數形結合與函數的不解之緣

☉湖南省株洲市九方中學 李伯軍

數形結合思想的應用一般有兩種形式：以形助數和以數輔形，也就是將“數”和“形”統一起來，化“復雜”為“簡單”，化“抽象”為“直觀”，從而達到使解題變簡單的目的.而函數本身就離不開圖形，它的許多屬性都可以從圖形中輕而易舉獲得，因此數形結合思想與函數結下了不解之緣，連著名的數學家華羅庚先生都稱贊道：“數缺形時少直覺，形少數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事非.”

一、真題實練方法現

1.真題再現

（1）若a=0，則f（x）的最大值為________；

（2）若f（x）無最大值，則實數a的取值范圍是________.

2.真題解析

由圖像易知，當x=-1時，f（x）取得最大值，且f（x）max=f（-1）=2.

當x≤a時，令f ′（x）=0，解得x=±1.故當x＞1或x＜-1時，f ′（x）＞0，函數為增函數；當-1＜x＜1時，f ′（x）＜0，函數為減函數.要使f（x）無最大值，由圖像可知

分析：第（1）問，當a=0時，函數變得具體，可根據函數關系式畫出圖形并觀察其增減性得到其最大值；第（2）問，有了上一問的圖形基礎，顯然若無最大值，關鍵在于y=x3-3x取不到x=-1這個點，從而得出兩個不等式組，求解即可獲得取值范圍.

3.方法提煉

在這道真題中，出題者可謂是用心良苦，前一問拋磚引玉，較為簡單，而后一問則加大難度，兩問之間溝通的橋梁就是解此題至關重要的一步：函數圖形，對于學生來說，只有在直觀的圖形面前，他們才能輕松地判斷分段函數的多種可能情況，快速地列出分類討論的不等式組.因此，數形結合思想在此題中運用的恰到好處，熟悉這種思想的學生可以輕松快速地解題.由此可見，數形結合思想在高考中往往是可以為考生提供解題思路，加快解題速度的不可多得的好方法.該思想在其他情境的函數問題中也效果明顯，值得學生好好掌握.

二、拓展應用效果顯

筆者在教學過程中發現，盡管數形結合思想大家都耳熟能詳，但如何應用卻是困擾學生的頭號問題，以至于在面對具體問題時束手無策.本人認為，這是缺少對該思想應用場合的歸納指導，下面就該方面詳細說明，希望可以給讀者們一些幫助，讓數形結合不再僅僅是我們口中的“漂亮”辭藻，而是實實在在為學生指點迷津.

1.曲線與方程問題

高中數學里有很多概念都是以幾何元素和幾何背景建立起來的，如向量、三角函數等，這些都可以“以數思形”，根據代數式的圖形分析其幾何性質，從而在曲線圖形和方程之間建立聯系.

例1 （2016年甘肅高考模擬題）函數y=f（x）的圖像如圖2所示，在區間［a，b］上可找到n（n＞2）個不同的數x1，x2，…，xn，使得f，則n的值范圍是________.

解析：由題意，函數y=f（x）上任一點的坐標為（x，f（x）），可堪稱函數圖像上的點（x，（fx））與原ii點連線的斜率.如圖3，當連線位于OA1、OA5位置時，連線與圖像有兩個公共點，故n=2；當連線位于OA2、OA4位置時，連線與圖像有三個公共點，故n=3；當連線位于OA3位置時，連線與圖像有四個公共點，故n=4.

圖2

所以n的取值范圍是{2，3，4}.

圖3

2.零點個數問題

在函數零點相關問題中，數形結合思想與函數方程思想密切相關，其中有一些常用的結論：

A.無論a為何值，均有2個零點

B.無論a為何值，均有4個零點

C.當a＞0時，有3個零點；當a＜0時，有2個零點

D.當a＞0時，有4個零點；當a＜0時，有1個零點

解析：令f（x）=t，則函數y=f（f（x））+1的零點即為方程的解中的x值，先畫方程②兩邊函數y=f（t）與y=-1的圖像（如圖 4），考查t的取值范圍：當a＞0時，有兩個交點，即方程②有兩個t（不妨設t1，t2（t1＜t2）），其中t1＜0，0＜t2＜1. 將t1，t2分別代入方程①，并畫出兩邊函數y=f（x）與y=t的圖像（如圖3），當t=t1時，有2個交點，當t=t2時，也有2個交點，所以當a＞0時，函數y=f（f（x））+1有4個零點；同理可得，當a＜0時，有1個零點，故選D.

圖4

對復合函數而言，用數形結合方法考慮其零點的方法在上述解析中已經展現的淋漓盡致，借助圖像，對方程兩邊的函數分別作圖，并觀察其交點，此舉在函數零點問題中至關重要，因此，無論是普通函數還是復合函數，數形結合思想在解決零點相關問題中都是功不可沒的.

3.含參不等式問題

給定一個含參不等式和相應的條件及結論，“反其道而行”的求解參數值，這類問題想必大家也是不陌生的，但有些含參不等式問題用常規的方法難以解決，這時我們可以利用函數的觀點看問題，“由數到形”，觀察函數圖像的特征，挖掘出不等式或不等式組，數形結合求解問題.

例3 （2017年廣西省高考模擬題）設a∈R，若x＞0時，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=________.

解析： 作直線y=（a-1）x-1與拋物線y=x2-ax-1的圖像，如圖5所示，觀察圖像特征可得：①兩個函數圖像均過定點（0，-1）；②在x＞0右半平面上，繞定點（0，-1） 旋轉直線y=（a-1）x-1可以看到，滿足條件的兩個函數的圖像同時不在x軸上方，或者同時不在x軸下方，從而兩個函數圖像的另一交點必在x軸上（三線共點）.對直線y=（a-1）x-1，令y=0得交點坐標為解得a=0（舍去），或

圖5

本題運用數形結合的思想，巧妙地發現其中一個交點位置是固定的，從而有效地避免了傳統解法的分類及復雜的數學運算及推理，順利求出參數a的值.

上述三種類型的問題解析中，都無不體現了數形結合思想的重要性.運用數形結合思想，能使抽象的數學問題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，激發解題靈感，大大優化解題過程.但要真正地熟練掌握數形結合思想，應鼓勵同學們平時注重培養自己的識圖、觀圖、作圖、用圖能力，只有扎實的圖像基本功，才能將數形結合思想完美地應用于解題中.

1.李秀萍，趙思林.高考函數單調性試題蘊涵的數學思想［J］.中學數學參考，2017（8）.

2.陳俊斌.巧用數形結合思想，妙解高考數學客觀題［J］.中學數學研究，2015（7）.

3.傅建紅.識圖、觀圖、作圖、用圖［J］.中學數學（上），2016（7）.H