連續射擊過程中加速運動彈丸激勵下身管橫向振動特性研究

周奇鄭， 趙 洋， 王德石

(海軍工程大學 兵器工程系，武漢 430033)

火炮振動對射擊精度有重要影響，炮口振動一直是研究者關心的主要問題。炮口運動狀態影響了彈丸出口的初始狀態，決定了彈丸的外彈道特性。連續射擊過程中，彈丸激勵身管振動的累積導致了炮口振動幅度的增加，使彈著點的散布增大，致使火炮射擊精度降低。因此，研究連續射擊過程中，彈丸加速運動對身管振動特性的影響規律，對確定火炮的射速、提高射擊精度具有重要的理論與實際意義。

火炮的振動在實際射擊過程中是不可避免的，其對射擊精度的影響最終是由炮口振動反映出來的。發射過程中身管的受力情況十分復雜，通常僅考慮膛內壓力、身管和彈丸的重力，但實際上還應包含身管及彈丸的各類慣性力、布爾登載荷、膛內旋轉摩擦力矩、身管配套裝置的作用力等[1]。由于身管尺寸大，剛度小，加之承受高膛壓及高速運動彈丸的沖擊作用，其振動有其特殊性，故許多學者把火炮振動研究的重點集中在身管的振動上。理論上，身管的振動可歸結為懸臂梁的振動，彈丸可簡化為移動質量，即身管振動可轉化為移動質量作用下懸臂梁的振動。張永昌等[2]在等截面Bernoulli-Euler梁理論的基礎上，考慮射擊過程中身管的剪切變形、彈丸慣性力矩等作用，建立了火炮身管橫向振動的二階偏微分方程。利用此方程可確定內膛彎曲度、身管熱變形、彈丸偏心率、內彈道諸元和身管結構等對射彈散布的影響。葉開沅等[3]針對列車過橋的整個過程，采用小參數法給出了任意單個移動激勵作用下鐵路橋梁動力學方程的一般解。文獻[4]將葉開沅等的分析方法應用于火炮振動領域，研究了彈丸膛內運動引起的火炮身管橫向振動問題，給出了單發及連發射擊時炮管橫向振動的一般解，進行了定性分析，未給出定量計算結果。姜沐等[5]將彈丸膛內運動近似處理為勻加速運動，建立了加速彈丸作用下火炮身管振動方程，并給出了級數形式的解析解和定量計算結果。史躍東等[6]在考慮彈丸勻速運動慣性效應的基礎上，研究了身管振動特性，給出了解析解，分析了不同運動參數對炮口振動的影響規律，給出了定量比較結果。朱文芳等[7]利用一維兩相流內彈道模型及一維圓管熱傳導模型，描述了某榴彈炮多發連續射擊過程中身管的傳熱過程。目前，國外關于火炮身管振動方面的研究鮮見報道，Michaltaos等[8]研究了移動質量對簡支梁的影響，對研究的背景未作深入的闡述。

由于在彈丸加速運動激勵的振動系統中，彈丸的瞬時沖擊作用將使得身管的固有特性隨運動位移或運動時間變化，使得求解彈丸連續沖擊作用下身管的振動更為復雜。因此，到目前為止，在火炮振動研究領域內，關于這方面的研究工作還較少，理論分析與定量計算也不多。在以往研究的基礎上，本文將建立彈丸膛內加速運動下火炮身管橫向振動方程，研究火炮連續射擊過程中身管振動特性，為確定火炮的射速、提高射擊精度提供技術基礎。

1 加速彈丸作用下身管橫向振動方程

將身管簡化為Bernoulli-Euler均勻等截面懸臂梁，假定彈丸在膛內加速運動，考慮圖1所示的身管橫向振動模型。圖1中：mp為彈丸質量；θ為射角；l為身管長度；v、a為彈丸膛內運動速度和加速度；y(x,t)為身管在坐標(x,0)處的撓度；F(t)為不計慣性效應時彈丸膛內運動作用于身管上的等效合外力。

圖1 彈丸加速運動作用下身管橫向振動模型Fig.1 Transverse vibration model of barrel subjected to accelerating projectile

設身管的抗彎剛度為EI， 密度為ρ， 橫截面積為A。 取縱坐標為OY，橫坐標為OX。在計及阻尼和彈丸慣性效應時，加速彈丸作用下身管的橫向振動方程為(OY方向為正向)

(1)

y,x|x=0=0,y|x=0=0
y,xx|x=l=0,y,xxx|x=l=0

(2)

y,t|t=0=v0,y|t=0=y0

(3)

由于彈丸與身管的質量比ε=mp/M?1，取其為小參數，式(1)可寫為

y,tt+2Hy,t+Gy,xxxx=lδ(x-ζ)(-f(t)-
ε(y,tt+ay,xt+2vy,xt+v2y,xx))

