高中數學核心素養的培養
——從一節公開課談培養學生“直觀想象”素養的教學

☉合肥市教育科學研究院

☉合肥市特級教師工作站 許曉天

2014年3月教育部頒布的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，確立了核心素養在立德樹人中的突出地位，2016年9月林崇德教授領銜的我國學生發展核心素養課題組提出:“學生應具備能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.”核心素養兼具個體發展和社會發展，連接個體價值和社會價值，是人從事社會實踐活動必備的知識、能力和品格的綜合表現.教育部剛剛發布的《高中數學課程標準（2017年版）》認為數學核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品質和關鍵能力.數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.

一、問題提出的背景

繼2017年北京、天津、山東和海南進入高考招生制度綜合改革試點，2018年秋季開始，全國將全面啟動新課程的教學.雖然在各級專家和教育行政部門的共同努力下，教師對培養學生的核心素養，在理論層面有了一定的理解，但一個亟待解決的問題已經現實地擺在我們的面前，那就是：在課堂教學中，針對具體內容，如何落實核心素養的問題.2017年12月14日在中國科技大學附中舉辦了一次市級公開課，旨在對將要實施的高考制度改革的教學，特別是核心素養的培養，探索一些具體和可借鑒的方法與途徑.教學內容是：人教版數學必修4第一章三角函數中的第1.5節“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”（普通高中課程標準實驗教科書）.根據《2017年普通高中數學學科教學與評價指導意見》，必修第二章函數，第二節基本初等函數Ⅱ（三角函數）內容及課時安排為16，與課標實驗稿完全相同，因此我們選定此節課為研討課，兼具很好的延續性，為今年下半年依據《高中數學課程標準（2017年版）》的新課程標準實施的課堂教學奠定一定的基礎.我市高一年級的部分學校教師參加了此次教研活動，授課結束，在評課環節，當主持人提出：“從培養學生數學學科核心素養的角度，談談怎樣上這節課？”時，許多教師表示從核心素養的高度分析一節課，很少甚至沒有思考過.這更彰顯這次研討活動的必要性和重要性.本文對此節課具體教學情況不予進行評析，更上位的想法萌生，“核心素養的培養在課堂教學中如何實施”是廣大教師亟待解決的困惑.

因為數學學科的六個素養之間均具有顯著的相關性，取值落在（0.25，0.81）中.邏輯推理與數學運算的相關性最大；數據分析與數學抽象的相關性最小.數據分析與其他五個素養的相關性偏小，均在（0.25，0.41）之間，與數學建模的相關系數最大，說明數據分析與數學建模有一定的相關性.數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算作為基礎素養為一類，數學建模與數據分析各成一類.［1］

因此，一節課的課堂教學中，數學學科六個核心素養的培養，我們不可能平均使力去培養，應該根據具體內容有所倚重.下面就“函數y=Asin（ωx+φ）的圖像”一節的課堂教學，談談培養學生“直觀形象”核心素養的教學.

二、教材內容的呈現

普通高中課程標準實驗教科書，人教版數學必修4第一章三角函數中的第1.5節“函數y=Asin（ωx+φ）的圖像”的教材安排內容是：從某次實驗測得的交流電的電流y隨時間x變化的圖像后，再放大圖像，可以看出它與正弦曲線很相似引入；再從函數y=sinx是函數y=Asin（ωx+φ）的特殊情況出發，研究A，ω，φ對y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響：①探索φ對y=sin（x+φ），x∈R的圖像的影響；②探索ω（ω>0）對y=sin（ωx+φ）的圖像的影響；③探索A（A>0）對函數y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響；④總結從函數y=sinx的圖像到函數y=Asin（ωx+φ）圖像，是如何進行變換的；⑤課本安排有一道例題：畫出函數y=

教材在探究φ，ω，A對圖像的影響時，強調利用計算器或計算機作出這些函數的圖像，觀察它們圖像之間的關系，并且三次使用“可以發現”這個詞，得出兩圖像上對應點坐標之間的關系.

