考慮摩擦力矩和含間隙變化剛度的雙質量飛輪非線性振動研究

曾禮平， 陳齊平， 宋立權

(1. 華東交通大學 機電與車輛工程學院，南昌 330013； 2. 重慶大學 機械工程學院，重慶 400044)

傳統的從動盤式扭振減振器越來越難以滿足人們對汽車舒適性、減振和降噪的要求。在二十世紀八十年代，LuK公司提出了雙質量飛輪，用于代替傳統的從動盤式扭振減振器。雙質量飛輪能夠有效緩解汽車傳動系中發動機端輸入的扭轉振動，降低傳動系的沖擊，實現對發動機和變速箱的過載保護，以及能使發動機在非常低的轉速下運行從而降低燃油消耗[1-4]。由于雙質量飛輪具有優越的減振性能，越來越多的汽車用雙質量飛輪取代傳統從動盤式扭振減振器。對雙質量飛輪的研究主要集中在以下幾個方面：彈簧減振器的設計[5-10]，扭振模型的建立和減振性能分析[11-15]，提高雙質量飛輪性能[16-18]，試驗分析以及試驗平臺的搭建和研究[19]等。

宋立權等提出了基于形狀約束的非線性扭矩特性的周向短彈簧雙質量飛輪，提高了在大扭轉角下的反抗轉矩。由于加工和裝配存在一定的空轉角，飛輪轉過空轉角時，彈簧座和次級飛輪之間存在沖擊問題。在初級飛輪與次級飛輪之間加入的摩擦軸承塊，一方面使摩擦軸承塊起到軸承支撐作用；另外，在摩擦軸承塊軸向施加一定的預緊力，所產生摩擦力矩可以緩解雙質量飛輪轉過空轉角時產生沖擊。而且，摩擦軸承塊與次級飛輪接觸面間阻礙相對運動的摩擦力矩與相對運動速度的方向相反，能起到摩擦阻尼的作用。這種存在摩擦力矩作用和含間隙分段變化剛度的雙質量飛輪，其動力學特性具有非線性特征。

由于多自由度非線性系統的復雜性，對雙質量飛輪振動特性的理論研究一般是將搭載雙質量飛輪的汽車傳動系簡化為線性系統，對系統的固有頻率特性和強迫振動進行分析，如劉圣田[20]以國產某中型柴油載貨汽車為研究對象，建立了兩個多自由度怠速扭振系統計算分析對比模型，分析了雙質量飛輪式扭振減振器對汽車怠速振動與噪聲控制的影響。或者是針對雙質量飛輪本身的非線性特征展開研究，如史文庫等在長弧形彈簧雙質量飛輪結構的基礎上，提出了三級剛度雙質量飛輪的創新設計，討論了多級非線性雙質量飛輪的各個參數的選取原則，Schaper等考慮摩擦、慣性力的影響，建立了長弧形螺旋彈簧的非線性轉矩特性的分析模型。而考慮雙質量飛輪中的非線性因素，對搭載雙質量飛輪的汽車動力傳動系的非線性動力學方面的研究還很少。本文考慮雙質量飛輪非線性因素的影響，對搭載雙質量飛輪的汽車動力傳動系統非線性頻率特性進行了分析，并探討了激勵振幅、摩擦力矩和空轉角等參數對系統非線性頻率特性的影響規律。

1 雙質量飛輪結構及工作原理

所研究的雙質量飛輪主要由初級飛輪、次級飛輪、彈簧座、減振彈簧、摩擦軸承塊、軸承內圈等6個部分構成，如圖1所示。起減振作用的彈簧2通過兩個彈簧座1和3置于初級飛輪7的兩個凸緣之間，軸承內圈6與初級飛輪通過螺栓相聯，摩擦軸承塊5置于軸承內圈與次級飛輪4之間，初級飛輪與發動機輸出聯接，次級飛輪與離合器相聯。圖2為雙質量飛輪實物圖。

1、3-彈簧座；2-減振彈簧；4-次級飛輪； 5-摩擦軸承塊；6-軸承內圈；7-初級飛輪圖1 雙質量飛輪結構示意圖Fig.1 A schematic plot of the DMF

