計入熱梯度的圓環結構熱致振動分析

王 祥， 金棟平

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

大型空間結構在軌運行時，一旦進出地球陰影，結構會由于溫度驟變而受到熱沖擊作用，引起結構的熱變形、熱致振動等現象。1956年，Boley[1]首次研究了梁結構的熱致振動問題，提出了判斷結構發生熱致振動的參數。1969年，Yu[2]考慮端部帶有集中質量的懸臂梁模型，揭示了熱彎矩引起的熱顫振現象。1990年，美國哈勃太空望遠鏡(Hubble Space Telescope，HST)在進出地球陰影時太陽翼產生抖動，引發學者們對熱致振動的關注。1993年，Thornton等[3]采用簡化的梁模型分析了HST太陽翼非耦合與耦合情形下的熱-結構動力學響應。后來，丁勇等[4-5]發展了一種“Fourier溫度單元”，并用于HST太陽翼等空間結構的熱致振動分析。該單元通過增加節點自由度數，將薄壁桿件的二維溫度場問題轉化為一維溫度場問題，使溫度場和結構的分析得以在梁單元網格下進行。Li等[6]基于有限元模型和模態分析方法對空間結構熱致振動的穩定性問題進行了分析。最近，Zhang等[7-8]基于帶末端集中質量的懸臂梁模型，采用加權余量求近似解的方法，分析了懸臂梁結構的熱顫振穩定性。Shen等[9]建立了空間自旋航天器的熱-結構耦合模型，并采用基于絕對節點坐標的有限元方法分析了結構的動態響應。Guo等[10]采用有限元法分析了天線索網結構受極端熱載荷下的熱變形，但未考慮熱-結構之間的耦合效應。

大型空間可展開結構通常是由大量的梁、板、索網、運動副等組成的周期性結構，基于有限元方法的動力學模型自由度高達104～105，無法解釋參數對結構動力學本質的影響[11]。因而，通過周期性環形桁架結構的動力學等效模型來分析大型空間結構動力學行為成為一種有效途徑。例如，Salehian等[12]建立了直線式平面桁架周期單元的空間直梁等效力學模型，繼而分析了面內動態特性。劉福壽等[13-14]通過能量等效方法研究了環形桁架周期胞元結構的一維等效問題，獲得了一維連續體空間圓環等效模型，并推廣到索網結構的動力學等效建模，給出了結構的準確動力學特性。

本文基于大型空間環形桁架結構的動力學等效模型，通過考慮熱彎矩沿圓周方向的梯度分布，建立了熱-結構耦合動力學方程，分析了空間環形結構受到太陽輻射時的熱致振動穩定性問題，以期對大型空間結構的熱設計提供指導。

1 熱-結構耦合建模

考慮大型空間環形桁架結構等效力學模型的熱致振動問題，如圖1所示。該等效圓環結構的橫截面為質量密度為ρ的均質薄壁圓環，圓環中心半徑為R，表征環面的坐標為θ；薄壁圓環截面的中心半徑為r，環面周向坐標為φ，壁厚h。記太陽輻射為S0，S0與圓環橫截面法向夾角為βn、與橫截面夾角θn=π/2-βn、投影到橫截面的夾角為βr。建立固支于A處的定坐標系A-XYZ。

瞬態溫度分布基于如下假設：①僅考慮圓環結構與太空之間的輻射換熱；②橫截面為薄壁結構，忽略沿壁厚方向的溫差；③橫截面周向溫差相對橫截面平均溫度很小，忽略其高階小量。

圖1 太陽輻射下的圓環結構示意圖Fig.1 The equivalent mechanics model of a hoop structure subject to solar radiation

該空間圓環結構的溫度場T(θ,φ,t)滿足二維熱傳導問題，即

(1)

(2)

將式(2)代入式(1)，得

(3a)

(3b)

(3c)

式中：βn和βr與圓環結構相應位置及相應位置的彎曲撓度有關。

通過采用Fourier溫度單元法對圓環熱沖擊動響應進行數值仿真，發現該動響應主要呈現面外振動，為此忽略引起面內振動的熱彎矩。根據位移等效熱載荷的原理，可將熱彎矩MT(θ,t)表示成溫度場T(θ,φ,t)的形式

(4)

圖2 太陽輻射沿圓周的分量Fig.2 Solar radiation components along the circle

(5)

式中：SZ=S0cosθ0；SR=S0sinθ0(-sinθ)，θ0為太陽輻射S0與Z方向的夾角。

數值研究發現，空間圓環受熱沖擊引起的撓度很小。由于等效圓環結構細長，忽略剪切變形和繞Y′軸的轉動慣量后，圓環只有面外振動。描述粘性阻尼的圓環面外振動方程為[15]

(6)

(7)

(8)

式中：μ為黏性阻尼系數；Q(θ,t)、Mt和Mb分別為橫截面的剪力、扭矩和彎矩。

考慮熱彎矩MT的影響，則彎矩Mt與扭矩Mb、Z方向彎曲撓度v(θ,t)、扭轉角Ω(θ,t)之間的關系為

(9)

(10)

聯立求解式(6)～式(10)，可得計入熱效應的彎-扭耦合振動方程為

(11)

式中：G為剪切模量；J為橫截面關于形心O的極慣性矩。橫截面扭轉角Ω關于Z向彎曲撓度v的表達式為

(12)

根據圖1所示，A為圓環的固定端，B為圓環的最遠自由端，故圓環的邊界條件是

(13)

