求解非線性時間分數階Klein-Gordon方程的譜配置方法

周 琴, 楊 銀

(1. 湖南涉外經濟學院 信息科學與工程學院, 長沙 410205; 2. 湘潭大學 數學與計算科學學院, 湖南 湘潭 411105)

1 引言與預備知識

分數階積分微分方程在流體力學、 生物學、 等離子體物理學和金融學等領域應用廣泛[1-2], 其中主要包括分數階Klein-Gordon方程[3-4]等. 分數階積分微分方程等非局部模型因為具有非局部算子, 使得該類方程的理論研究和數值求解非常困難, 因此求解高精度的數值解具有一定的理論意義和實用價值. 文獻[5]給出了分數階擴散方程在時間空間方向上的一階差分形式, 并給出了穩定條件; 文獻[6]利用時間-空間譜方法求解了時間分數階擴散方程, 并利用先驗誤差估計推導了其方法的收斂性; 文獻[7-8]用無網格方法求解了時間分數階Sine-Gordon和Klein-Gordon方程; 文獻[9]用區域分解法求解了時間分數階Klein-Gordon方程. 譜方法是高精度的全局方法, 在保證相同精度的前提下, 譜方法比其他低階方法所用的信息量更少, 因此高階的譜方法更適合處理非局部方程. 文獻[10-11]提出了一種新的Jacobi譜配置法來求解積分微分方程的數值解; 文獻[12]利用Jacobi譜配置法求解了一類分數階積分微分方程. 本文利用Jacobi譜配置方法數值求解如下非線性時間分數階導數為Caputo導數的Klein-Gordon方程:

(1)

其初始條件為

u(x,0)=φ1(x),ut(x,0)=φ2(x),a

(2)

邊界條件為

u(a,t)=ψ1(t),u(b,t)=ψ2(t), 0

(3)

(4)

這里Γ(·)是Gamma函數.

(5)

可得如下關系:

(6)

2 Jacobi譜配置法

ωα,β(x)=(1-x)α(1+x)β

(x)dx, ?p(x)∈P2N+1,

即Jacobi-Gauss求積公式.

在方程(1)中用γ階Riemann-Liouville分數階積分, 并利用關系式(6), 可得如下帶奇異核的積分形式方程:

其中:

為了應用正交多項式, 做如下變量變換, 使變量在標準區間[-1,1]上:

方程(7)可寫為如下形式:

(8)

邊值條件為

(9)

其中:

首先, 對于時間方向, 在區間[-1,1]上取Jacobi權函數

(10)

要得到問題(10)的高精度解, 最大困難在于計算積分項. 為了克服該問題, 本文利用變量替換

(11)

(12)

其中

下面利用Jacobi-Gauss求積公式, 求解方程(12)中的積分項近似如下:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

3 數值算例

例1考慮如下分數階Klein-Gordon方程:

初始條件為

該問題只有當γ=2時, 才有精確解

為了驗證本文方法的有效性, 首先固定空間配置點為N=24, 當γ=1.5,x=0.2時, 時間配置點分別取M=3,5,7,9, 求解其數值解如圖1(A)所示. 由圖1(A)可見, 當M=5,7,9時, 數值解基本重合, 因此在時間方向上, 譜配置方法是收斂的. 另一方面, 固定時間配置點為M=24, 當γ=1.2,t=0.3時, 空間配置點分別取N=2,4,6,8, 求解相應的數值解如圖1(B)所示. 由圖1(B)可見, 當N=4,6,8時, 數值解基本重合, 表明在空間上, 本文提出的譜配置方法也是收斂的.

圖1 當γ=1.5時、 固定空間x=0.2, 在時間方向上取不同配置點的數值解比較(A), 以及當γ=1.2時、 固定時間t=0.3, 在空間方向上取不同配置點的數值解比較(B)Fig.1 Comparisons of numerical solutions for different M with γ=1.5 and x=0.2 (A),and comparisons of numerical solutions for different N with γ=1.2 and t=0.3 (B)

圖2 當x=0.5取不同的γ時, 例1數值解和精確解的比較Fig.2 Comparisons between numerical solutions and exact solution of example 1 for different γ with x=0.5

為了進一步驗證本文方法的可靠性, 當x=0.5, 時間配置點為M=24時, 計算γ=1.25,1.5,1.75,2.0的數值解以及γ=2.0的精確解, 結果如圖2所示. 由圖2可見, 當γ=2.0時, 數值解與精確解吻合較好, 表明γ=1.25,1.5,1.75時的數值解是可靠的.

例2考慮如下分數階Klein-Gordon方程:

其中

初始條件為

u(x,0)=0,ut(x,0)=0.

該問題有精確解

u(x,t)=t2cos(πx).

圖3 當γ=1.5、 固定時間t=0.8(A)及固定空間時, 例2數值解和精確解的比較Fig.3 Comparisons between numerical solution and exact solution of example 2 with γ=1.5, t=0.8 (A) and γ=1.5, =0.5 (B)

(N，M)γ=1．2L∞L2ωγ=1．8L∞L2ω(4，20)8．3623×10-32．9331×10-35．5843×10-41．4692×10-4(6，20)6．0822×10-42．1739×10-41．8221×10-54．7031×10-6(8，20)1．9164×10-57．3466×10-64．0249×10-78．9289×10-8(10，20)2．2837×10-61．4738×10-67．1986×10-83．1383×10-8(20，4)5．0665×10-21．6461×10-27．4814×10-43．4855×10-4(20，6)3．2606×10-31．2068×10-31．5992×10-56．6194×10-6(20，8)2．3968×10-40．7566×10-44．7053×10-72．7287×10-7(20，10)7．4660×10-52．7982×10-53．8017×10-71．5170×10-7

圖4 隨配置點增加的誤差變化曲線Fig.4 Variation curves of error with increase of collection points

綜上, 本文針對時間分數階Klein-Gordon方程提出了一種時間-空間譜配置法, 使得方程對于時間和空間方向, 在Jacobi譜配置點成立, 從而得到其全離散形式, 并給出數值算例說明所求近似解很好地逼近了精確解. 該方法易于處理非線性的情形, 可以用較少的點得到較高精度的數值解, 節省存儲空間且易推廣到高維情形.

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