地下結構平面問題簡化人工邊界側向寬度設置研究

董正方， 朱紅云， 閆 超， 鄭 彬

(1.河南大學 巖土與軌道交通工程研究所，河南 開封 475004；2.河南大學 循環與功能建材實驗室，河南 開封 475004)

一般情況下從震源到人工結構所在位置的距離從幾公里到幾百公里，由于區域范圍過大、地球介質和工程結構的力學性質復雜，進行包括斷層和工程結構的動力學分析和計算基本是不可能的。一般是取出一個有限域進行分析和計算，該有限域的邊界稱為虛擬計算邊界。有限元建模時，必須對虛擬邊界進行力學上的處理，以使得在虛擬邊界上的運動狀態與原半無限空間的運動狀態一致。這方面的研究工作很多，其中力學上易于理解、有限元計算易于實現、并且表明具有足夠工程計算精度的做法是設置黏彈性邊界力學元件。

Lysmer等[1-2]開展了較早的研究工作，劉晶波等[3-5]則完成了大量的卓有成效的工作，進而使黏彈性邊界的理論得到了系統和全面的論述和實用化。雖然黏彈性邊界在計算精度上很高，并且目前使用也最廣[6-8]，但黏彈性邊界在使用過程中，假定外域介質為均勻線彈性，并且在人工邊界處的有限元節點上需要設置一系列由線性彈簧與黏滯阻尼器并聯的彈簧-阻尼物理元件，所需要的計算工作量比較大并且比較繁瑣。

根據圣維南原理，只要虛擬計算邊界距離結構物足夠遠，則虛擬計算邊界處的具體情況對結構地震反應影響就很小，而不必特別精確地處理。因此早期人工邊界就是將人工邊界的距離取得足夠遠，在計算時間內不包含邊界影響，即遠置邊界。遠置邊界至今還常用作其他邊界的校核。遠置邊界操作簡單，容易實現，但側向邊界寬度越大，數值計算需要的時間也就越長。遠置邊界處的約束有三種情況：全部自由，全部約束，豎向約束、水平自由(也稱簡化邊界)，文獻[9]中認為上述三種情況都具有足夠的可靠性，但需要的側向邊界寬度不同。對側向邊界寬度的取值還沒有解析解給出范圍，不同研究者對側向邊界寬度的認識存在差異[10-11]。本文將討論平面地下結構簡化人工邊界側向邊界寬度的影響因素及其影響程度。

1 理論分析

從無限半平面中取出一有限部分，上部邊界取在地表，全部自由；下側假設剛性基巖，全部約束；側向邊界如果設置成黏彈性邊界，則系統的運動方程為

(1)

從式(1)可知，黏彈性邊界需要在邊界離散點上輸入應力時程，工作量比較大；且黏彈性邊界應用于非線

性問題還有待研究。為了簡化，側向邊界可取簡化邊界，豎向約束、水平自由；基底垂直輸入剪切波作用，如圖1(a)所示，地震作用下相當于遠場側向邊界收到剪應力的作用[12]。從平面模型中任取一個微元體，其應力狀態如圖1(b)所示。中間任一微元體是純剪狀態，如果取在右側邊界處，則微元體右側存在一個豎向支座，其支座反力將等于剪應力。如果側邊界取成全部約束或全部自由，則邊界處的應力狀態將不符合自由場受剪切波作用下的應力狀態，因此這種簡化邊界比全部自由或約束要合理。

圖1 模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of model

2 影響因素分析

地下結構采用平面模型計算地震反應時，對于側向邊界的寬度大小的影響因素有土體阻尼比、結構尺度、地震波特性、土體非線性等，這些因素中哪些是主要因素、哪些是次要因素、各自的影響程度大小等問題，不能從理論分析中得到解析解答，也不可能通過大量模型試驗得到試驗解答，只能通過數值模型分析解決，下面應用大型有限元軟件ABAQUS進行數值模擬，在分析土體阻尼比、結構尺寸、地震波特性對側向邊界的寬度的影響程度時土體考慮為線性。

