一類高階擴散方程的整體吸引子

鮑 茜, 段 寧, 趙曉朋

(江南大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 無錫 214122)

1 引言與預(yù)備知識

擴散方程的動力學(xué)行為(如整體吸引子、 指數(shù)吸引子等)在某種意義上反映了方程解的穩(wěn)定性. 目前, 關(guān)于擴散方程整體吸引子的研究已得到廣泛關(guān)注[1-5]. 本文考慮高階擴散方程

ut=Δ3u+Δ[H(u)-A(u)],x∈Ω,

(1)

其中:Ω?3是一個具有光滑邊界的有界開集;H(s)=s;A(s)=γ2s3+γ1s2-s(γ2>0,γ1為常數(shù)). 方程(1)相應(yīng)的邊界條件為

(2)

相應(yīng)的初值條件為

u(x,0)=u0(x),x∈Ω.

(3)

方程(1)是通過考慮具有二階導(dǎo)數(shù)項的Landau-Ginzburg自由能量泛函導(dǎo)出的, 其中u表示兩相物質(zhì)之一的濃度. 如果令H(s)=s, 此時方程(1)即為經(jīng)典的Cahn-Hilliard方程[1-2,6]. 高文杰等[7]用經(jīng)典的能量估計方法且對所引入的能量泛函進行精細分析, 得到了問題(1)-(3)古典解的存在唯一性; 劉長春[8]進一步研究了問題(1)-(3)解的性質(zhì), 討論了方程解的漸近性質(zhì)和Blow-up現(xiàn)象.

本文考慮問題(1)-(3)在分數(shù)階空間Hk整體吸引子的存在性, 定義:

(4)

令非線性函數(shù)g(u)=-Δu+γ2u3+γ1u2-u, 設(shè)線性算子L=Δ3:H1→H. 顯然L是一個扇形算子, 可生成一個解析半群etL, 且L引導(dǎo)形成的分數(shù)冪算子為

Γk=(-L)k:Hk→H,k∈.

定義分數(shù)階空間Hk=D(Γk).

2 主要結(jié)果

利用經(jīng)典的Galerkin方法可證問題(1)-(3)整體解的存在唯一性：

引理1[7]假設(shè)u0∈H1/2, 則問題(1)-(3)存在唯一的一個整體弱解u(x,t), 滿足

u∈L∞(0,T;H1/2)∩L2(0,T;H6(Ω)), ?T>0.

(5)

由引理1知, 存在一個H3中的算子半群{S(t)}t≥0, 滿足

S(t)u0=u(x,t),t≥0.

(6)

進一步, 利用文獻[3]關(guān)于整體吸引子存在性的經(jīng)典定理及一系列先驗估計, 可證在H1/2空間中問題(1)-(3)整體吸引子的存在性：

引理2假設(shè)u0∈H1/2, 則問題(1)-(3)的解u(x,t)在空間H1/2中存在一個整體吸引子.

注1由引理2和Sobolev嵌入定理可知, ‖u‖∞≤C, ‖u‖∞≤C成立.

問題(1)-(3)的解u(x,t)可寫成如下形式:

(7)

其中:

L=Δ3;G(u)=Δg(u)=-Δ2u+Δ(γ2u3+γ1u2-u).

從而

(8)

引理3對任意有界集U?Hk, 均存在C>0, 使得

‖u(t,u0)‖Hk≤C, ?t≥0,u0∈U?Hk,k≥0.

(9)

‖u(t,u0)‖H1/2≤C, ?t≥0,u0∈U?H1/2.

(10)

因此只需證對任意的k≥1/2, 式(9)成立即可. 下面分兩步證明.

(11)

斷言g:H1/2→H有界. 由嵌入定理知,

H1/2→H2(Ω),H1/2→L6(Ω),H1/2→L4(Ω),H1/2→L2(Ω),

因此

從而g:H1/2→H有界. 再由式(8),(10),(12)可得

(14)

斷言g:Hk→H1/6有界. 由嵌入定理知,

Hk→H3(Ω),Hk→L8(Ω),Hk→W1,4(Ω),Hk→L4(Ω),Hk→H(Ω),

從而g:Hk→H1/6有界. 再由式(8),(13),(15)可得

通過迭代可證明對任意有界集U?Hk(k>0), 存在一個常數(shù)C>0, 使得‖u(t,u0)‖Hk≤C, ?t≥0,u0∈U?Hk,k≥0成立. 因此對全部k>0, 由問題(1)-(3)生成的半群在Hk上是一致緊的. 證畢.

定理1假設(shè)u0∈Hk(0≤k<∞), 則問題(1)-(3)的解u(x,t)在Hk空間中存在一個整體吸引子.

證明: 根據(jù)文獻[3], 為了證明問題(1)-(3)整體吸引子的存在性, 需證明對任意有界集U?Hk(k≥0), 均存在T>0和一個不依賴于u0的常數(shù)C>0, 使得

‖u(t,u0)‖Hk≤C, ?t≥T,u0∈U?Hk.

(17)

(18)

假設(shè)B是問題(1)-(3)的有界吸收集, 且B滿足B?H1/2. 此外假設(shè)當(dāng)t0>0時, 有

(19)

由式(12),(18)得

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