摭談導數幾何意義的應用

☉云南省曲靖市會澤實驗高中 許德福

我們知道，函數y=f（x）在點x0處的導數的幾何意義是：曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線的斜率k等于f′（x0）.利用導數的幾何意義，可以用來求解曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線的斜率、切點、切線方程、參數等問題.導數的幾何意義是每年高考考查是熱點之一，有時直接考查相關的幾何意義，但經常也通過幾何意義的變換來加以考查，注意這是一大導向.下面結合實例剖析其應用.

一、切線斜率問題

根據導數的幾何意義，曲線在切點處的斜率就是對應的該點處的導函數的值.

例1已知函數f（x）=ex，x∈R，若直線y=kx+1與f（x）的反函數的圖像相切，求實數k的值.

分析：結合反函數的定義，通過導數運算，利用導數的幾何意義建立關系式加以求解.

解：f（x）的反函數為g（x）=lnx，設直線y=kx+1與g（x）=lnx相切于點P（x0，y0），則有

點評：本題主要考查導數的幾何意義，結合相關直線與曲線相切的條件來建立關系式，考查運算能力與應用能力等.

二、切線方程問題

通過導數的幾何意義，結合切線斜率的求解，利用直線方程解決與之相關的切線方程.

分析：根據偶函數的性質確定相應的函數解析式，通過求導，結合導數的幾何意義確定切線的斜率，利用直線的點斜式方程即可求解與化簡.

點評：本題主要考查導數的幾何意義、切線的求法，關鍵考查導數的幾何意義等基本知識，考查運用數學知識分析和解決具體問題的能力，以及各相關數學知識點的聯系與綜合能力等.

三、切線交點問題

結合導數的幾何意義，利用題目條件中的直線的位置關系可以用來求解對應的切線坐標.

例3 設曲線y=ex在點（0，1）處的切線與曲線y=（x>0）上點P處的切線垂直，則P的坐標為________.

點評：根據導數的幾何意義，結合已知條件中切線的斜率，求出相應的切點的橫坐標，再代入原曲線方程，求解對應的切點坐標.關鍵是導數的運算與導數的幾何意義的應用.

四、切線參數問題

利用導數的幾何意義，結合切線的斜率、切線方程等條件可以用來解決與切線有關的參數取值問題.

例4 已知曲線y=x+lnx在點（1，1）處的切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，則a=________.

分析：結合導數的幾何意義，根據曲線過已知點確定切線的方程，利用該切線與相關曲線相切，通過聯立方程結合判別式來求解相關的參數值.

點評：本題主要考查導數的幾何意義、導數的運算及方程組的求解，關鍵結合題目條件建立相應的關系式進而求解相應的參數值問題.

五、切線條數問題

根據導數的幾何意義，結合導函數的性質求解對應的導函數中的自變量的值，進而確定滿足條件的切線條件問題.

例5 已知曲線C：y=3x-x3及點P（2，2），則過點P可向C引切線的條數為________條.

分析：當點不在曲線上時，要先設出切點，求出相應切線的斜率，寫出相應的切線方程，把已知點代入切線方程，求出所設切點中的未知數，根據未知數的解的個數確定滿足條件的切線的條數.

解：由于y′=3-3x2，設切點Q（x0，y0），則切線l的斜率為k=3-3x02，則切線l的方程為y-y0=（3-3x02）（x-x0），即y=（3-3x02）x+2x03.

由點P（2，2）在直線l上，故2=（3-3x02）×2+2x03.

所以（x0-1）（x02-2x0-2）=0，解得x0=1或x0=1+或x0=1-

所以過點P向C可引3條切線，故填答案：3.

點評：對于點不在曲線上的切線問題，要先確定所給的點的坐標不滿足曲線方程，此時要先設出相應的切點坐標，利用導數的幾何意義求出相應切線的斜率，再結合直線的點斜式方程求出含參數的切線方程，再把已知點代入求解出對應的參數，進而解得切線方程.

六、切線應用問題

根據導數的幾何意義，可以用來解決與導數的幾何意義、切線等相關問題有關的實際應用問題、綜合交匯問題等.

例6若函數y=f（x）的圖像上存在兩點，使得函數的圖像在這兩點處的切線互相垂直，則稱y=f（x）具有T性質.下列函數中具有T性質的是（ ）.

A.y=sinx B.y=lnx C.y=exD.y=x3

分析：結合導數的幾何意義與導數運算，通過各自求導，結合題目條件，必須使得兩點處的導數值的乘積必須是-1，結合導數值的取值情況加以分析與應用.

點評：通過創新定義，把導數的運算與導數的幾何意義綜合起來，用來解決兩切線的位置關系問題.解答本題的關鍵是正確理解題中的創新定義，要使得函數的圖像在這兩點處的切線互相垂直，那么這兩點處的導數值的乘積必須是-1，結合導數的取值情況加以排除比較容易掌握.

導數的幾何意義在高考中的考查方式往往是通過給定切線的方程、切線的斜率、切線與已經直線的位置關系等，結合導數的運算、關系式的確定等來求解切線的相關問題（斜率、方程）、參數問題、切線的條數等，是高考中比較常見的考點之一，也是我們平時要加以熟練掌握的一個知識點.

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