一道調考題引出有心圓錐曲線一個新的性質

☉湖北省武漢市黃陂區第一中學盤龍校區 李紅春

☉湖北省十堰市竹溪縣第二高級中學 王 偉

武漢市2017屆高三二月調考理科解析幾何試題如下：

圖1

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖1，已知Γ上存在一點P，使得直線PF1，PF2分別交橢圓于A、B，若（λ∈R），求λ的值.

橢圓過中心的弦稱為橢圓的直徑，從以上試題出發，筆者發現，過橢圓上任意一點及直徑上關于橢圓中心對稱的兩點的弦有如下定值：

圖2

化簡可得b2t2（1+μ）-2b2tx0+a2s2（1+μ）-2a2sy0=a2b2（μ-1）. ②

①+②，得（b2t2+a2s2）（2+λ+μ）=a2b2（λ+μ-2）.

性質：P為雙曲線=1（a＞0，b＞0）上任意一點，M，N為雙曲線直徑上關于原點對稱的兩點，M（-t，-s），N（t，s），若PM，PN分別交雙曲線于A，B兩點，若—P→M=，則

證明從略.H