隨機序列幾乎處處中心極限定理的注記

關麗紅, 李映紅

(長春大學 理學院, 長春 130022)

1 引言與主要結果

?x∈,

(1)

本文主要結果如下:

定理1設{Sk,k≥1}為一隨機序列, 滿足幾乎處處中心極限定理, 即

?x∈,

(2)

?x∈.

(3)

定理2設{Sk,k≥1}為一滿足式(2)的隨機序列, {Tk,k≥1}為一隨機序列, 滿足Tk→0 a.s. 則{Sk+Tk,k≥1}也滿足幾乎處處中心極限定理, 即

?x∈.

(4)

本文中C表示正常數, 不同之處可表示不同的值.

2 定理的證明

命題1設{Sk,k≥1}和{Tk,k≥1}為兩個隨機序列, 滿足{Tk>0}. 記

則對任意的x∈,和0<ε<1, 有

證明: 當x≥0時, 注意到0<ε<1則有

{Sk≤x(1-ε)}?{Sk≤xTk}∪{Tk≤1-ε},

從而

I{Sk≤x(1-ε)}≤I{Sk≤xTk}+I{|Tk-1|≥ε}.

(5)

易知對任意的s≥0,se-s2/2≤e-1/2, 從而

(6)

聯立式(5),(6)可得

當x<0時, 由于

{Sk≤x(1+ε)}?{Sk≤xTk}∪{Tk≥1+ε},

因此

I{Sk≤x(1+ε)}≤I{Sk≤xTk}+I{|Tk-1|≥ε}.

(7)

(8)

聯立式(7),(8)可得

于是由上述證明可知對任意的x∈, 有

類似上述證明, 由

可證對任意的x∈, 有

從而結論成立.

命題2設{Sk,k≥1}和{Tk,k≥1}為兩個隨機序列. 記

有人注意到，在5月28日前，范冰冰更博速度幾乎每天一條。6月2日范冰冰轉發她參與的公益項目動態后，就停止更新。就連她原定6月8日半夏晚會的行程，也以爽約告終。

則對任意的x∈,和η>0, 有

證明: 首先, 由

{Sk+Tk≤x}?{Sk≤x+η}∪{|Tk|>η},

有

其次, 由{Sk≤x-η}?{Sk+Tk≤x}∪{|Tk|>η}, 有

從而結論成立.

2.1 定理1的證明

由命題1和ε的任意性可知定理1成立.

2.2 定理2的證明

由命題2和η的任意性可知定理2成立.

3 應 用

3.1 線性過程的幾乎處處中心極限定理

3.2 自正則和的幾乎處處中心極限定理

3.3 線性模型中誤差方差估計的幾乎處處中心極限定理

注意到rn≤p, 從而Tn=o(1) a.s. 故由定理2可知,An滿足幾乎處處中心極限定理.

3.4 部分和乘積的幾乎處處中心極限定理

進一步, 如果Sn滿足幾乎處處中心極限定理, 則由定理2可知下列結論成立：

?x,

(9)

式(9)等價于

?x,

其中F1(·)為隨機變量eN的分布函數.

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