三、課程標準的要求

1.內容方面

《普通高中數學課程標準（實驗）》對此節課內容要求：結合具體實例，了解y=Asin（ωx+φ）的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=Asin（ωx+φ）的圖像，觀察參數A，ω，φ對函數圖像變化的影響.而《普通高中數學課程標準（2017年版）》對此節課的內容要求：結合具體實例，了解y=Asin（ωx+φ）的實際意義；能借助圖像理解參數A，ω，φ的意義，了解參數的變化對函數圖像的影響.

可以看出，課程標準（2017年版）與課程標準（實驗）對此節課內容要求基本相同，只是課程標準（2017年版）對畫圖方法沒有明確界定，并明確是“了解”參數的變化對函數圖像的影響.課程標準（2017年版）“能借助圖像理解參數A，ω，φ的意義”要在這一節課打好基礎，下一節課要進一步介紹和學習，從而達到“理解”的要求.

2.素養方面

高中數學核心素養是學生在接受高中數學教育過程中，逐步形成適合個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.而高中數學學科六個核心素養，落實到每一節課的教學，都會涉及其中的全部或部分核心素養的培養.從課程標準（實驗稿）和課程標準（2017年版）對“函數y=Asin（ωx+φ）的圖像”這節課內容要求都可以看出，大部分核心素養都有涉及，但主要是“直觀想象”核心素養的培養，我們把這一節課主要培養的核心素養稱之為這節課的主體素養.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中“直觀想象”核心素養的界定：指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎.

直觀想象的主要表現為：建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物.

通過高中數學課程的學習，學生能提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力；增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；形成數學直觀，在具體的情景中感悟事物的本質.

四、主體素養的培養

高中數學六個核心素養的表現都是一種能力，必須是以知識為載體，不能脫離知識而單獨存在，而知識學習的結果可以分為理解、遷移和創新，對應核心素養的三級水平.“直觀想象”主體素養的三級水平分別為理解圖形的性質、利用圖形探索數學問題和構建數學問題的直觀模型.［2］教學情景創設要突出數學本質、提出合適問題、引導學生思考和解決問題；教學內容強調整體把握課程內容，抓住主線，特別是開展數學探究和數學建模活動是發展學生核心素養的重要途徑.教學方法選擇建議:第一，教學活動的重心從教轉到學；第二，倡導講授與練習、閱讀自學、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等學習方式；第三，加強學法指導.［3］因此，這一節課的“直觀想象”素養培養，應重視以下四個方面：

1.教學流程，凸顯結構

數學學科知識不是數學知識點、概念、例題和習題等進行簡單的排列和組合，而是一個有機的結構整體.所謂結構就是聯系，教學設計一定要按照數學學科邏輯關系和學生認識數學知識的序列，構建課堂教學的流程和結構，因為整體功能大于各個部分功能之和.同時結構性知識，便于學生理解和記憶，因為根據邏輯關系構建的流程和結構，具有適合學生學習知識的邏輯鏈，便于學生思考和推演，具有很好的動態開放性.因此，核心素養培養的重中之重是教學流程和結構，是“整體支配”核心素養重要方式.

根據這一節課的教材內容和直觀想象這個主要素養的培養，而我們解決問題一般過程是：（發現問題）→提出問題→分析問題→解決問題，因此，而這一節課按照：從一般性問題情景出發→探究三種特殊情況→歸納一般性問題結論→解決特殊問題（例題和練習）.得到如下總體教學流程，如圖1所示：

圖1

具體教學設計思路如下：

（1）課堂引入.

思路1：已知交流電的電流y隨時間x而變化函數關系是y=Asin（ωx+φ），某次實驗測得的函數的圖像，再進行放大，可以看出它與正弦曲線很相似，而正弦曲線是正弦函數y=sinx的圖像，而y=sinx是函數y=Asin（ωx+φ）中的參數A=1，ω=1，φ=0時的特殊情況，那么能否從特殊的參數賦值，發現一般情況下三參數對圖像的影響？

思路2：我們知道，函數y=Asin（ωx+φ）中的參數A=1，ω=1，φ=0時的特殊情況是正弦函數y=sinx，前面又學習了函數y=Asin（ωx+φ）是周期為的函數，因此，函數y=sinx的周期為T2=2π，知道了兩函數圖像周期之間的變換關系，那么其他兩參數A，φ對兩圖像有何影響呢？下面從特殊的參數賦值出發，探究參數對圖像的影響.