1、3-彈簧座；2-減振彈簧；4-次級飛輪； 5-摩擦軸承塊；6-軸承內圈；7-初級飛輪圖2 雙質量飛輪實物Fig.2 Material object of the DMF

圖3為搭載雙質量飛輪的汽車動力傳動系統示意圖，雙質量飛輪工作過程中，發動機帶動初級飛輪轉動，初級飛輪壓縮減振彈簧，運動和動力傳遞到次級飛輪，最后輸入到變速箱。

1-發動機曲軸；2-雙質量飛輪；3-離合器； 4-變速器；5-差速器；6-驅動輪圖3 搭載雙質量飛輪的汽車動力傳動系示意圖Fig.3 Schematic diagram of vehicle transmission equipped with DMF

車輛傳動系統中，離合器多級剛度特性、齒輪間隙、換擋過程動力變化等因素引起的沖擊，對動荷載和系統的動態特性產生不良影響，會加劇振動和噪聲，并降低零部件使用壽命，甚至產生安全隱患[21-23]。在雙質量飛輪工作的初始階段(空轉角范圍)，彈簧座與次級飛輪沒有相互作用，彈簧沒有壓縮，如圖4(a)所示，初級飛輪帶動軸承內圈轉動，并通過摩擦軸承塊與次級飛輪之間的軸向預緊力產生的摩擦力矩作用減小沖擊。當初級飛輪轉過空轉角度β，如圖4(b)所示，彈簧座與次級飛輪接觸，置于兩個彈簧座之間的彈簧壓縮，彈簧作用力推動次級飛輪轉動，使發動機動力經過雙質量飛輪輸入到變速箱。

圖4 初級飛輪與次級飛輪相對運動Fig.4 The relative motion of the primary flywheel and the secondary flywheel

2 系統扭振模型

為研究搭載雙質量飛輪的汽車傳動系的動態特性，簡化并建立圖3所示的傳動系對應的扭振分析模型，如圖5所示，圖中J1為發動機曲軸、初級飛輪、摩擦軸承塊組合轉動慣量，J2為次級飛輪、傳動系轉動慣量，J3為變速器、差速器等傳動系統部件和車輪的等效轉動慣量。與前兩部分的轉動慣量J1和J2相比，轉動慣量J3非常大，根據文獻[24-25]，在對系統進行振動分析時，將J3看成是無窮大。θ1和θ2分別為轉動慣量J1和轉動慣量J2的轉角，f(θ1,θ2)為初級飛輪與次級飛輪之間非線性作用力，k、c分別為地面對車輛作用的阻尼和剛度。T為發動機端輸入簡諧激勵扭矩，Mf為在摩擦軸承塊與次級飛輪之間軸向預緊作用產生的摩擦力矩。

圖5 簡化后的汽車傳動系扭振模型Fig.5 Simplified vibration model of vehicle transmission

簡化后系統扭振微分方程為

式中：T=Tpsinωt，Tp為簡諧激勵振幅，ω為激振頻率，t為時間;sgn為符號函數。

本文研究的單級剛度雙質量飛輪具有含間隙變化剛度的特性，并且初級飛輪與次級飛輪的相對扭轉角在增大及減小兩種運動趨勢下，轉矩特性也不同，如圖6所示，相對轉角增加時，彈簧減振器作用的等效剛度為ka，相對轉角減小時為kb。將彈簧減振器產生的非線性作用力簡化用式(2)表示

(2)

式中：kd=(ka+kb)/2;kr=(ka-kb)/2;θ=θ1-θ2，為初級飛輪與次級飛輪的相對轉角;β為空轉角。

圖6 雙質量飛輪彈性元件轉矩傳遞特性Fig.6 Elastic elements torque transmission characteristic of the DMF

3 非線性頻率特性近似解析解

為求解非線性方程式(1)，采用平均法[26]將以位移為未知量的振動方程，化成以振幅、相位為未知量的標準方程組，令

(3)

式(2)變為f(θ)=kdθ+g(θ)，并將此式代入式(1)中，得到

(4)

(5)

將式(5)中阻尼力、彈性力的非線性部分、摩擦力矩和輸入激勵等項前乘于小參數ε

(6)

(7)

計算得到式(7)的派生方程的固有頻率為

(8)

對典則方程式(7)采用變換

(9)

