考慮重力影響的壓電懸臂梁發電系統動力學特性研究

楊倩倩， 劉麗蘭

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048)

近年來隨著微電子技術的發展，傳感器的低功耗運行成為可能，從而也促進了傳感器自供電技術的快速發展[1-2]，收集環境振動能量并轉化為電能已成為一種趨勢[3]。壓電發電因其結構簡單、清潔環保、易于實現微小化等優點越來越廣泛地受到大家的關注[4-6]。

由于大多數實際振動環境是隨機、多頻、時變的，而線性系統的共振頻帶非常窄[7-8]。在非線性系統中，雙穩態系統具有較寬的響應頻帶，并可以在周期或隨機激勵下產生大幅運動或混沌運動，顯著增加發電能力，所以非線性雙穩態壓電發電系統越來越受到研究者的注意[9-11]。Erturk等[12]使用數值積分法比較了雙穩態壓電收集系統中模擬數據和測量數據的線性相似性，并發現了在寬頻范圍內，雙穩態壓電發電系統較線性系統可以產生較高的輸出功率。Stanton等[13]應用諧波平衡法分析預測了參數變化對雙穩態系統穩定性的影響，并采用數值模擬和實驗驗證的方式對雙穩態壓電發電系統進行了分析，為此后實驗的操作提供了理論上的依據。Guo等[14]使用哈密頓原理建立了雙穩態壓電懸臂梁發電系統的壓電—磁—彈性耦合的分布參數模型，研究了磁體間距對于系統靜態分岔特性的影響，以及不同外部激勵對電輸出特性的影響。Singh等[15]提出了雙穩態傳感器的精確模型，即在非線性提取電路中使用同步電荷提取(Synchronous Charge Extraction， SCE)和電感器上的并行同步開關采集(Synchronized Switch Harvesting on Inductor， SSHI)，可以顯著提高俘能效率。

在壓電發電系統方面雖然出現了大量研究成果，但上述研究多假設在理想實驗條件下，未考慮重力對系統的影響。鑒于此，本文建立了考慮重力影響的壓電懸臂梁發電系統的力學模型，研究了簡諧和白噪聲激勵下，重力對系統輸出功率的影響規律，并結合半功率帶寬法，首次提出了白噪聲激勵下重力最小影響區間的確定方法。

1 壓電懸臂梁發電系統模型

圖1 壓電懸臂梁發電系統結構簡圖Fig.1 Structure diagram of piezoelectric cantilever beam power generation system

根據圖1，得到壓電懸臂梁發電系統的力學模型，如圖2所示。

圖2 壓電懸臂梁發電系統的力學模型Fig.2 Mechanical model of piezoelectric cantileverbeam power generation system

圖3 壓電懸臂梁電路分析等效模型Fig.3 Equivalent model of circuit analysis for piezoelectric cantilever beam

根據圖2和圖3，得到系統的控制方程和電學方程為

(1)

式中：X為質量塊的相對位移；Fr為磁力函數在平行于yz平面且垂直于H方向的分量；k為懸臂梁的彈性系數。

(2)

其中，

ζ=c/(2mv)
a=(3μ0MBVBMAVA)/(2πkd4l)-1
b=3μ0MBVBMAVAl(1/l2+5/d2)/(2πkd4)
γ=mg/(kl),p=mA/(kl)
μ=1/(RLCpv), ?=kcl/(Cpe)
ω=w/v

(3)

且MA,MB分別為磁鐵A和B的磁化強度；VA,VB分別為磁鐵A和B的體積；μ0=4π×10-7H/m 為真空磁導率；d為兩磁鐵中心之間的水平距離；l為磁鐵A中心到梁根部的距離；kc，kV分別為與電壓相關的耦合系數和電壓耦合系數。

2 勢能函數

根據無量綱方程式(2)可知

dU/dx=-ax+bx3+γsinβ

(4)

得出系統勢能函數為

(5)

參數取a=9.6,b=2,γ=5, 勢能函數隨著偏轉角度β變化的三維曲面圖如圖4所示。

圖4 勢能函數隨偏轉角度變化三維圖Fig.4 The potential function changes with the deflection angle

從圖4中可以看出，勢能函數在x<0和x>0部分變化趨勢正好相反。當x<0時，曲面隨著β的增大呈現下降趨勢，而當x>0時，曲面隨著β的增大呈現上升的趨勢。

為方便研究勢能函數不對稱性規律，分別取β為-π/3，-π/6，0，π/6，π/3。不同β下勢能函數隨著相對位移x的變化情況如圖5所示。

圖5 偏轉角度β對勢能函數的影響Fig.5 Influence of deflection angle β on potential energy function

從圖5可以看出，當β=0時，即不考慮重力的情況下，勢能函數為對稱狀態。隨著β的變化，勢能函數曲線呈現出不同的非對稱狀態，但勢壘仍在x=0點。當β從0增大到π/3時，左側勢阱變深，右側變淺，從0減小到-π/3時情況正好相反，即隨著的逐漸增大，左側勢阱變淺，右側勢阱變深。

