高中數學課堂方法教育的引導和反思

☉江蘇省泰興中學 常國良

在高中數學的教學實踐中，教師應該站在方法論的框架下，加強對學生的方法培養，由此來促使學生深刻領悟數學思維的精髓，進而提升分析和解決問題的能力.

一、在基本概念與定理的教學中滲透方法教育

現在依然有很多數學老師在講解基本概念與定理時，都是按照以下三個流程展開：（1）定義講解；（2）注意點分析；（3）變式訓練.在這樣的數學教學模式下，學生根本無法真正感受到概念建立過程中的數學方法，甚至連最基本的概念本質都無法掌握，教師應該引導學生站在數學方法論的體系下研究概念和定理的形成過程，由此讓學生在概念的認識過程中掌握其中最為本質的方法和內涵.

案例1 微積分的基本定理.

設計思路：以歸納、猜想和探究為最基本的主線，然后通過問題形式來引領學生展開更加積極而深入的思考，并引導學生展開歸納和猜想，同時還要組織他們對探究中的收獲和體會進行交流.

問題1：現有某個物體正在做直線運動，已知速度v=v（t）在時間間隔［a，b］上是連續函數，而且v（t）≥0，那么這段時間物體所經過的路程為多少？

問題2：假設某個物體發生著與問題1一樣的直線運動，現已知路程s=s（t）在時間間隔［a，b］上是連續函數，那么這段時間物體所經過的路程為多少？（追問：（sb）-（sa）為什么不是（t）dt？ ）

問題4：函數v=v（t）和s=s（t）是不是存在著某種較為特殊的關系？

在上述問題串的引導下，學生將逐步理解微積分的基本定理，并逐步領悟微積分的有關性質，進而體會到從特殊到一般的數學思想，而且學生還將從中感受到微積分定理的思考方法，為他們今后的獨立分析和問題解決奠定扎實的基礎.

二、在習題教學中促使學生對數學方法形成領悟

從教學實踐來講，我們對學生的學習過程進行評價的方式主要還是體現在解題能力的層面，因此促使學生解題能力的提高依然是高中數學最重要的教學目標之一.在教學實踐中，有的教師過分依賴題海戰術，他們寄希望通過加強訓練來提升學生的解題能力，卻總是無法收獲預期的效果.教師在引導學生對解題方法和相關規律進行探究時，我們要讓學生掌握有關問題的常規解題規律，并對其中的思維方法進行感悟，由此取得觸類旁通的效果.

案例2 如圖1所示，現有拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A、B兩點，且令線段AB的中點為M，經過M作x軸的垂線交C于點N.

（1）證明：拋物線C在N點的切線和AB平行.

（2）是否存在這樣的實數k，使得N—→A·N—→B=0，若存在，求k的取值；若不存在，請闡述理由.

設計思路：本題在處理時，可以采用問題串的形式，引導學生站在數學方法論的框架下對數學問題的解題方法展開探討.

問題1：當直線y=kx+2的斜率k確定時，N點坐標確定嗎？（斜率k應該是變化的主因）

問題2：既然N點坐標可以由斜率k來確定，那么如何用k表示N點坐標呢？（聯立方程之后采用韋達定理）

問題3：怎么求拋物線C在N點處的切線？（求導或判別式等于零）

問題4：所有的N點中，是否存在某點可使N—→A·N—→B=0？如何求解該點？（結合韋達定理將N—→A·N—→B=0轉化成關于k的方程）

圖1

通過以上引導，學生不但對這類問題的解題規律有了理解，同時還深刻感悟到方程與函數等數學思想的重要價值，更重要的是學生還逐漸體會到問題探索的一般規律，掌握了解決的常規方法，并由此獲得解題能力的提升.