(4)

2 第一發彈丸作用下身管橫向振動方程的解

對于式(4)，在邊界條件式(2)和初始條件式(3)下，可采用小參數法進行求解。將式(4)的解y展開為小參數ε的冪級數形式，即

y(x,t)=y0(x,t)+εy1(x,t)+
ε2y2(x,t)+…

(5)

將式(5)代入式(2)～式(4)中，同時將ε因次相同的項合并在一起，可得一系列關于y0，y1，y2，…及相應邊界條件、初始條件的微分方程。

對于y0，有如下方程、邊界條件和初始條件

y0,tt+2Hy0,t+Gy0,xxxx=-f(t)lδ(x-ζ)

(6)

y0,x|x=0=0,y0|x=0=0
y0,xx|x=l=0,y0,xxx|x=l=0

(7)

y0,t|t=0=0,y0|t=0=0

(8)

令y0的解為

(9)

(10)

(11)

采用Duhamel積分求解式(10)，可得

(12)

(13)

對于y1，有如下方程，邊界條件和初始條件

y1,tt+2Hy1,t+Gy1,xxxx=-lδ(x-ζ)(y0,tt+
ay0,xt+2vy0,xt+v2y0,xx)

(14)

y1,x|x=0=0,y1|x=0=0
y1,xx|x=1=0,y1,xxx|x=1=0

(15)

y1,t|t=0=0,y1|t=0=0

(16)

令y1的解為

(17)

將式(13)、式(17)代入式(14)和式(16)中，可得如下方程及初始條件

(18)

(19)

對于y2，y3，…，可按同樣思路求解，將其全部代入式(5)，即可得身管橫向振動位移y級數形式的解析表達式。

3 連續射擊過程中身管橫向振動方程的解

由于火炮機械條件的限制，只有前一發彈丸射出身管之后才能裝填下一發彈丸，因此，連續射擊過程中，對于第j發彈丸激勵下身管的振動，其方程同式(1)，只是方程的初始條件發生了變化，即

yj,t|t=0=yj-1,t(jtg),yj|t=0=yj-1(jtg)

(20)

式中：tg為射擊間隔。同樣可以采用小參數法進行求解，對于第j發彈丸激勵的振動yj,0有

(21)

采用類似方式，可以得到對應于第j發彈丸的其余方程，從而可以得到連續射擊過程中，身管的振動響應。

4 振動算例

考慮彈丸膛內的變加速運動，將彈丸對身管的作用力分兩種情形討論，一種為彈丸無質偏的情形，一種為彈丸有質偏的情形。

4.1 彈丸無質偏

當不考慮彈丸質偏時，式(1)中等效合外力F(t)即為彈丸質量對身管的作用力，有

(22)

由于f(t)為ε的一次式，易知采用小參數法求解振動方程時，y中的y0分量恒為0，即只須計算ε的非0次項，設

y(x,t)=εy1(x,t)+ε2y2(x,t)+…

(23)

將式(22)、式(23)代入式(4)中，整理可得對應于yq和uq(q=1,2,…)的振動方程，以y1和u1為例有

y1,tt+2Hy1,t+Gy1,xxxx= -lgcosθδ(x-ξ)

(24)

式(24)邊界條件、初始條件和求解方法與前面介紹的完全一致，在此不再贅述。求得y1，采用類似方法可迭代求出y中其余各項，疊加得到第一發彈丸激勵下身管的振動響應，然后按第2部分內容求解第j發彈丸的沖擊振動響應。

研究彈丸無質偏情形下，身管阻尼系數、射擊間隔對身管振動特性的影響。參數選?。簭椡栀|量mp=13.5 kg，身管長度l=5.5 m，射角θ=45°，彈性模量E=210 GPa，重力加速度g=9.8 m/s2。對于該口徑彈丸，由試驗測得了膛內運動過程中的加速度，經樣條插值得到如圖2所示彈丸加速度隨無量綱時間的變化曲線[9]，該曲線與膛內火藥氣體壓力具有相同的變化規律。由于獲得了彈丸加速度的數值解，因此，在采用Duhamel積分求解qi(t)時需采用卷積定理進行求解。

