三磁體型隔振器的性能分析和實驗研究

柴 凱， 朱石堅, 楊慶超， 劉樹勇

(1. 海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033；2. 海軍工程大學 船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033)

聲隱身技術是提高潛艇水聲對抗性能的關鍵技術之一。降低潛艇輻射噪聲，不僅可改善其隱身性能，還能提高艇載水聲探測設備的探測能力，從而大大提高潛艇的戰術技術性能[1]。機械設備振動是潛艇低速隱蔽航行時的主要噪聲源，而隔振是減小機械振動向艇體傳遞、降低水下輻射噪聲的最有效手段。為了提高隔振效果，Carrella等[2]進行了廣泛深入的研究，一方面是降低隔振系統的剛度，但此時系統的靜變形較大，穩定性差；另一方面是采用主動控制，但對于設備質量較大、安裝空間狹小的潛艇艙室環境，現有作動器難以滿足工程需求，而且主動控制系統存在結構復雜、能量消耗較大等不利因素，在能量較為寶貴的潛艇上難以取得滿意的效果[3]。

高穩定性和低固有頻率一直是傳統隔振系統的矛盾，由于潛艇機械設備隔振系統對穩定性要求較高，傳統被動隔振系統固有頻率降低的程度有限，制約著被動隔振系統隔振效果的進一步提升。準零剛度隔振器是通過合理設計負剛度機構的幾何和剛度參數，將正負剛度彈性元器件并聯在靜平衡位置獲得零剛度的組合隔振器[4]。相比傳統的線性隔振器，準零剛度隔振器具有高靜剛度低動剛度的特性，能有效解決大承載力和超低頻隔振、超低剛度和位置穩定性、低頻振動傳遞率和高頻振動衰減率不可兼顧的矛盾[5]。實現準零剛度隔振技術的關鍵在于負剛度機構的設計和計算[6]，基于永久磁鐵或電磁鐵的負剛度機構因為無機械摩損、噪聲小、無需潤滑、可引入半主動控制調節系統剛度和承載能力不受負剛度機構影響等優點，引起了國內外學者廣泛的關注。Zhou等[7]將結構梁、電磁鐵和永久磁鐵并聯設計了隔振器，通過調節電流的方向實現隔振器的半主動控制；Li等[8]通過磁環與橡皮膜結合設計了負剛度隔振器；Tao等[9]設計了六自由度的磁懸浮型準零剛度隔振系統；Shan等[10]利用氣囊和磁環結合設計了一種新型空氣彈簧減振器；Zheng等[11]對基于永磁鐵和電磁鐵的準零剛度隔振器進行了深入研究；Xu等[12]采用垂直線性線圈彈簧和兩個對稱的磁力彈簧組合設計了磁力準零剛度隔振器。但上述文獻主要采用環形磁鐵或磁磚，磁鐵間隙調節困難，負剛度的變化范圍有限。

本文通過建立矩形磁鐵的磁力和剛度解析模型，分析其負剛度特性，通過仿真優化矩形磁鐵尺寸參數，將其應用于三磁體型隔振器，并對其動力學特性進行分析，探索系統參數對減振性能的影響規律，為評估實際隔振性能，進行一系列的實驗分析。

1 矩形磁鐵的磁力解析模型

1.1 點磁荷磁場強度的計算

如圖1所示，面積為2a×2b矩形磁面，依據等效磁荷理論[13]，任意一點P的標量磁位的二維泊松方程

(1)

(2)

(3)

對于體積為2a×2b×2c矩形磁鐵，被磁化后各磁偶極子在磁鐵內部均勻排列，N極和S極首尾相連，只在兩個端面出現單一的正或負磁荷。由靜磁學理論[14]，

圖1 矩形磁面對點P的磁標量勢Fig.1 Magnetic scalar potential of a rectangular surface in the point P

當充磁方向與磁鐵表面法線重合，釹鐵硼永磁材料的介質極化強度J，面磁荷密度σ和剩余磁感應強度Br三者相等。根據H=-φP，在場點P對φP求梯度，可得點P磁場強度

(4)

圖2 矩形磁體對點P的磁標量勢Fig.2 Magnetic scalar potential of a rectangular magnet in the point P

1.2 矩形磁鐵的磁力和剛度解析模型

設上下磁鐵均均勻充磁，下磁鐵尺寸為2a×2b×2c，介質極化強度為J，所在坐標系為O-XYZ；上磁鐵尺寸為2a′×2b′×2c′，介質極化強度為J′，方向與下磁鐵相同，所在坐標系為O′-X′Y′Z′，O′的坐標為(x,y,z)。

