帶積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性

楊 帥, 張淑琴, 王利平

(1. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院, 北京 100083; 2. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 理學(xué)院, 北京 100083)

0 引 言

目前, 分?jǐn)?shù)階微分方程在帶有記憶和遺傳特性的各類分子物理、 電化學(xué)、 黏彈性力學(xué)、 隨機(jī)控制、 信號(hào)傳輸和核反應(yīng)堆等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 較經(jīng)典的整數(shù)階微積分更精確和靈活[1-5].

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)非局部算子, 使得其在模擬實(shí)際問(wèn)題中的非局部現(xiàn)象時(shí)具有較大優(yōu)勢(shì)[6-12]. Dong等[6]考慮如下非局部問(wèn)題:

本文考慮如下Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題:

(1)

(H2) |f(t,u1,v1)-f(t,u2,v2)|≤k(|u1-u2|+|v1-v2|),k>0.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)J=[0,1],C[J,]為連續(xù)函數(shù)空間,L1[J,]為一次可積空間, 定義空間

X={u(t)|u(t)∈C[J,],[J,]},

賦予范數(shù)

X在此范數(shù)下構(gòu)成一個(gè)Banach空間[8], 其中0<β≤1.

定義1[1]?α∈+, 函數(shù)f(t)的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義2[1]?α∈+, 函數(shù)f(t)的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

引理1[1]設(shè)α>0,f∈C[J,]∩L1[J,], 則Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程有解

f(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,

其中ci∈,i=0,1,…,n-1,n=[α]+1.

引理2[1]設(shè)α>0,f∈C[J,]∩L1[J,], 且[J,], 則有

其中ci∈,i=0,1,…,n-1,n=[α]+1.

引理3設(shè)1<α≤2, 0<β≤1,w∈C[J,], 則Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題

(2)

等價(jià)于積分方程

(3)

其中

(4)

證明： 設(shè)u(t)是邊值問(wèn)題(2)的解. 在式(2)兩邊作用分?jǐn)?shù)階積分算子, 由引理2可得

(5)

代入邊值條件可得u(0)=c0=0. 此外, 有

代入邊值條件可得

即

將c0,c1代入式(5), 即可得式(3)和式(4).

反之, 若u(t)為積分方程(3)的解, 則由Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì), 易證u(t)滿足邊值問(wèn)題(2). 因此邊值問(wèn)題(2)與積分方程(3)等價(jià).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)1<α≤2, 0<β≤1, 若f:J××→連續(xù), 滿足條件(H1), 則Caputo分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)解.

證明： 由引理3, 可得Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題(1)等價(jià)于積分方程

(6)

其中G(t,s)由式(4)給定. 在Banach空間

上定義如下算子T:

(7)

顯然算子T的不動(dòng)點(diǎn)即為Caputo分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題(1)的解, 即將求解問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為求解算子方程(7)的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.

首先, 給出如下估計(jì):

則有

此外, 有

令

U={u∈X: ‖u‖X≤R},

其中

顯然U是X一個(gè)非空的有界閉凸子集. 下面分兩步證明.

1) 證明T:U→U.

對(duì)于任意的u(t)∈U, 根據(jù)條件(H1)有

此外, 還有

因此

2) 證明算子T全連續(xù).

由1)知, 算子T在U中的連續(xù)性和一致有界性顯然, 因此只需證T(U)的等度連續(xù)性. 在U中, 令

對(duì)任意的u∈U,t,τ∈J, 不妨設(shè)τ

此外, 有

當(dāng)t→τ時(shí), 式(8)和式(9)右端趨于0, 則T(U)等度連續(xù). 由Arzela-Ascoli定理知算子T全連續(xù).

綜合1),2), 由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理知, 算子T在U中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn), 即Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)解.

定理2若f:J××→連續(xù), 滿足條件(H2), 且ω=max{kΛ1,kΛ2}≤1, 其中Λ1和Λ2由定理1證明中的估計(jì)給定, 則Caputo分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題(1)存在唯一解.

證明： 仍在Banach空間X上定義如式(7)的算子T, 由G(t,s)及f的連續(xù)性知, 算子T在X上定義合理. 下面證明T是一個(gè)壓縮算子. 對(duì)于任意的u,v∈X, 由條件(H2), 可得

此外, 有

于是, 由式(10)和式(11)可得

即T是一個(gè)壓縮算子.

綜上, 由Banach壓縮映像原理可知,T有唯一的不動(dòng)點(diǎn), 即Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題(1)存在唯一的解.

3 應(yīng)用實(shí)例

例1考慮如下Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題:

(12)

則ω=kΛ2=0.419 0<1. 由定理2可知, 邊值問(wèn)題(12)存在唯一解.

例2考慮如下Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題:

(13)

事實(shí)上, 可以考慮如下更一般的一類Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題:

(14)

其中: 1<α≤2; 0<β≤1;ρ1,ρ2≥1;k1,k2>0. 由定理1可知, 邊值問(wèn)題(14)至少存在一個(gè)解.

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