式中：Ai為振幅，φi為相位，兩者都為時間的函數；Gsi為變換函數，s=1 ～4，i=1 ～2。

當dφi/dt=ωni時，函數Gsi(φi)為式(7)的派生方程的特解。當Ai為常數且dφi/dt=ωni時，式(9)為式(7)的派生方程通解。

式(7)變換后得到標準方程

(10)

對方程式(10)進行KB變換

(11)

并要求式(11)中的新變量yi，ηi的導數為

將式(11)代入式(10)中，并考慮到式(12)的ε一次方系數相等，可以得到

(13)

為了使函數Yi和Zi不顯含時間t

(14)

通過分析發現相對于系統的一階固有頻率ωn1區域的共振響應幅值A1，系統的二階固有頻率ωn2區域的共振響應幅值A2要小得多，因此，本文只對系統的一階固有頻率ωn1共振區域的頻率特性進行分析，令i=1，取θ=A1cosφ1。

①當相對轉角振幅A1≥β時，由式(14)經推導計算得到

(15)

其中，

(16)

只考慮式(12)中ε的一次項，并由式(11)和式(15)得到確定一次近似的方程

(17)

令式(17)右端等于零，推導得到共振曲線的幅值A1與激勵頻率ω的關系和對應相頻函數η1為

(18)

其中，

(20)

式中：pe為等效線性固有頻率方程即共振曲線的骨干方程，共振曲線的幅頻函數ω關于骨干方程pe對稱。

②同理，當相對轉角振幅A1≤β時，共振曲線的幅頻函數ω對應相頻函數η1按式(19)計算，此時，pe和qe的表達式為

(21)

qe=C1A1+2C2Mf

(22)

4 實例計算與分析

對搭載在汽車傳動系上與某款2.0 L發動機匹配的雙質量飛輪進行分析，該雙質量飛輪的空轉角度為β=4°，相對轉角在空轉角范圍內時，初級飛輪與次級飛輪之間的等效剛度為0 N·m/°，當相對轉角大于空轉角后，相對轉角分別在增大和減小時的等效扭轉剛度為ka=11.5 N·m/°和kb=9 N·m/°，摩擦力矩Mf=7 N·m。簡化后整車動力傳動系統模型的參數為：發動機曲軸、初級飛輪、摩擦軸承塊組合等效轉動慣量J1=0.15 kg·m2，次級飛輪、傳動系組合等效轉動慣量J2=0.055 kg·m2，地面對車輛作用的阻尼c=0.63 N·m·s/rad，地面對車輛作用的剛度k=3 000 N·m/°。通過數值計算得到系統穩態頻率響應的近似解析解。

4.1 頻率特性的跳躍現象

圖7為激勵振幅Tp=20 N·m時雙質量飛輪相對轉角θ的頻率特性曲線，由于雙質量飛輪存在軸向預緊力所產生的摩擦力矩和含間隙變化剛度的非線性因素，在雙質量飛輪扭轉角轉過空轉角前和轉過空轉角后，系統的剛度發生明顯變化，搭載雙質量飛輪的汽車動力傳動系統頻率響應曲線具有多值性，即在某一激勵頻率下，在系統頻率特性曲線上存在跳躍現象[27-29]。

圖7 Tp=20 N·m時相對轉角θ的頻率特性上的跳躍Fig.7 Jumping phenomenon of amplitude-frequency characteristics of respective angle θ with Tp=20 N·m

圖7(a)所示的幅頻特性中，pe為共振曲線骨干線。由于骨干方程為常數(式(21))，骨干線在振幅小于空轉角時的直線，而振幅大于空轉角后，骨干方程為振幅的非線性函數，而振幅又與頻率存在非線性的關系(式(18)～式(20))，在振幅大于空轉角后隨著頻率的變化，骨干方程為曲線，幅值響應曲線向右側彎曲。隨著激勵頻率逐漸增大，即由低到高掃頻時，振幅從A點經過B和C點沿幅頻特性曲線連續變化到最高點D點，再增大頻率時，振幅從D點突然降至E點并沿曲線的下半分支向H點方向移動。若激勵頻率從較大值緩慢減小時，即由高到低掃頻時，幅值從H點經過E點連續變化至I點，再減小頻率，幅值從I點(幅值等于空轉角β)突然跳躍到C點，頻率繼續減小，幅值從C點經過B點向A點方向連續變化，并且返回過程的跳躍總是落后于前進過程的跳躍。這與LuK公司對分段變剛度扭振減振器進行分析時，得到的理論和試驗非線性特性結果[30]基本吻合。另外，相對轉角的相頻特性也存在類似的跳躍現象，如圖7(b)所示。