評析：思路1，是依據教材的內容設計，直擊“直觀想象”核心素養；思路2，強調教材知識的前后聯系，除了“直觀想象”核心素養，對“邏輯推理”和“數學抽象”兩核心素養要求高.兩種思路，可以針對不同學生的認知群體，采取不同的教學，只要適合就是最好的.

（2）新知探究.

思路1:①探索φ對y=sin（x+φ），x∈R的圖像的影響；②探索ω（ω>0）對y=sin（ωx+φ）的函數的影響；③探索A（A>0）對函數y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響；④從函數y=sinx的圖像到函數y=Asin（ωx+φ）的圖像，是如何進行圖像變換的.

思路2：①探索φ對y=sin（x+φ），x∈R的圖像的影響；②探索ω（ω>0）對y=sin（ωx）的圖像的影響；③探索A（A>0）對函數y=Asinx的圖像的影響；④從函數y=sinx的圖像到函數y=Asin（ωx+φ）的圖像，是如何進行圖像變換的.

評析：思路1是從函數y=sinx→函數y=sin（x+φ）→函數y=sin（ωx+φ）→函數y=Asin（ωx+φ）的圖像，循序漸進的進行探究，直至最一般的情形.思路2是從函數y=sinx→函數y=sin（x+φ）；y=sinx→函數y=sin（ωx）；y=sinx→函數y=Asinx的圖像，三次探究是平行的關系，都是與正弦曲線的比較，并且探究順序可以改變，但探究難度不變，最后歸納從函數y=sinx到一般函數y=Asin（ωx+φ）圖像的變換路徑和方法.兩種比較，思路1把探究的難點進行了有序的分解，最后一般式的結論很容易得出，但改變圖像變換路徑，學生較難理解；思路2前三次探究學生容易進行，但得出一般式結論，學生的學習有一定難度，此時圖像變換的路徑的變化，學生易于理解.

（3）例題、練習.

評析：例題有兩種畫簡圖的方法，“五點作圖”和“圖像變換”兩種方法；例題和練習主要熟悉這節課圖像變換的方法，且可以采取不同的路徑.

（4）課堂小結.

學生總結自己親歷的探究過程，總結圖像變換的方法，明確圖像變換的本質是對應動點坐標的之間的數量關系.

評析：學生總結學習過程，對“直觀想像”素養培養有“整體支配”作用，通過“數學抽象”提煉圖像變換的本質，構建學生新認知結構，并且此結構具有很高的開放性，便于遷移和創新.

2.畫圖感悟，理解性質

根據課程標準（2017年版）“直觀想象”核心素養要求：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律.

教師可以根據自己學校硬件條件和學生的實際情況，選擇動手描點法（五點作圖）或利用計算機或其他畫圖工具作圖，首先畫出正弦曲線，再讓學生畫出函數y=如果用描點法，教師提示：兩函數的周期都是2π，因而，只需要作一個周期，再進行左、右擴展即可.學生通過描點作圖可以深刻感悟兩圖像之間形態和運動規律相同，只是位置不同而已.如果是通過其他方式作圖，特別是教師演示作圖，教師要引導學生從形態和運動規律上觀察，再從位置上發現有什么不同.特別可以“放大”兩圖像中“最靠近”的一個周期圖像，這樣學生可以發現兩圖像位置的差別.接著用同樣的方法，讓學生發現函數其他兩參數ω，A對圖像的影響.

3.感受聯系，探究本質

課程標準（2017年版）中“直觀想象”核心素養要求：利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系.也就是，利用圖形感悟兩圖形位置關系，發現圖形之間的本質聯系.