圖2 彈丸加速度隨無量綱時間的變化曲線Fig.2 The projectile acceleration versus dimensionless time

圖3為彈丸無質偏時炮口振動位移隨時間的變化曲線，由于僅考慮了彈丸重力的影響，彈丸膛內運動時，炮口振動位移為負值，最大位移為-5.86×10-6m；彈丸飛離炮口后，炮口做衰減振動，其衰減速度隨系統阻尼系數H的增大而加快。圖4為發射間隔對炮口振動位移的影響，由圖4知，發射間隔為16 ms時，第二發彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為5.60×10-5m，第三發彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為2.35×10-4m，炮口振動幅值隨連續射擊的彈丸數急劇增大；發射間隔為25 ms時，第二發彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為2.88×10-5m，第三發彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為4.78×10-5m，炮口振動幅值隨連續射擊的彈丸數增大緩慢；發射間隔為50 ms時，彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為-5.86×10-6m，即與單發彈丸激勵的幅值相同，但彈丸在膛內運動時，身管衰減振動明顯；發射間隔為80 ms時，彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為-5.86×10-6m，此時前一發彈丸對后一發彈丸的影響可以忽略。即彈丸無質偏情形下，火炮的發射間隔最小應為80 ms。

圖3 彈丸無質偏時炮口振動位移Fig.3 Vibration displacement of muzzle without mass-unbalance projectile

圖4 彈丸無質偏時發射間隔對炮口振動的影響Fig.4 Influence of launching intervals to muzzle vibration without mass-unbalance projectile

4.2 彈丸有質偏

膛內運動時，由于受到膛線的作用，彈丸沿身管軸線方向除作高速平移運動處，還將沿膛線作高速旋轉運動。如果彈丸存在質偏，膛內的高速旋轉運動將導致極大的離心力，從而影響彈丸與身管之間的作用力。即F(t)中應含有彈丸自重和離心力對身管的作用：

F(t)=mpgcosθ+mpRs?2sin (?t)

(25)

式中：Rs為彈丸質量偏心距； ?為彈丸膛內運動轉速。對于等齊膛線的身管，由彈道學相關理論可知

(26)

式中：η為纏度；d為身管內徑。將式(25)、式(26)代入F(t)的表達式，有

(27)

求得f(t)后，與彈丸無質偏時采用相同的處理方法，即可完成問題的求解。

參數選?。害?27，Rs=10-4d，其余參數同上。圖5為彈丸有質偏時炮口振動位移隨時間的變化曲線，由于考慮了彈丸重力和質偏的影響，彈丸膛內運動時，炮口振動位移的最大幅值為7.15×10-6m；由于彈丸旋轉產生的離心力的作用，單次射擊周期內炮口的振蕩次數增多了；彈丸飛離炮口后，炮口做衰減振動，與彈丸無質偏時的情形一致。圖6為發射間隔對炮口振動響應的影響，由圖知，發射間隔為16 ms時，第二發彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為6.95×10-5m，第三發彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為2.63×10-4m，炮口振動幅值增加較快，將使彈著點的散布增大，射擊精度降低；發射間隔為25 ms時，第二發彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為2.81×10-5m，第三發彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為3.23×10-5m，炮口振動幅值增加較慢；發射間隔為50 ms時，彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為7.15×10-6m，即，炮口振動幅值保持不變，但彈丸在膛內運動時，身管衰減振動明顯；發射間隔為100 ms時，彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為7.15×10-6m，此時前一發彈丸對后一發彈丸的影響可以忽略，即彈丸有質偏情形下，火炮的發射間隔最小應為100 ms。

上述分析表明，身管的阻尼系數H主要影響彈丸出口后身管的衰減振動，阻尼系數越大，身管振動衰減越快，前一發彈丸對后一發彈丸的影響越??；彈丸發射間隔的主要影響體現在后一發彈丸引起的振動上，發射間隔越短，炮口處振動的增幅增加越快；當發射間隔達到一定值后，前后兩次射擊將不會相互影響。因此，對于中大口徑火炮，適當增大發射間隔可提高其射擊精度。

圖5 彈丸有質偏時炮口振動位移Fig.5 Vibration displacement of muzzle with mass-unbalance projectile

圖6 彈丸有質偏時發射間隔對炮口振動的影響Fig.6 Influence of launching intervals to muzzle vibration with mass-unbalance projectile

5 結 論

針對連續射擊過程中炮口的振動問題，建立了彈丸膛內加速運動作用下身管的橫向振動方程；采用小參數法和迭代法，導出了彈丸連續沖擊作用下身管振動方程的近似解析解。針對彈丸有、無質偏兩種情形，結合試驗測得的彈丸加速度，對不同身管阻尼系數、發射間隔下炮口的振動特性進行了計算，研究表明：身管阻尼系數影響炮口彈丸沖擊響應的衰減速度；考慮彈丸質偏時，炮口振動幅度增大，振蕩次數增多。無間隔連續射擊作用下的炮口振動遠大于單發射擊情形，射擊精度呈下降趨勢；針對特定口徑身管，當發射間隔大于一定值后，連續射擊下炮口振動與單發射擊相同。建立的連續射擊過程彈丸膛內加速運動作用下身管振

動的動力學模型以及求解方法，適用于大、中、小口徑艦炮連續射擊時炮口的振動分析，對于確定火炮射擊速度與提高火炮射擊精度有重要意義。

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