4.2 激勵振幅Tp對頻率特性的影響

圖8為激勵振幅Tp分別取12 N·m、20 N·m、60 N·m和150 N·m時相對轉角θ的幅頻特性，不同激勵振幅具有相同的共振骨干線，但所對應的共振區域差別很大，激勵幅值越大，同一頻率下的響應振幅也越大，共振頻帶變寬。摩擦力矩和含間隙變化剛度因素對激勵振幅較小時系統的幅頻特性影響較大，幅頻特性曲線向右側彎曲明顯，而對外界激勵振幅較大時的影響減緩，整體幅頻特性趨于線性系統的狀態。

圖8 不同激勵振幅Tp下的幅頻特性Fig.8 Amplitude-frequency characteristics with different Tp

4.3 摩擦力矩Mf對頻率特性的影響

圖9為輸入激勵Tp=20 N·m，分別取摩擦力矩Mf為0 N·m、12 N·m和16 N·m時的相對轉角θ幅頻特性。不同摩擦力矩Mf所對應的相對轉角θ幅頻特性曲線具有相同的骨干線，但同一頻率所對應的振幅不同，并隨著Mf的增大，整體幅值減小，共振頻帶變窄，因此，增大摩擦力矩有利于降低初級與次級飛輪相對扭轉的振動和減緩空轉角時彈性元件與飛輪間的沖擊。但由于零部件間的摩擦會使能量耗散，汽車正常行駛過程中，過大的摩擦力矩會增加燃油消耗并加劇零部件間的磨損和使用壽命，因此，摩擦力矩不宜過大。

圖9 不同軸向摩擦力矩Mf下的幅頻特性Fig.9 Amplitude-frequency characteristics with different Mf

4.4 空轉角β對頻率特性的影響

空轉角β分別取0°、4°和8°時的相對轉角幅頻特性如圖10所示，不同空轉角下的幅頻特性曲線具有不同的共振骨干線，所對應的共振區域不同，當空轉角β=0°時，幅頻特性不會出現跳躍現象，隨著空轉角增大，整體振幅變大，共振頻率骨干線向左彎曲，即共振頻率減小，幅頻響應曲線在空轉角對應的位置向右側彎曲。增大空轉角有利于降低系統一階共振頻率，這可以使發動機能在更低的怠速轉速下運行，以降低燃油消耗，但相對轉角的振動幅值會增大。由于加工和裝配等因素，空轉角不能避免，在設計雙質量飛輪時，須綜合考慮搭載該雙質量飛輪的汽車其他參數，以達到最佳減振效果。

圖10 不同空轉角β下的幅頻特性Fig.10 Amplitude-frequency characteristics with different β

5 結 論

本文考慮雙質量飛輪中存在的摩擦力矩作用和含間隙變化剛度的非線性因素，采用平均法對搭載雙質量飛輪的汽車動力傳動系扭振的非線性近似解析解進行了推導，并對系統的非線性頻率特性進行了分析，結果表明：

(1)由于雙質量飛輪中的摩擦力矩和含間隙變化剛度等非線性因素，搭載雙質量飛輪的傳動系統的扭轉振動具有明顯的非線性特性，頻率特性曲線及其骨干線存在彎曲現象，并呈現出跳躍特征。

(2)增大摩擦力矩可使系統扭振振幅減小和減緩空轉角引起的彈性元件與飛輪間的沖擊。

(3)減小空轉角能有效地降低系統扭振振幅，但減小空轉角會使共振頻率骨干線向右偏移，共振頻率增大，對應的系統共振轉速會提高，這也要求發動機的怠速轉速也應提高以減緩怠速時的振動。

[ 1 ] FIDLIN A, SEEBACHER R. DMF simulation techniques-finding the needle in haysack [C]∥. 8th LuK Symposium. Bühl:Luk Press, 2006: 55-71.