圖3 兩塊矩形磁鐵的幾何模型Fig.3 Two parallelepiped magnets configuration

根據等效磁荷理論，兩塊磁鐵間的磁力由上、下磁鐵的上、下端面相互作用產生，兩塊充磁方向平行的靜磁能

(5)

(6)

經四重積分后可得

(7)

式中：η=i+j+k+l+p+q。

（3）建筑質量差：土坯建筑、彩鋼房、荒廢失修的破敗建筑等，根據村民需求和意愿原地重建，確定需要原地重建的住宅建筑數量。

(8)

根據虛功原理[15]可得兩磁鐵間的磁力

(9)

當上下磁鐵充磁方向相同時F取正，反之則F取負，省略多重求和為零的項

(10)

(11)

式中：τx=Ulnβ+r;τy=Vlnα+r;τz=-2r-Ulnβ-Vlnα。

1.3 有限元仿真驗證

利用ANSYS Maxwell有限元軟件對三磁體的磁力進行計算，并與解析表達式結果進行對比驗證。圖4是不同位置磁場強度分布圖，由圖5可知，在平衡位置所受磁力為0，有限元仿真結果與三磁體磁力解析模型結果吻合較好，驗證了本文推導的磁力解析模型的準確性。

圖4 不同位置的磁場強度Fig.4 Magnetic intensity at the different positions

圖5 磁力-位移曲線解析模型和有限元方法的對比Fig.5 Comparison of the magnetic force-displacement between analytical model and finite element method

2 磁鐵尺寸的優化與設計

由上述分析可知，矩形磁鐵的剛度與磁鐵相對位置、充磁方向、幾何參數和剩余磁感應強度等密切相關。如圖6所示，三磁體沿Z軸間隔l布置，外部磁鐵尺寸為2a×2b×2c，中間磁鐵尺寸為2a′×2b′×2c′，充磁方向均沿Z軸正方向，中間磁鐵沿軸上下運動時，由式(11)可得Kz=-2Kz(0,l,z)。為了更好地匹配正剛度，矩形磁鐵在獲得較大負剛度的同時，還應具有較好的線性特征，需要三磁體幾何尺寸進行優化。

圖6 三磁體的布置示意圖Fig.6 Schematic configuration of the tri-magnets

考慮磁鐵布置方式和總體結構，設三磁體的初始尺寸均為40 mm×20 mm×30 mm，l=30 mm，下面采用控制變量法分析外部磁鐵幾何尺寸的變化對中間磁鐵Z向負剛度的影響。維持b,c不變，a在10～30 mm內間隔0.01取值，由圖7(a)可知，負剛度隨著a的增加而增加，線性特征變小。維持a，c不變，b在1～20 mm內間隔0.01取值，由圖7(b)可知，負剛度隨著b的增加而增加，且存在突變，線性特征變小。維持a，b不變，c在10～20 mm內間隔0.01取值，由圖7(c)可知，負剛度隨著c的增加先增加后減小，在c=15 mm達到峰值，線性特征先減小后增大。因此，綜合考慮負剛度的大小和線性特征，取中間磁鐵的尺寸40 mm×20 mm×30 mm，外部磁鐵的尺寸35 mm×18 mm×20 mm。

3 三磁體型隔振器的動力學模型

Kz的積分表達式不利于建立系統的動力學方程，由圖8可知，在三磁體幾何尺寸確定的前提下，負剛度可以表示為關于z的二階多項式，同時由于剛度大小也與磁鐵間距l有關，故可設負剛度的表達式為

圖7 尺寸參數對負剛度的影響Fig.7 Effect of dimension parameters on negative stiffness

Kz=k1(l)+k2(l)z2

(12)

圖8 不同磁鐵間隔下的負剛度曲線Fig.8 Negative stiffness curve at the different gaps

圖9 三磁體型隔振器的結構示意圖Fig.9 Schematic diagram of tri-magnets vibration isolator

隔振器的動力學方程可表示為

(13)

式中：c為系統的阻尼系數;m為被隔振物體的質量;K為機械彈簧的剛度。將式(13)無量綱化

(14)

(15)

從而推出系統的幅頻方程

(16)

通過三磁體型隔振器傳遞地基的力ft

(17)

從而得到簡諧力激勵下系統的傳遞率

(18)

去掉外部磁鐵，得等效線性系統的傳遞率

(19)

由式(18)可知系統的力傳遞率與激勵幅值A和阻尼比ξ密切相關。圖10給出了不同激勵幅值時三磁體型隔振系統與等效線性系統力傳遞率曲線的比較。由圖10可知，隨著激勵幅值遞增，三磁體型隔振系統傳遞率峰值和共振頻率均增加，當激勵頻率較高時，傳遞率趨于一致；而對于等效線性系統而言，隨著激勵幅值的遞增，系統的傳遞率峰值和共振頻率均不變。

