例談高中數學中的抽象函數問題

☉山西省呂梁市賀昌中學 高永亮

高中數學中，函數部分在高考中是重點也是難點，其中抽象函數問題，學生在學習過程中普遍覺得理解困難，不易掌握，筆者對抽象函數部分的內容進行整理與分析，供廣大師生在教與學中參考與借鑒.

所謂抽象函數是指沒有明確給出函數表達式，只給出它具有某些特征或性質，并用符號關系式表示的函數.

一、抽象函數與定義域

題型一：已知函數y=f（x）的定義域，求函數y=f（g（x））的定義域

例1已知函數y=f（x）的定義域為［-2，2］，求函數y=f（x-1）+f（x+1）的定義域.

解析：由函數y=f（x）的定義域為［-2，2］，因此有-2≤x-1≤2且-2≤x+1≤2，得-1≤x≤1，因此y=f（x-1）+f（x+1）的定義域為［-1，1］.

說明：已知函數y=f（x）的定義域，對于函數y=f（g（x）），g（x）整體作為y=f（x）中自變量，它的函數值屬于y=f（x）的定義域，由此推導出g（x）中x的取值范圍，就是y=f（g（x））的定義域.

題型二：已知函數y=f（g（x））的定義域，求函數y=f（x）的定義域

例2已知函數y=f（2x-4）的定義域為［-1，2］，求函數y=f（x）的定義域.

解析：由函數y=f（2x-4）的定義域為［-1，2］，知-1≤x≤2，得-6≤2x-4≤0.因此函數y=f（x）的定義域為［-6，0］.

說明：函數y=f（g（x））的定義域，就是通過g（x）中自變量x的取值范圍，進一步推導出g（x）的值域，就是y=f（x）的定義域.

二、抽象函數與求值及抽象函數與單調性

例3設函數y=f（x）是定義在R上的函數，對于m，n∈R，恒有f（m+n）=f（m）·f（n）（f（m）≠0，f（n）≠0），且x>0時，0

（1）（f0）=1；

（2）x∈R時，恒有（fx）>0成立；

（3）函數y=（fx）在R上為減函數.

證明：（1）令m=0，由f（m+n）=f（m）·f（n），得f（n）=（f0）·（fn）.又（fn）≠0，得（f0）=1.

（2）由（fm+n）=（fm）·（fn），得（fx）·（f-x）=（f-x+x）=（f0）=1.

當x>0時，由題意得0<（fx）<1；當x=0時，由（1）得（f0）=1；當x<0時，（f-x）∈（0，1）

綜上所得，x∈R時，恒有（fx）>0成立.

（3）設x1，x2∈R且x10，則（fx）2=［f（x2-x）1+x1］=（fx-x）·（fx），即（fx2）=（fx-x）<1.

又（fx1）>0，得（fx2）<（fx1），因此函數y=（fx）在R上為減函數.

說明：這類問題的難點是第（3）問，關鍵是構造x2=（x2-x1）+x1，從而巧妙地得到即（fx2）<（fx1），進而判定出函數y=（fx）在R上為減函數.

三、抽象函數與奇偶性

例4已知函數y=f（x）是定義在R上的不恒等于零的函數，對于x，y∈R，恒有f（x·y）=yf（x）+xf（y），判定函數y=f（x）的奇偶性.

解析：令x=y=1，由f（x·y）=yf（x）+xf（y），則f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0.

再令x=y=-1，由f（x·y）=yf（x）+xf（y），則f（1）=-f（-1）-f（-1），即f（-1）=0.令y=-1，由f（x·y）=yf（x）+xf（y），則f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），因此函數y=f（x）為奇函數.

說明：對于給定抽象函數關系式，要判定其奇偶性，思路同樣比較清晰，在給定關系式中，只要對變量能靈活賦值并且構造出關于f（-x）與f（x）的關系式，一般就可以判定函數y=f（x）的奇偶性.

四、抽象函數與對稱性

例5（1）若函數y=f（x）滿足f（3+x）=f（3-x），則函數y=f（x）的圖像關于直線________對稱.

（2）若函數y=f（x）滿足f（x+3）=-f（5-x），則函數y=f（x）的圖像關于點________中心對稱.

解析：（1）令y=f（3+x）=f（3-x），知函數y=f（x）的圖像上任一點（3+x，y），總有一點（3-x，y）與它對應，而點（3+x，y）與點（3-x，y）關于直線x=3對稱，因此函數y=f（x）的圖像關于直線x=3對稱.

（2）令y=f（x+3）=-f（5-x），知函數y=f（x）的圖像上任一點（3+x，y），總有一點（5-x，-y）與它對應，而點（3+x，y）與點（5-x，-y）關于點（4，0）中心對稱，因此函數y=f（x）的圖像關于點（4，0）中心對稱.

說明：一般地，（1）若函數y=f（x）對于定義域內的任一自變量x都有f（a+x）=f（b-x），則函數y=f（x）的圖像關于直線對稱；（2）若函數y=f（x）對于定義域內的任一自變量x都有f（x+a）=-f（b-x），則函數y=f（x）的圖像關于

五、抽象函數與周期性

例6已知函數y=f（x）在定義域內的最小正周期為T.

（1）若f（x+1）=-f（x），求函數y=f（x）的周期T；

（3）若f（x+2）=f（x+1），求函數y=f（x）的周期T.

解 析 ：（1）由f（x+1）=-f（x），得f（x+2）=f［（x+1）+1］=-f（x+1）=f（x）.

因此函數y=f（x）為周期函數，且函數的周期T=2.

因此函數y=f（x）為周期函數，且函數的周期T=2.

（3）由f（x+2）=f（x+1），得f（x+1）=f［（x-1）+2］=f（x）.

因此函數y=f（x）為周期函數，且函數的周期T=1.

說明：一般地，（1）函數y=f（x）在定義域內恒有f（x+a）=-f（x），則函數y=f（x）為周期函數，且函數的周期T=2|a|；（2）函數y=f（x）在定義域內恒有，則函數y=f（x）為周期函數，且函數周期T=2|a|；（3）函數y=f（x）在定義域內恒有f（x+a）=f（x+b），則函數y=f（x）為周期函數，且周期T=|a-b|.

六、通過函數的奇偶性、單調性、對稱性、周期性等性質綜合解答抽象函數中的不等式及其他綜合應用問題

說明：綜合利用函數的奇偶性、單調性、對稱性、周期性解決抽象函數的問題是函數中的難點，也是高考的熱點，這方面要求學生一定要靈活運用各種性質，并熟練掌握這些性質的使用方法.

通過上面對抽象函數幾個方面應用問題的研究，我們應該認識到理解抽象函數問題重在掌握相關概念并能靈活應用，合理使問題由抽象思維轉化到具體的處理模式.上面內容是筆者的淺見，希能給廣大師生在這方面的學習過程中有所幫助，不到之處大家批評指正.F