[ 2 ] KANG T S, KAUH S K, HA K P. Development of the displacement measuring system for a dual mass flywheel in a vehicle[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part D: Journal of Automobile Engineering, 2009, 223(10): 1273-1281.

[ 3 ] SANGUE S, LEPOINT G, LE BOURNAULT T. New approach to measure instantaneous angular behavior of a dual mass flywheel[C]∥Seoul 2000 World Automotive Congress. Seoul: ISICE, 2000: 12-15.

[ 4 ] THEODOSSIADES S, GNANAKUMARR M, RAHNEJAT H, et al. Effect of a dual-mass flywheel on the impact-induced noise in vehicular powertrain systems[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part D: Journal of Automobile Engineering, 2006, 220(6): 747-761.

[ 5 ] 史文庫，龍巖，盧玉東．多級非線性雙質量飛輪參數設計和優化[J]．振動與沖擊，2009，28(25)：92-96．

SHI Wenku, LONG Yan, LU Yudong. Study on multistage non-linear dual mass flywheel damper[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(5): 92-96.

[ 6 ] 李光輝，胡建軍，秦大同．徑向彈簧型雙質量飛輪扭轉減振器扭振固有特性研究[J]．中國機械工程，2008，19(15)：1800-1805．

LI Guanghui, HU Jianjun, QIN Datong. Study on natural torsional vibration characteristics of dual mass flywheel-radial spring type torsional vibration damper[J]. China Mechanical Engineering, 2008, 19(15): 1800-1805.

[ 7 ] 呂振華，陳濤．雙體飛輪-周向彈簧型扭振減振器彈性特性設計研究[J]．汽車工程，2006，28(1)：73-77．

Lü Zhenhua, CHEN Tao. Design of the elastic characteristics of torsional damper with double mass flywheel and circumferential spring[J]. Automotive Engineering, 2006, 28(1): 73-77.

[ 8 ] 李以農，錢新建，孫偉．弧形螺旋彈簧動態負載特性仿真分析研究[J]．中國機械工程，2012，23(2)：155-160．

LI Yinong, QIAN Xinjian, SUN Wei. Simulation and study on dynamic load characteristics of arc spring[J]. China Mechanical Engineering, 2012, 23(2): 155-160.

[ 9 ] 黃正，陳德民，王丹杰，等．雙質量飛輪的弧形彈簧設計及仿真分析[J]．裝甲兵工程學院學報，2009，23(4)：31-35．

HUANG Zheng, CHEN Demin, WANG Danjie, et al. Design and simulation analysis on arc helix spring of dual mass flywheel[J]. Journal of Academy of Armored Force Engineering, 2009, 23(4): 31-35.

[10] 呂振華，吳志國，陳濤．雙質量飛輪-周向短彈簧型扭振減振器彈性特性設計原理及性能分析[J]．汽車工程，2003，25(5)：493-497．

Lü Zhenhua, WU Zhiguo, CHEN Tao. The design principles and performance analysis of DMF-CSS torsional damper[J]. Automotive Engineering, 2003, 25(5):493-497.

[11] SCHAPER U, SAWODNY O, MAHL T, et al. Modeling and torque estimation of an automotive Dual Mass Flywheel[C]∥American Control Conference.St.Louis,MO: IEEE, 2009: 1207-1212.

[12] 趙光明，江征風，陳雷，等．周向長弧形彈簧雙質量飛輪阻尼特性研究及其試驗驗證[J]．內燃機工程，2012，33(1)：81-86．

ZHAO Guangming, JIANG Zhengfeng, CHEN Lei, et al. Research and experimental verification on damping characteristics of circumferential arc spring dual mass flywheel[J]. Chinese Internal Combustion Engine Engineering, 2012, 33(1): 81-86.

[13] KIM T H, SONG H L, HWANG S H, et al. Analysis of dual mass flywheel using discrete arcspring model[J]. Key Engineering Materials, 2006, 326: 1607-1610.

[14] WALTER A, LINGENFELSER C, KIENCKE U, et al. Cylinder balancing based on reconstructed engine torque for vehicles fitted with a dual mass flywheel (DMF) [J]. SAE Technical Paper, 2008,1(1):810-819.

