一道課本習題的再探究

☉湖北省武鋼三中 高浪天

王老師在文1中的研究成果已經讓筆者受益，下面是筆者的一點新探究，希望得到各位專家或同行的批評與指正.

題目 （人教版普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1第80頁復習參考題A組第10題）已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點C的軌跡.

此題的結論是：當m<0時，點C的軌跡是橢圓（m≠-1），或者圓（m=-1），并除去兩點（-5，0），（5，0）；當m>0時，點C的軌跡是雙曲線，并除去兩點（-5，0），（5，0）.

圖1

圖2

圖3

圖4

類比到雙曲線中：

探究6：已知M（m，n）是雙曲線 -=1（a>0，b>0）上一點，A、B是雙曲線上不同于M的兩點，如果kAM+kBM=0，那么kAB=-

其中探究1和探究2除了可以類比到雙曲線，還可以類比到拋物線.另外，將以上所述焦點在x軸的圓錐曲線換成焦點在y軸，那么只需要將條件及結論中字母a與字母b的位置調換，結論照樣成立.以上結論多次在高考和調考中涉及，舉例如下：

（1）求橢圓C的方程.

（2）若A、B是橢圓C上的兩個動點，O為坐標原點，OA、OB的斜率分別為k1、k2，問：是否存在非零常數λ，使k1·k2=λ時，△AOB的面積S為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.

所以a=2，b=1.

（2）設存在非零常數λ，使k1·k2=λ時，△AOB的面積為S為定值.

將y=kx+m代入x2+4y2-4=0中，得到（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.

將②代入①中，得到（k2-λ）（4m2-4）-8k2m2+m2（4k2+1）=0.

（1）求橢圓方程.

分析：根據第（1），求出的橢圓方程，第（2）問正好等于探究中的結論，故直線MN是過定點，即原點.3（2015年全國卷Ⅱ）橢圓C：=1（a>b>0）

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

分析：第（2）問因為M為線段AB的中點，延長AO交橢圓于點C，易知BC與OM平行，從而直線OM的斜率等于直線BC的斜率，因此不難得出它們的斜率之積為

（1）求橢圓的方程.

（2）設P、Q為橢圓上異于A、B且不重合的兩點，且∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，問：是否存在實數λ，使得P—→Q=λA—→B？若存在，請求出λ的最大值；若不存在，請說明理由.

分析：第（2）問中給出∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，其實就是kPC+kQC=0，故直線PQ與直線AB平行.

1.王國軍.一道課本習題的探究與思考［J］.中學數學（上），2017（1）.F