帶有無限時滯隨機發展方程的Khasminskii-型定理

蔡志丹, 劉青青, 呂顯瑞

(1. 長春理工大學 理學院, 長春 130022; 2. 洛陽師范學院 數理學院, 河南 洛陽 471934; 3. 吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

為使一個隨機微分方程對任意給定的初始值都有唯一的全局解, 方程的系數通常需要滿足線性增長條件和局部Lipschitz條件[1-2], 或者滿足一個給定的非Lipschitz條件和線性增長條件[3-4], 即線性增長條件在抑制解的潛在爆炸和保證解的存在性方面具有重要作用. 文獻[5-6]將上述兩類情形推廣到了無窮時滯隨機泛函微分方程上. 但實際應用中, 許多重要的無窮時滯系統并不滿足線性增長條件, 因此, 研究這些系統解的全局存在性具有一定的應用價值.

經典的Khasminskii-型定理在沒有線性增長條件的情形下, 通過使用Lyapunov函數研究了隨機微分方程解的全局存在性[7-12], 進而對有限隨機微分方程的全局解建立了各種存在唯一性定理. 文獻[13]給出了不滿足線性增長條件的無窮時滯隨機泛函方程解的存在唯一性定理. 但對于帶有無窮時滯的隨機發展方程, 目前尚未見文獻報道. 本文考慮帶無限時滯的隨機發展方程

dx(t)=(Ax(t)+f(t,xt))dt+g(t,xt)dWt,

(1)

其中:xt=xt(θ)∶={x(t+θ): -∞<θ≤0};A表示從V到V*的有界線性算子;f:+×BC((-∞,0];H)→H和g:+×BC((-∞,0];H)→L(U,H)是Borel可測的,H,U表示可分的Hilbert空間, 有一個數量積〈·,·〉.V是一個可分的Banach空間, 其范數為 ‖·‖,V?H是連續稠密的,V*是V的對偶空間. 由Riesz同構知,V?H=H*?V*是連續稠密的.BC((-∞,0];H)表示從(-∞,0]到H, 具有范數<∞, 構成一個Banach空間的有界連續函數族.L(U,H)表示所有從U到H的有界線性算子空間,L(U,H)是Banach空間,W是(Ω,F,P)上U-值的Brown運動. 令(Ω,F,P)是一個帶有信息流{Ft}t≥0的完備概率空間,C2(H,+)是H上所有連續兩次可微的非負函數族, 對任意的V ∈C2(H,+), 定義LV為

假設:

(H1) 設A是一個從V到V*上的有界線性算子, 對p≥2, 存在一個常數δ, 使得對μ∈V, 有‖Aμ‖*≤δ‖μ‖p-1, 且滿足下述強制性條件: 存在常數α>0和γ>0, 使得

(H2)f和g滿足局部的Lipstiz條件,φ,φ∈BC((-∞,0];H),t≥0, 對每個k>0, 存在一個常數ck, 使得

‖f(t,φ)-g(t,φ)‖H∨‖g(t,φ)-g(t,φ)‖H≤ck‖φ-φ‖H,

其中‖φ‖H,‖φ‖H≤k.

1 主要結果

對方程(1)應用標準的截斷技術, 可得:

定理1在假設條件(H1),(H2)下, 對任意的初值ξ∈BC((-∞,0];H), 方程(1)在-∞

則方程(1)在[0,+∞]上存在一個概率1意義下的全局解.

證明： 由假設(H1),(H2)和定理1知, 對任意的初值ξ∈BC((-∞,0];H), 方程(1)在t∈(-∞,τe)上都有一個唯一的局部強解x(t), 其中τe表示爆破時間. 為了證明該解是全局的, 只需證明τe=∞. 注意到ξ∈BC((-∞,0];H), 因此必存在一個正數k0, 使得|ξ(0)|≤k0. 對每個整數k>k0, 定義停時

τk=inf{t∈[0,τe]: |x(t)|≥k}.

顯然τk是遞增的, 并且當k→∞時,τk→τ∞≤τe. 若τ∞→∞, 則τe=∞, 即x(t)是一個全局解. 其等價于對任意的t>0, 當k→∞時,P(τk≤t)→0. 由條件(2), 對V (x(t)), 應用It公式可得

利用Fubini定理, 可得如下估計：

類似地, 有

(5)

注意到K(t)是一個不減的函數, 將式(4),(5)替換到式(3)中得

(6)

利用Gronwall不等式, 有

其中:

由停時τk的定義, 有

即當k→∞時,P(τk≤t)→0. 證畢.

為了使條件更簡便, 指定條件(2), 對任意的φ∈BC((-∞,0];H), 對f,g應用如下條件.

定理3假設(H1),(H2)成立, 在條件1),2)下, 如果

(7)

由假設(H2), 有

由條件1), 有

由條件2)應用H?lder不等式得

由I0,I1,I2得

其中

注意到α>2β,p≥2, 因此有

其中K(t)=H(x),a=1,b=c=0. 應用定理2即可得到結果. 證畢.

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