3 數值仿真

3.1 簡諧激勵

3.1.1 相圖和頻譜圖

圖6 ω=0.2時的相圖和頻譜圖Fig.6 The phase diagrams and spectrums of ω=0.2

圖7 ω=0.5時的相圖和頻譜圖Fig.7 The phase diagrams and spectrums of ω=0.5

圖8 ω=0.8時的相圖和頻譜圖Fig.8 The phase diagrams and spectrums of ω=0.8

圖9 ω=1.2時的相圖和頻譜圖Fig.9 The phase diagrams and spectrums of ω=1.2

圖10 ω=1.5時的相圖和頻譜圖Fig.10 The phase diagrams and spectrums of ω=1.5

圖11 ω=1.8時的相圖和頻譜圖Fig.11 The phase diagrams and spectrums of ω=1.8

圖6中ω=0.2時，β在[-π/3, π/3]內系統均可以跨越勢壘做大幅混沌運動。逐漸增大激勵頻率，如圖7所示，當ω=0.5時，系統在β=-π/3和π/3時變為小幅運動，在β=-π/6，π/6和0時仍做大幅運動。當ω增大到0.8時，系統在β=0變為大幅周期運動，其余角度運動狀態不變，如圖8所示。繼續增大ω，當ω=1.2時，系統在β∈[-π/3, π/3]范圍內均做大幅周期運動，如圖9所示。當激勵頻率ω增大到1.5時，系統在β=0時為小幅周期運動，在β=-π/6和π/6時產生兩倍亞諧共振，而在β=-π/3和π/3時仍為大幅周期運動，如圖10所示。繼續增大激勵頻率，當ω=1.8時，系統在β=-π/6，π/6和0時做兩倍亞諧共振，在β=-π/3和π/3時為小幅周期運動，如圖11所示。

從圖6～圖11可以看出，當偏轉角度β=0時，隨著外部激勵頻率的增加，系統的運動變化過程為：混沌運動-大幅周期運動-小幅周期運動-兩倍亞諧共振。在β=-π/6，π/6時，系統運動狀態變化過程為：混沌運動-大幅周期運動-兩倍亞諧共振。在β=-π/3和π/3時，系統的運動變化過程為：混沌運動-小幅運動-大幅周期運動-小幅周期運動。所以重力的影響會導致系統的運動狀態發生變化，且重力不同，對系統狀態的影響也不同。

綜合上述可以看出：①當激勵頻率小于1.2時，重力對系統的大幅運動響應產生了較大影響，由大幅周期運動變成了某個平衡點上的小幅周期或者小幅混沌運動；②當外部頻率增大到1.5和1.8時，重力的影響反而有利于系統產生大幅運動，如在1.5時，β在-π/3和π/3兩個角度下系統產生了大幅周期運動，此時不受重力影響的雙穩態系統反而出現了小幅周期運動。在外部激勵頻率為1.8時，不管是系統是否受重力影響，雙穩態系統均表現為小幅周期運動，但受重力影響的雙穩態系統的小幅周期運動幅值也大于不受重力影響的系統的響應幅值。

3.1.2 輸出功率

由于壓電懸臂梁發電系統主要收集環境中的機械振動，并將其轉化為電能[16-17]。研究系統輸出功率可以更方便地了解系統的發電性能，并通過結合時域圖、相圖和頻譜圖等，可以更全面地對系統響應進行分析。系統的輸出功率可以用P=μ·v2來表示。圖12(a)給出了不同外部激勵頻率和β角下，運動懸臂梁發電系統的輸出功率。

為了更方便研究重力對發電功率的影響程度，設重力影響因子ψ=(Pβ-P0)/P0，其中Pβ為某一激勵頻率下β所對應的輸出功率，P0為β=0時所對應的輸出功率。結合圖12(a)并通過計算分析，當ω從0.2增大到1.8時，β所對應的影響因子如圖12(b)所示。由于圖12(a)中不同激勵頻率下的系統輸出功率關于β=0大體呈對稱狀態，所以圖12(b)僅給出了β∈[-π/2, 0]時的重力影響因子變化情況。

圖12 不同激勵頻率下的平均輸出功率和重力影響因子Fig.12 Average output power and gravity influence factor under different ω

從圖12(b)中可以看出，當ω(0.2≤ω≤1.8)取某一固定值時，隨著|β|的增大，|ψ|也隨之增大，即偏轉角度越大，重力對系統輸出功率的影響越大。

當0.2≤ω≤1.2時，ψ≤0，重力對輸出功率表現為削弱作用，結合圖12(a)可以看出，當ω從0.2逐漸增大到1.2時，系統輸出功率大體呈現上升趨勢，即在低頻環境下，激勵頻率越大，系統發電性能越好，且隨著ω的增大，某一偏轉角度β所對應的|ψ|越小，即激勵頻率的增大也會削弱重力對系統輸出功率的影響。

