≠n），求它的前m+n項(xiàng)的和Sm+n.

分析：本題是一道注重基本量運(yùn)算的等差數(shù)列基本問題.學(xué)生對(duì)于這樣的問題思路上不存在什么問題，往往采用首項(xiàng)和公差的方式進(jìn)行計(jì)算，設(shè){an}的公差為d，所 以， 所 以 S=（m+n）a+m+n1

但是這個(gè)方式筆者曾經(jīng)在學(xué)生中測(cè)試過，大多數(shù)學(xué)生并沒有獲得最終的結(jié)論，顯而易見僅僅擁有基本運(yùn)算是不夠的，缺乏一定思想指導(dǎo)下的基本運(yùn)算都是低效的.那么如何解決這樣的基本量運(yùn)算問題呢？筆者認(rèn)為教學(xué)要關(guān)注在一定思想指導(dǎo)下的基本運(yùn)算，這樣的教學(xué)是合理的、高效的.思考等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)本質(zhì)，我們不難發(fā)現(xiàn)其為必過原點(diǎn)的二次函數(shù)，因此從一定思想基礎(chǔ)上的基本運(yùn)算是問題解決的關(guān)鍵：設(shè)Sn=An2+Bn（m-n）=n-m.因?yàn)閙≠n，所以A（m+n）+B=-1，所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）.

可以這么說，重視基本運(yùn)算不僅僅是最簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而是更要注重一些數(shù)學(xué)思想的滲透，如本題中涉及的函數(shù)思想、三角公式中涉及的整體思想等等，正是因?yàn)橛辛诉@樣的思想，我們才能將這樣的基本運(yùn)算做得更為簡捷、更為容易，使得數(shù)學(xué)解題運(yùn)算來得高效和有效.

二、關(guān)注函數(shù)知識(shí)在思維直覺中的始終

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的知識(shí)，不少其他知識(shí)都與函數(shù)緊密聯(lián)系.可以這么說，做一個(gè)數(shù)學(xué)問題歸根到底是轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，而直覺思維是最能體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思維，大多數(shù)變量問題最終勢(shì)必與函數(shù)模型緊密相連，而這樣的思維模式下的運(yùn)算將會(huì)是函數(shù)運(yùn)算能力的深化和體現(xiàn).也就是說，數(shù)學(xué)中的變量問題——直覺思維函數(shù)模型——模型運(yùn)算——求解成功.

問題2 設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e，e的夾角為，則的最大值等于______.

分析：本題是浙江高考真題，根據(jù)命題組編制本題的含義來說，其考查的主導(dǎo)思路是幾何法，即圖形化的處理：不妨設(shè)x≠0，由b=xe+ye，x，y∈R，e+e，所1212結(jié)合平行四邊形法則（如的最大值為2.

圖1

本題的幾何解答方式巧妙，但是筆者給學(xué)生做過這樣的問題嘗試，百分之九十五以上的學(xué)生思維直覺是對(duì)條件進(jìn)行代數(shù)化平方的處理，因?yàn)閹缀我饬x在本題中有一定的隱藏，導(dǎo)致學(xué)生發(fā)現(xiàn)困難.學(xué)生將結(jié)論進(jìn)行代數(shù)思維的直覺化處理，即平方后怎么進(jìn)行運(yùn)算處理？函數(shù)模型又是怎么轉(zhuǎn)換處出來？b2=|b|2=一般學(xué)生到這個(gè)步驟后基本限于停頓，其缺失進(jìn)一步的直覺思維下的運(yùn)算處理能力.其實(shí)教師站在系統(tǒng)的高度上加以引導(dǎo)，大部分學(xué)生是可以獲得問題解決的思路，并能夠牢固的存儲(chǔ)在知識(shí)體系中.這里要分三步引導(dǎo)：第一模型是不是齊次式？齊次式的處理方式你能回憶到什么？如sin2α+3sinα·cosα+2cos2α=1，求tanα等于多少？第二，整體思想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，在齊次式處理后你體會(huì)到了什么？第三，函數(shù)模型的發(fā)現(xiàn).有了這樣的合理引導(dǎo)，學(xué)生后續(xù)也能獲得問題解決的正確導(dǎo)向和思維直覺下的運(yùn)算，從而轉(zhuǎn)化出來的函數(shù)問題也不再是難點(diǎn).看本題的=t∈R，即整體思想的介入），則≤2，所以的最大值為2.