圖10 激勵幅值對系統力傳遞率的影響Fig.10 Effect of excitation amplitude on force transmissibility

圖11給出了不同阻尼比時系統的傳遞率曲線。有圖可知隨著阻尼比的遞增，三磁體型隔振系統的傳遞率峰值和共振頻率均減小，但阻尼比過大會影響高頻段的正負剛度并聯系統的隔振性能；而對于等效線性系統而言，隨著阻尼比的遞增，系統的傳遞率峰值減小，但共振頻率不變。圖10和圖11表明：相比等效線性系統，三磁體型隔振系統的隔振起始頻率更低，隔振頻帶更寬，傳遞率峰值更小，低頻隔振性能更優越。

圖11 阻尼比對系統幅頻特性的影響Fig.11 Effect of damping ratio on force transmissibility

4 實驗研究

三磁體型隔振器振動實驗裝置和數據采集系統如圖12所示，其相應參數如表1所示。它主要包括三磁體型隔振器、激振器、2個阻抗頭(包含力傳感器和加速度計)、功率放大器、數據采集分析儀等。三磁體型隔振器結構沿中心軸線呈對稱，上蓋開設定位銷，以保證中心軸的對中性，底座凸臺和調節套可保證機械彈簧的垂直度，滑動軸承固定在上蓋端部，與中心軸的配合能限制中心軸的徑向運動，配重固定在載物臺的正中央。在激振器和平衡質量塊之間放置阻抗頭1，用以測量激勵的力大小，在上蓋頂端放置另一個阻抗頭，用以測量傳遞到基礎的力大小。

圖12 實驗裝置及數據采集系統Fig.12 Experimental apparatus and data acquisition system

三磁體型低頻隔振器實驗模型在平衡位置附近的剛度曲線如圖13所示。由圖13可知，在靜平衡位置處，系統剛度為零；在靜平衡位置附近的小振幅區間內，系統剛度較小，具有高靜低動的剛度特性。

表1 實驗裝置的物理參數

圖13 三磁體型隔振器的剛度-位移曲線Fig.13 Stiffness-displacement curve of tri-magnets vibration isolator

具體振動實驗步驟如下：

步驟1 調整三磁體型隔振器初始狀態。將質量塊固定于載物臺上，調整調節套使外部磁鐵與中間磁鐵的中截面重合；

步驟2 將質量塊、阻抗頭1和激振器通過螺桿連接，阻抗頭2和基礎固定；

步驟3 將信號源端口與功率放大器相連，完成信號的放大；將功率放大器與激振器相連，完成激振；

步驟4 完成0.5～20 Hz激勵頻率下的的激振實驗，對采集的數據進行相關分析處理；

步驟5 將外部磁鐵移除，測量相應的線性系統的隔振性能來進行對比實驗。

圖14為三磁體型隔振系統與線性系統的力傳遞率的實驗結果對比。由圖可知：線性系統在5 Hz附近出現共振峰，從7.5 Hz左右開始有隔振效果；三磁體型隔振系統在0.5 Hz就有隔振效果，0.5～5.5 Hz內力傳遞率逐漸遞減，在5.5 Hz以后，基本保持不變；在13.5 Hz以后，三磁體型隔振系統與線性系統的隔振性能幾乎相當。綜上所述可知，三磁體型隔振系統相比線性系統具有更低的隔振起始頻率和更大衰減率。

圖14 三磁體型系統與線性系統傳遞率的比較Fig.14 Experimental comparison of force transmissibility between tri-magnets system and linear system

5 結 論

本文通過矩形磁鐵與機械彈簧并聯設計了一種三磁體型低頻隔振器：

(1)利用磁極化強度與磁偶極子之間的關系，計算出單位長度兩塊磁體之間的靜磁能，通過對靜磁能求導得到了兩磁體間磁力和剛度。

(2)采用矩形磁鐵作為負剛度元件，通過合理選擇磁鐵布置方式和充磁方向，可使其負剛度區間范圍擴大，且在區間內剛度變化平緩。

(3)將中間磁鐵負剛度作為對象，對三磁體的尺寸參數進行了優化，并通過有限元分析驗證了解析模型的準確性。

(4)通過仿真和實驗驗證，三磁體型低頻隔振器具有高靜低動的剛度特性，能有效解決低動剛度和失穩的矛盾，為進一步提升潛艇機械設備振動的隔離效果提供了一種新的思路。

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