當β∈[-π/4, π/4]時，在ω從1.2增大到1.8的過程中，系統的輸出功率大體呈現減小趨勢，且系統在無重力影響即β=0時遞減最快。當系統有重力影響即β≠0時遞減較慢，且重力影響越大，輸出功率遞減相對越慢。所以當系統的激勵頻率足夠大時，隨著激勵頻率的增大，系統輸出功率逐漸減小，重力的作用會使這種減弱趨勢變慢。

綜上所述，系統在低頻激勵下，發電功率隨著激勵頻率的增大而增大，重力的影響會減弱系統的發電功率。但是當激勵頻率足夠大時，系統的發電功率隨著激勵頻率的增大而減小，重力的影響會使系統的發電功率下降較慢。

3.2 高斯白噪聲激勵

圖13 模擬的高斯白噪聲信號Fig.13 Simulation of Gaussian white noise signal

參照簡諧激勵下系統的動力學模型，高斯白噪聲下動力學模型的無量綱方程可寫為

圖14 不同噪聲強度下的平均功率圖Fig.14 Average power at different noise intensities

從圖14可以看出，噪聲強度很小時，系統的發電能力很微弱，且平均輸出功率幾乎不受β影響。隨著噪聲強度的不斷增大，系統得到的能量也不斷增大，平均功率越來越大，且在β=0附近的一個范圍內達到最大。根據能量守恒可知，外部激勵給系統傳遞能量時，一部分能量需要克服重力做功，故系統的平均功率會變小，發電能力變弱。

為了說明問題方便，分別選取D為0.2，0.5，0.7，1.0時平均輸出功率隨著偏轉角度的變化的二維關系曲線，如圖15所示。

圖15 不同噪聲強度下的功率曲線Fig.15 Power curve at different noise intensity

從圖15可以看出，隨著噪聲強度D的增加，系統總體的輸出功率也在增大。在β=0時，即不考慮重力的影響時，系統的平均輸出功率最大；β≠0時系統的輸出功率小于β=0時，且隨著|β|的增大，輸出功率也越小。

雖然重力對系統的輸出功率有影響，但在一定的影響范圍內系統仍具有良好的發電性能，仍可以被接受。為了確定不同噪聲強度下可接受的輸出功率，本

為了檢驗所提出半功率法確定最小影響區間的有效性，圖15～圖18分別給出了當D為0.2，0.5，0.7，1.0時最小影響區間上兩個極限端點和零值時系統的位移時域圖和相圖。

從圖16可以看出，在噪聲強度很小時，例如D=0.2時，系統在任何偏轉角度下均只做小幅運動。當噪聲強度足夠大時(例如當D=0.5，0.7和1.0時)，如圖17～圖19所示，在不同的噪聲強度下，在可接受區域的兩個端點(即此范圍內重力影響最大的兩個位置)，壓電懸臂梁系統在兩個平衡點間仍然保持大幅混沌運動，輸出較大功率，但平衡點上混沌運動的振幅出現了大小不等，也反映出重力的確對系統的大幅運動振幅存在影響。

圖16 D=0.2時系統分別在最小影響區間左端點、零點和右端點時的位移時域圖和相圖Fig.16 The time-domain and phase diagrams of the system at the left end point, zero point and right end point of the minimum influence interval when D=0.2

圖17 D=0.5時時系統分別在可接受區左端點、零點和右端點時的位移時域圖和相圖Fig.17 The time-domain and phase diagrams of the system at the left end point, zero point and right end point of the minimum influence interval when D=0.5

圖18 D=0.7時時系統分別在可接受區左端點、零點和右端點時的位移時域圖和相圖Fig.18 The time-domain and phase diagrams of the system at the left end point, zero point and right end point of the minimum influence interval when D=0.7

圖19 D=1.0時時系統分別在可接受區左端點、零點和右端點時的位移時域圖和相圖Fig.19 The time-domain and phase diagrams of the system at the left end point, zero point and right end point of the minimum influence interval when D=1.0

4 結 論

本文建立了考慮重力影響的壓電懸臂梁發電系統的力學模型及其控制方程。從數值仿真的角度分別研究了在簡諧激勵和隨機激勵下重力對系統的動力學特性和發電功率的影響。主要結論如下：

(1)重力的影響會使系統的勢能函數出現不對稱性，當β從0增大到π/3時，左側勢阱變深，右側變淺，從0減小到-π/3時情況正好相反，即隨著β的逐漸增大，左側勢阱變深，右側勢阱變淺。

(2)簡諧激勵時，當激勵頻率小于1.2時，重力對系統的大幅運動響應產生了較大影響，由大幅周期運動變成了某個平衡點上的小幅周期或者小幅混沌運動，重力的影響會減弱系統的發電功率；當外部頻率增大到1.5或者1.8時，重力的影響反而有利于系統產生大幅運動或者較大的小幅周期運動。

(3)白噪聲激勵時，系統的輸出功率隨著噪聲強度的增大出現了整體增大的趨勢，隨著|β|角度的增大，即重力影響的增大，系統的輸出功率出現了逐漸下降的趨勢。借助半功率帶寬法思想，在系統發電功率變化可接受的前提下，得到重力最小影響區間，獲得了偏轉角度β變化的最大可接受區間。

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