2.1 典型案例

為了反映分析結果的一般性，案例選用三種不同的土層，分別為均勻土層、一般厚度(25 m)成層土和深厚土層(64 m)成層土，土層和結構參數見圖2。

圖2 土層及地下結構參數Fig.2 Soillayer and underground structure parameters

土體單元為四結點平面應變單元，結構為梁單元，土體網格根據模型大小變化，均勻土層和一般厚度土層網格大小一致，括號內的為深厚土層，距結構1 000(500) m范圍內為1 m×1 m，4 000 m范圍內為5 m×1 m，8 000 m范圍內為10 m×1 m，在網格尺寸變化處采用不超過1.5倍的網格尺寸進行過度，模型示意圖見圖1(a)。采用由質量矩陣和剛度矩陣線性組合的瑞利阻尼，假定基巖剛性，地震波從基巖面垂直入射，地震動參數見圖3，進行動力時程分析。

圖3 地震動參數Fig.3 Ground motion parameters

為了衡量計算精度，取土層中的三個點A、B、C的位移的誤差的平均值，位置見圖2，b為土層寬度，H為土層厚度，定義最大值誤差和均方誤差分別為

(2)

(3)

式中：r0(t)為基準模型的反應；r(t)為虛擬計算邊界位置不同時的反應。

2.2 土體阻尼比

土體選用均勻土層、一般厚度成層土和深厚土層成層土，土層參數見圖2，結構選用結構(a)，改變不同的阻尼比，阻尼比分別為0%、5%和20%，取第二階和第四階振型頻率確定模型參數，兩階振型的阻尼比取值相同。側向邊界寬度(單側)分別置于50 m、200 m、500 m、1 000 m、2 000 m、4 000 m和8 000 m處，相對誤差以8 000 m模型為基準。基巖處地震波采用Elcentro波，地震動參數見圖3，峰值加速度為0.2g。土層反應位移誤差見圖4，結構反應內力誤差見圖5。

圖4 土層反應位移誤差圖Fig.4 Soil displacement errors

由圖 4位移誤差分析可得：①無阻尼時所需寬度較大，阻尼比由5%增大到20%，所需邊界寬度變化不明顯；②從最大值誤差看，對于5%阻尼比，即使是深厚土層成層土，取b/H=6，誤差在2.5%以下；③從均方誤差看，側向邊界寬度要求大，這主要是波形累積的影響。

由圖 5內力誤差分析得：①對均勻土層最為明顯，無阻尼時所需寬度較大，阻尼比由5%增大到20%，所需邊界寬度變化不明顯；②對于5%阻尼比，誤差在1%以下時，均勻土層需要b/H=4，一般厚度成層土需要b/H=8，深厚土層成層土需要b/H=16。

圖5 結構反應內力誤差圖Fig.5 Structural internal force errors

2.3 結構尺度

為了研究結構尺度對側向邊界寬度的影響，取長50 m、寬30 m的結構(a)，結構埋深為地面以下5 m。土體阻尼比取5%，土層選用深厚土層成層土，土層參數見圖2。側向邊界寬度(單側)分別置于50 m、200 m、500 m、1 000 m、2 000 m、4 000 m和8 000 m處。相對誤差計算以8 000 m模型為基準。

土層反應位移誤差和結構反應內力誤差見圖6。

圖6 反應誤差圖Fig.6 Reaction errors

由上圖位移誤差分析得：①大尺度結構所需邊界寬度較大；②從最大值誤差看，取b/H=6倍時，大尺度結構誤差在1%以上，而小尺度結構誤差在1%以下；②從均方誤差看，取b/H=16倍時，大尺度結構誤差在1%以上，而小尺度結構誤差在1%以下。

由上圖內力誤差分析得：①大尺度結構所需邊界寬度較大；②從最大值誤差看，取b/H=6倍時，大尺度結構誤差在1%以上，而小尺度結構誤差在1%以下。

2.4 地震波特性

為了研究地震波特性對側向邊界寬度的影響，取三條不同特性(峰值不同，持時不同，頻譜特性不同)的強震記錄和一條脈沖波來做對比，側向邊界寬度(單側)分別置于50 m、200 m、500 m和8 000 m處。相對誤差計算以8 000 m模型為基準。地震動參數見圖3，結構埋深為地面以下5 m，土體阻尼比取5%，選用深厚土層和結構(a)，參數見圖2。