[15] 宋立權，趙孝峰，何澤海，等．引入摩擦的周向短彈簧汽車雙質量飛輪分析模型及扭振固有特性[J]．機械工程學報，2009，45(11)：99-105．

SONG Liquan, ZHAO Xiaofeng, HE Zehai, et al. Analysis model and inherent characteristics of torsional vibration of the dual mass flywheel-circumferential short spring introduced friction[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009, 45(11):99-105.

[16] SONG L Q, ZENG L P, ZHANG S P, et al. Design and analysis of a dual mass flywheel with continuously variable stiffness based on compensation principle[J]. Mechanism and Machine Theory, 2014, 79:124-140.

[17] 宋立權，李亮，尹玉明，等．基于形狀約束的雙質量飛輪設計理論研究[J]．機械工程學報，2012，48(1)：111-118．

SONG Liquan, LI Liang, YIN Yuming, et al. Study on design theory of dual mass flywheel based on shape constraint[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(1):111-118.

[18] 宋立權，周建東，吳榮華，等．摩擦式雙級分段變剛度汽車雙質量飛輪設計理論研究及應用[J]．機械工程學報，2012，48(15)：150-157．

SONG Liquan, ZHOU Jiandong, WU Ronghua, et al. Research and application on design theory of friction dual mass flywheel with double-stage piecewise variable stiffness[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(15): 150-157.

[19] 吳飛，毛恒．雙質量飛輪傳動軸系扭振模擬試驗臺研究[J]．武漢理工大學學報，2010，32(15)：758-761．

WU Fei, MAO Heng. Dual mass flywheel torsional vibration test-bed[J]. Journal of Wuhan University of Technology, 2010, 32(5): 758-761.

[20] 劉圣田．雙質量飛輪式扭振減振器對振動的控制分析[J]．農業機械學報，2004，35(3)：16-19．

LIU Shengtian. Influences of a dual-mass flywheel damper on idling vibration[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2004, 35(3): 16-19．

[21] YOON J Y, KIM B. Gear rattle analysis of a torsional system with multi-staged clutch damper in a manual transmission under the wide open throttle condition[J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2016, 30(3): 1003-1019.

[22] 馮文杰，袁小麗，陳瑩瑩，等．AMT換擋沖擊控制策略的優化方案[J]．四川兵工學報，2014，35(11)：110-113．

FENG Wenjie, YUAN Xiaoli, CHEN Yingying, et al. Optimization scheme of AMT shift impact control strategies[J]. Journal of Sichuan Ordnance, 2014, 35(11): 110-113.

[23] 吳志強，雷娜．分段線性系統的振動性能分析[J]．振動與沖擊，2015，34(18)：94-99．

WU Zhiqiang, LEI Na. Vibration performance analysis of piecewise linear system[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(18): 94-99.

[24] DUAN C, SINGH R. Transient responses of a 2-dof torsional system with nonlinear dry friction under a harmonically varying normal load[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 285(4):1223-1234.

[25] CROWTHER A R, ZHANG N. Torsional finite elements and nonlinear numerical modeling in vehicle powertrain dynamics[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 284(3/4/5): 825-849.

[26] 陳予恕．非線性振動[M]．天津：天津科學技術出版社，1983：154-194．

[27] 賈尚帥，孫舒，李明高．基于諧波平衡法的雙穩態壓電發電系統非線性振動特性研究[J]．振動與沖擊，2014，33(6)：170-173．

JIA Shangshuai, SUN Shu, LI Minggao. Non-linear vibration analysis of bistable piezoelectric power generation system based on harmonic balance method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(6): 170-173.

[28] 張琪昌，任環，韓建鑫．時滯控制下的微梳狀驅動器動力學研究[J]．振動與沖擊，2016，35(18)：40-45．

ZHANG Qichang, REN Huan, HAN Jianxin. Nonlinear dynamics of folded-MEMS comb drive resonators with time-delayed control[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(18): 40-45.

[29] 劉延柱，陳立群．非線性振動[M]．北京：高等教育出版社，2001：57-62．

[30] REIK W. Torsional vibrations and transmission noise[C]∥LuK Clutch Symposium.Bühl:Luk Press, 1986: 37-43.