Baskakov-Durrmeyer算子在Orlicz空間[0,∞)中逼近的等價(jià)定理

韓 領(lǐng) 兄

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 通遼 028043)

1 引言與預(yù)備知識

Young函數(shù)Φ(t)的互余Young函數(shù)記為Ψ(t). 由Young函數(shù)Φ(t)的凸性可得Φ(αt)≤αΦ(t),α∈[0,1]. 特別地,Φ(αt)<αΦ(t),α∈(0,1).

定義2[10]設(shè)Φ(t)為Young函數(shù). 若存在t0>0和常數(shù)C≥1, 使得當(dāng)t≥t0時(shí), 有Φ(2t)≤CΦ(t), 則稱Young函數(shù)Φ(t)滿足Δ2-條件(記為Φ∈Δ2).

推論1[10]Φ∈Δ2當(dāng)且僅當(dāng)對任意的b>1, 存在兩個(gè)正數(shù)α,C, 使得當(dāng)t≥t0時(shí), 有Φ(bt)≤CbαΦ(t).

定義3[10]設(shè)Φ(t)為Young函數(shù). Orlicz類LΦ[0,∞)定義為使有限積分

的Orlicz類LΦ[0,∞)的線性包. 其性質(zhì)如下：

其與Luxemburg范數(shù)等價(jià), 即

‖u‖(Φ)≤‖u‖Φ≤2‖u‖(Φ).

(1)

文獻(xiàn)[7-8]得到了連續(xù)模與K-泛函的等價(jià)性.

C-1ωr,φ(f,t)Φ≤Kr,φ(f,tr)Φ≤Cωr,φ(f,t)Φ.

(2)

設(shè)f(x)為[0,∞)上的可積函數(shù), Baskakov-Durrmeyer算子[1]Vn定義如下:

2 正定理

引理1[6]

引理3[11]對于φ2(x)=x(1+x), 若u在t與x之間, 則

引理4[12]對于φ2(x)=x(1+x), 若u在t與x之間, 且x∈[0,1/n), 則

引理5設(shè)g″∈LΦ[0,∞), 則

證明: 當(dāng)x∈[1/n,∞)時(shí),δn(x)≤2φ(x), 由引理4得

由式(5)得

再由性質(zhì)1得

(7)

令

由于

所以

由性質(zhì)1得

(8)

結(jié)合式(7),(8), 得

(9)

又由性質(zhì)1得

(10)

證畢.

利用文獻(xiàn)[7]中引理2.3和文獻(xiàn)[13]中引理1可得如下結(jié)論:

其中C表示與n和x無關(guān)的正常數(shù).

證明: 首先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)An(f,x)(n≥3), 使得

(11)

從而

(12)

由積分型余項(xiàng)的Taloy公式, 得

由于

因此, 由引理5和引理6, 得

(13)

結(jié)合式(4),(11)～(13), 有

證畢.

3 逆定理

從而

由于‖Ji‖Φ(i=1,2,…,12)的估計(jì)類似, 所以只需給出‖J1‖Φ的估計(jì). 由式(1)式和Jensen不等式, 得

其中:vn+1,-2(x)=0;vn+1,-1(x)=0. 從而

證明: 運(yùn)用Leibniz定理得

結(jié)合式(14),(15), 得

(t)f(t)dt.

用兩次分部積分法得

從而

(17)

由式(16),(17)得

由于‖F(xiàn)i‖Φ(i=1,2,3,4)的估計(jì)類似, 所以只需給出‖F(xiàn)1‖Φ的估計(jì). 利用式(1)和Jensen不等式, 得

證明:

利用式(1)和Jensen不等式, 得

證明: 通過簡單計(jì)算可得

利用式(1)和Jensen不等式, 得

1)ω2,φ(f,t)Φ=O(tα/2);

2)ω1(f,t)Φ=O(tα/2).

證明: 1) 由K-泛函的定義, 可選取g(x)=Vn(f,x), 使得

(f)‖Φ.

由‖Vn(f)-f‖Φ=O(n-α/2)及定理4和引理7, 可得

由Berens-Lorentz引理[11]得t=1/n,K2,φ(f,t2)Φ≤Ctα/2, 0≤α<2. 再由式(2)得ω2,φ(f,t)Φ=O(tα/2).

由K-泛函的定義, 對于t=1/n, 選取g使得

另一方面, 利用引理8和引理9, 可得

再運(yùn)用Berens-Lorentz引理, 得K1(f,t)Φ≤Ctα/2, 0≤α<2. 最后估計(jì)ω1(f,t)Φ=O(tα/2). 設(shè)

其中

可得

從而

蘊(yùn)含ω1(f,t)Φ=O(tα/2). 證畢.

由定理3和定理5可得:

‖Vn(f)-f‖Φ=O(n-α/2) ?ω2,φ(f,t)Φ=O(tα/2),ω1(f,t)Φ=O(tα/2).

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