數學知識的經驗形態和科學形態之間存在著本質的區別，教學中不應該混為一談.一方面，要善于從學生的生活世界里尋找貼切的素材組織數學學習活動，另一方面，要有意識地引導學生開展數學思考以進行必要的數學抽象，建構起形式化的數學知識.［4］

教材在探究φ，ω，A對圖像的影響時，三次使用“可以發現”這個模糊的表達，來得出兩圖像上對應點坐標之間的關系.那么，怎么發現呢？此處是這一節課的難點.

圖2

通過列表描點和作圖完成的，特別是“五點法”作圖的同學，較容易在一個周期內的兩個圖像對應點橫坐標的數量關系，即正弦曲線y=sinx圖像上任意點A（x1，y1），對應函數如果采取計算器或計算機完成作圖的同學，教師引導什么是對應點，再通過計算機演示對應點坐標之間的關系.從而從本質上理解并得到了函數的圖像可以通過正弦曲線左移而得到.反之，正弦曲線可以通過函數y=sin（ x+）的圖像右移而得到.同理，探究ω（ω>0）對圖像的影響，A（x，y）對應點B （x ，y）；探究A（A>11110）對圖像的影響，A（x1，y1）對應點B（x1，Ay1）.從而，容易得到兩圖像進行橫、縱方向伸縮變換的結論.

盡管課程標準（2017年版）中，對參數的變化對函數圖像的影響是“了解”的要求，但對于學生理解“圖像變換”是可操作事物的“現象”，一個周期內，兩圖像對應點坐標之間的關系才是事物的“本質”，這樣對學生解決一般函數的問題，才有更深入的理解.這才是核心素養“遷移與創新”水平的要求.當然，要針對學生的認知水平，酌情施教.其實，在不考慮一個周期的情況下，對應點有無數個，對應于思路1，三種變換對應點依）（k∈Z）.隨著點A（x1，y1）在一個周期內的運動，對于k不同的取值，可以生成完整的（x∈R）變換后的圖像.

4.總結變換，構建模型

課程標準（2017年版）中“直觀想象”核心素養要求：構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

學生通過前面的學習，讓學生先總結三種圖像變換，那么怎么由函數y=sinx的圖像（正弦曲線），通過三種圖像變換得到函數y=Asin（ωx+φ）的圖像（其中A>0，ω>0）？讓同學們討論并思考多種變換路徑.方法1：畫正弦曲線?把正弦曲線向左（右）平移|φ|個單位長度（平移方向：φ>0，左移；φ<0，右移），得到函數y=sin（x+φ）的圖像?使曲線上各點橫坐標變為原來的倍，得到函數y=sin（ωx+φ）的圖像?把曲線上各點縱坐標變為原來的A倍，得到函數y=Asin（ωx+φ）的圖像；方法2：畫正弦曲線?使曲線上各點橫坐標變為原來的倍，得到函數y=sin（ωx）的圖像?把正弦曲線向左（右）平移個單位長度（平移方向：φ>0，左移；φ<0，右移），得到函數y=sin（ωx+φ）的圖像?把曲線上各點縱坐標變為原來的A倍，得到函數y=Asin（ωx+φ）的圖像.

通過這一過程，提高學生歸納總結的能力，提煉出初相、周期和振幅三種圖像變換模型.學生從簡單到復雜和特殊到一般解決問題的過程，深刻體會思考與解決一般問題的方法和途徑，為學生終生發展打下良好的基礎.

以上是筆者對“直觀想象”核心素養在一節課中如何培養的一點思考，期盼同仁對“核心素養”培養在課堂教學中如何實施，有全面和深刻的實踐和研究.

1.張淑梅，何雅涵，保繼光.高中數學核心素養的統計分析［J］.課程·教材·教法，2017（10）.

2.喻平.基于核心素養的高中數學課程目標與學業評價［J］.課程·教材·教法，2018（1）.

3.呂世虎等.《2017年普通高中數學學科教學與評價指導意見》解析［J］.數學教育學報，2017（12）.

4.蔡宏圣.數學史視野下數學學習若干問題的思考［J］.課程·教材·教法，2016（12）.F