熱傳導式(3a)和式(5)、熱彎矩式(4)、面外振動式(11)共同組成等效圓環的熱-結構耦合方程組。

2 熱-結構耦合模型近似解

(14a)

(14b)

熱彎矩式(4)、面外振動式(11)保持不變。

假設Z向彎曲撓度的近似解為

v(θ,t)=V(t)N(θ)

(15)

式中：V(t)為Z方向位移分量，形函數N(θ)滿足邊界條件

N(-π)=0,N′(-π)=0

(16)

采用加權余量法時，N(θ)成為加權函數。對式(11)乘以加權函數，并在(-π,π)上積分，可得

(17)

將式(14c)、式(15)和式(16)代入式(17)，得

(18)

其中，

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

則將式(15)、式(24)和式(26)代入式(14b)之后，可得

(27)

(28)

3 穩定域分析

(29)

其中，

(30)

(31)

特征多項式為

s3+a2s2+a1s+a0=0

(32)

根據近似系統的穩定性判據，可以分析圓環結構的穩定域影響因素。由式(19)～式(22)可知，M與材料密度ρ、截面積A、圓環直徑R有關；C與黏性阻尼μ、圓環直徑R有關；K與彎曲剛度EI有關；An、Bn和Cn與材料的熱參數有關。在工程中，若設計一空間圓環結構，可將結構幾何參數和材料參數代入式(32)，判斷結構的穩定邊界，結構參數應遠離穩定域邊界，以避免出現過大的熱致振動現象。

4 算例研究

4.1 方法驗證

圓環結構半徑為5 m，有限元模型劃分為30段、每段5個梁單元，共計150個單元。材料參數選用HST太陽翼材料，結構幾何參數與材料參數如表1所示。

采用文獻[5]提出的“Fourier溫度單元”與結構有限元結合的方法對圓環熱沖擊進行數值仿真。為揭示變形對于熱致振動的影響，分別采用兩種材料的彈性模量，E=1 GPa和E=10 GPa。線膨脹系數均取αT=10-5K-1。根據式(31)，選擇圓環第1階面外振型的可行形函數作計算比較，即N(θ)=(1+cosθ)2/5+4(1+cosθ)/5。從圖3可見，該形函數與圓環的第1階面外振動模態的振型吻合很好。

表1 結構和材料參數

圖3 有限元模型1階模態與形函數對比Fig.3 Comparison between the first mode of FEM and shape function

圓環結構θ=-90°、θ=-30°、θ=0°截面處的平均溫度T0、周向溫差T1c的熱響應結果如圖4(a)和圖4(b)所示。

圖4 圓環結構熱響應Fig.4 Thermal response of circular ring structure

從圖4可見，圓環結構上的熱響應在θ上有一定的梯度，圓環不同位置的平均溫度T0隨時間的響應較慢，差異較小；周向溫差T1c隨時間的響應較快，并與結構振動耦合，其波動的大小與所處圓環結構的環向θ位置有關，符合式(28)的假設。

不同彈性模量對應的穩定域如圖5所示。選取圖5中的參考點a(0.000 1, -30°)、點b(0.000 5, -30°)和點c(0.001 5, -30°)，研究圓環受到熱沖擊時的動態響應，這里點a處于不穩定區域、點b處于E=1 GPa的穩定區域和E=10 GPa的不穩定區域、點c處于穩定區域。圖6給出了對應于這些參考點的最遠端B在Z軸向的響應。從圖6(a)可見，對應于材料E=1 GPa和E=10 GPa的響應發散；從圖6(b)可見，對應于材料E=1 GPa的響應收斂、對應于E=10 GPa的響應發散；從圖6(c)可見，對應于材料E=1 GPa和

E=10 GPa的響應均收斂。上述結果與圖5的穩定域分析結果相一致。

圖5 不同彈性模量的穩定域Fig.5 Stable regions of circular ring model for different elasticity modulus

圖6 Fig.6 Thermally induced vibrations for reference points

4.2 參數對穩定域的影響

通過改變圓環結構的截面半徑r、材料線熱膨脹系數αT，以及材料表面太陽輻射吸收率αs，可以獲得穩定域邊界的變化，如圖7～圖9所示。從圖7～圖9可見，截面半徑、熱膨脹系數及太陽輻射吸收率越小，結構熱致振動的穩定域越大，尤其是截面半徑的減小對于穩定域的擴大效果明顯。

工程設計時，可選擇較細的桿件、較小熱膨脹系數材料，通過熱涂層降低材料的輻射吸收率等途徑來抑制熱致振動出現顫振的問題。

圖7 不同截面半徑的穩定邊界Fig.7 Stable boundary for different radius

圖8 不同線熱膨脹系數的穩定邊界Fig.8 Stable boundary for different coefficients of thermal expansion

圖9 不同太陽輻射吸收率的穩定邊界Fig.9 Stable boundary for different absorption rates of solar radiation

5 結 論

大型空間結構在熱沖擊載荷作用下易出現較大的熱致振動，基于動力學等效方法的圓環模型能夠用來預測結構的熱致動態響應。本文考慮圓環熱-結構耦合并計入熱彎矩沿圓環圓周上的梯度，采用加權余量法獲得了熱致振動近似解及穩定域。數值結果表明，減小截面尺寸和熱膨脹系數、減低材料輻射吸收率，可以增大穩定域并抑制熱致振動。

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