土層反應位移誤差見圖7，結構反應的內力誤差見圖8。

圖 7 土層反應位移誤差Fig.7 Soil displacement errors

圖8 結構反應內力誤差Fig.8 Structural internal force errors

由圖7位移誤差分析得：①當b/H較小時，各個地震波誤差離散大，隨著b/H的增大，誤差離散變小；②從最大值誤差看，b/H=6時，四條地震波的位移誤差在1%以下；③從均方誤差看，b/H=6時，四條地震波的位移誤差在5%以下。

由圖8結構內力誤差分析得：①當b/H較小時，各個地震波誤差離散大，持時長的隨著b/H的增大，誤差離散變小；②從最大值誤差看，b/H=6時，四條地震波的內力誤差在2.5%以下。

綜上，脈沖波和Cape波的頻譜特性比較簡單，誤差較小；Elcentro波持時較長，誤差較大。

2.5 土體非線性

土體采用的是Davidenkov骨架曲線的土體動力本構，文獻[13]中提出了采用三參數A、B和γ0擬合G/Gmax-γ曲線的試驗結果，阻尼取阻尼比值中的最小阻尼比，假定阻尼只與剛度有關，土體動剪切模量比和阻尼比值見表1。

表1 土體動剪切模量比和阻尼比值

為了反映分析結果的一般性，選用25 m厚的均勻細砂土和結構(a)、64 m厚的深厚土層成層土和結構(b)，細砂天然重度20.2 kN/m3，剪切波速298 m/s，泊松比0.30，深厚土層和結構參數見圖2。峰值加速度分別為0.03g、0.2g、0.8g，側向邊界寬度(單側)分別置于25 m、50 m、100 m、200 m、500 m和1 000 m處，相對誤差計算以1 000 m模型為基準。地震波采用圖3中的Anza波。本構擬合參數見表2。

表2 擬合參數

取土層中的三個點A、B、C的位移的誤差的平均值，位置見圖2，其中深厚土層中C點位置向下移1 m，均勻土層網格為1 m×1 m的均勻網格，深厚土層成層土網格為2 m ×2 m的均勻網格，土層反應位移誤差見圖9，結構反應的內力誤差見圖10。

圖 9 土層反應位移誤差Fig.9 Soil displacement errors

圖10 結構反應內力誤差Fig.10 Structural internal force errors

由圖9位移誤差分析得：①在三種峰值加速度情況下，均勻土層當b/H=2時，位移誤差基本都在1%以下(除一個點外)；深厚土層成層土當b/H=4時，最大值位移誤差在1.5%以下，當b/H=8時，均方誤差在5%以下；②當土體進入非線性后，隨著非線性程度的增大對邊界寬度的影響并不敏感，這和之前討論阻尼對邊界寬度影響時規律一致。

由圖10結構內力分析得：①從最大值誤差看，b/H=8時，彎矩和剪力的誤差都在1.5%，軸力的誤差在2.5%；②當土體進入非線性后，隨著非線性程度的增大對邊界寬度的影響并不敏感。

3 結 論

通過對典型案例進行動力時程分析，得出了地下結構平面問題中側向人工邊界的影響規律：

(1)阻尼比對邊界寬度有影響，無阻尼所需邊界寬度最大，阻尼到達一定值后，阻尼比的變化對邊界寬度的影響不敏感。土體非線性有跟阻尼比類似的影響規律，線性情況下所需邊界寬度最大，非線性到達一定程度后，非線性程度的變化對邊界寬度的影響不敏感。

(2)結構尺度對邊界寬度有影響，結構尺寸越大所需邊界寬度越寬。

(3)地震波特性中的頻譜特性和持續時間對邊界寬度有較大影響；當b/H較小時，各個地震波誤差離散大，隨著b/H的增大，誤差離散變小。

(4)從最大值誤差分析，當阻尼比為5%時，考慮所有影響因素時取b/H=40時，誤差在1%以下，取b/H=16時，誤差在5%以下。

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