三、體會(huì)庖丁解牛在思維直覺中的運(yùn)算使用

庖丁解牛解數(shù)學(xué)問題，顧名思義是將復(fù)雜問題利用思維直覺分割完成，通過一個(gè)步驟一個(gè)步驟的分解，將完整問題的運(yùn)算分割成多步進(jìn)行，從而達(dá)到簡化問題求解的目的.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，求（fx）的極小值；

（2）若存在x1，x2∈［e，e2］，使（fx1）≤f（′x2）+a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：本題是利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)的壓軸問題，主要從函數(shù)單調(diào)性、極值等角度思考，其中涉及分類思想、存在性問題的處理手段等，對(duì)學(xué)生綜合問題解決能力要求較高.從學(xué)生的解決現(xiàn)狀來看，普遍是比較茫然的.第（1）問較為容易，不再過多贅述，f（x）的極小值是f（e）=e.主要分析第（2）問，我們采用思維直覺下的處理，分步驟解決問題：

步驟（1）：存在性問題如何處理？單變量還是雙變量？

步驟（2）：采用動(dòng)函數(shù)研究還是定函數(shù)研究？

步驟（3）：參變分離和分類討論哪個(gè)手段更簡潔？

步驟（4）：函數(shù)最值求解中的知識(shí)使用.

解決步驟（1）：進(jìn)一步研究問題，我們發(fā)現(xiàn)命題“若?x1，x2∈［e，e2］使f（x1）≤f′（x2）+a成立”等價(jià)于“當(dāng)x∈［e，e2］時(shí)，（fx）min≤f′（x）max+a”.由于f′（x）=--a在［e，e2］上為增函數(shù)，當(dāng)x∈［e，e2］時(shí)，f（′x）max=1 4-a，所以f′（x）max+a=，即“當(dāng)x∈［e，e2］時(shí)，有能成立”.顯然通過此處的分析，我們將雙變量存在性問題已經(jīng)化歸為單變量存在性問題.

解決步驟（2）：存在性問題怎么處理？顯然可以是選擇動(dòng)函數(shù)研究討論手段或參變分離后的定函數(shù)手段，根據(jù)實(shí)際情況解決.

解決步驟（4）：一般解決非基本初等函數(shù)的最值，我們都會(huì)使用導(dǎo)數(shù)工具的使用.g′（x）=-，由-4x∈（-4e2，-4e］，ln2x∈［1，4］，得-4x+ln2x∈［1-4e2，4-4e］，所以-4x+ln2x＜0恒成立，故g′（x）=在x∈［e，e2］上為減函數(shù)，故.顯然參變分離研究定函數(shù)最值的方式獲得了突破，而且也避免了討論動(dòng)函數(shù)的方式，大大簡化了問題的計(jì)算.思維直覺告訴我們，可以參變分離手段的使用，在運(yùn)算中將會(huì)大大簡化問題的計(jì)算量，讓解題變得更為有效.

數(shù)學(xué)問題的解決更多是思維直覺的使用，我們不可能在技巧上過多地要求學(xué)生，但是可以在直覺思維的載體下加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，這種培養(yǎng)不僅僅是對(duì)于基本量運(yùn)算有要求，更是依賴于一定的思想下的運(yùn)算能力的培養(yǎng)，在問題解決中將運(yùn)算環(huán)節(jié)進(jìn)行分步驟進(jìn)行，與其他知識(shí)相互穿插進(jìn)行，這樣的運(yùn)算才是體現(xiàn)效率的運(yùn)算，而不僅僅是一味的“死算”.后續(xù)教學(xué)中，筆者認(rèn)為要加強(qiáng)直覺思維引導(dǎo)下的運(yùn)算提高，這才是學(xué)生進(jìn)一步解決問題有效性的關(guān)鍵.

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