三、在探究性學習中啟發創新思維

探究性、過程性、體驗性和實踐性都是探究性學習的重要特點，以此種方式來引導學生學習能較大程度地激起學生的學習興趣，并充分發揮學生的主體性，有效轉化學生數學學習的常規方式，同時這也有助于學生進一步發展獨立探究的數學興趣，并能積極獲取切身參與和探究的基本經驗，提升問題發現和分析的基本能力.在開展探究性學習的過程中，教師應該加強培養學生數學發現和創造的手段，并藉此來發展學生的創新思維.

案例3 抽象函數對稱性的探究性學習.

基本思路：采用類比和歸納等數學思想方法，引導并啟發學生提出問題，并積極探求問題的解決方案.

問題1：若函數y=f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），試分析f（x）的圖像具備怎樣的對稱性特點？

問題2：若函數y=f（x）滿足f（a+x）=-f（a-x），試分析f（x）的圖像具備怎樣的對稱性特點？

問題3：若函數y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），試分析f（x）的圖像具備怎樣的對稱性特點？

問題4：若函數y=f（x）滿足f（a+x）=-f（b-x），試分析f（x）的圖像具備怎樣的對稱性特點？

問題5：試分析函數y=f（a+x）與函數y=f（a-x）的圖像滿足怎樣的對稱關系？

問題6：試分析函數y=f（a+x）與函數y=-f（a-x）的圖像滿足怎樣的對稱關系？

問題7：試分析函數y=f（a+x）與函數y=f（b-x）的圖像滿足怎樣的對稱關系？

問題8：試分析函數y=f（a+x）與函數y=-f（b-x）的圖像滿足怎樣的對稱關系？

通過以上問題串的分析和探索，我們不但能有效發展學生提出并解決問題的基本能力，同時還能幫助學生從其中領悟類比的思維方法，學生也將由此而充分體驗到數學發現的手段.在有關內容的探究過程中，歸納和類比等數學方法都貫穿于始終，也正如波利亞所言：“類比推理和歸納推理在數學發現中起著非常重要的作用.”以上教學中，教師通過問題串的設計和提出為學生搭建了一個良性的探究平臺，引導學生在具體的探究活動中體會科學方法，培養數學思想.

四、在實踐中注意總結與反思

在指導學生學習數學方法時，我們要善于在實踐中不斷地進行總結和反思.經過一段時間的探索，筆者有如下體會.

首先，我們要注意通過問題來激活學生，由此來調動學生主動思維的積極性.新課程教學中，我們要注意在適當的時候和節點提出相應的問題，并以此來培養學生的問題意識.而且，我們還要恰當地對學生的思維進行適度而合理地啟發，引導學生積極的思考和探索.在設計問題時，我們要注意相關內容應該有較為詳實的情境作為支撐，且相關活動都應該圍繞學生的最近發展區來展開.并且我們的設計要便于學生進行交流和思考，而且要積極圍繞知識的本質，要做到有層次，有條理，加強學生形成知識的過程體驗.

其次，我們要積極營造和諧而民主的數學學習氛圍，讓學生樂于參與課堂的互動，并積極發表自己的觀點，和同學、老師交流自己的認識.教師在進行交流的過程中要實時地監控學生的思維，并通過師生間的言語、動作及情感等方面的交流，讓教師發現學生思維障礙的存在，明確學生在問題解決時需要得到怎樣的幫助，由此教師將有效發現問題解決的基本策略.

最后，教師也必須充分意識到要給予學生足夠的時間和空間進行思考.在當前的高中數學教學中，由于急功近利思想的影響，學生思考的時間經常得不到有效的保障，這在一定程度上抑制了學生思維的有效開展.此外，教師還要設計各類有內涵的問題，為學生的思考留下寬闊的空間，讓學生在訓練中得到提升和發展.

1.趙曉陽.課本習題的價值在探索中升華——改造我們的數學教學方法［J］.數學通報，2003（9）.

2.鐘志華，寧連華，白會平.例談數學思想方法的教學策略［J］.數學教育學報，2007（3）.F