核心素養(yǎng)視角下的《一元二次方程》的教學(xué)

☉江蘇無錫市梅梁中學(xué) 儲(chǔ)東花 周曉蘭

剛頒布的新課標(biāo)將數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)人應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)，新課標(biāo)修訂組負(fù)責(zé)人王尚志教授認(rèn)為在整個(gè)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)處于中心地位.“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是數(shù)學(xué)學(xué)科六個(gè)核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題，包括掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法等.初中階段，教材安排了許多的運(yùn)算內(nèi)容，如數(shù)的運(yùn)算、式的運(yùn)算、解方程等.運(yùn)算是推理的基礎(chǔ)，運(yùn)算能力對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說起到了基石性的作用.沒有運(yùn)算能力的支撐，學(xué)好數(shù)學(xué)是一句空話.筆者認(rèn)為運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展應(yīng)貫穿于師生共同參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過程中，應(yīng)伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和深化，從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象，有層次的發(fā)展.下面筆者結(jié)合“一元二次方程”的教學(xué)談?wù)勅绾翁岣邔W(xué)生的運(yùn)算能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

一、正確理解數(shù)學(xué)概念是發(fā)展運(yùn)算素養(yǎng)的前提

概念是思維的基本形式，數(shù)學(xué)概念則是客觀事物中數(shù)和形的本質(zhì)屬性的反映，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是本學(xué)科的精髓、靈魂，是逐步形成運(yùn)算技能、發(fā)展運(yùn)算素養(yǎng)的前提.

【教學(xué)片段】一元二次方程的解法

師：什么叫一元二次方程？

生：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

師：根據(jù)一元二次方程的概念，在解一元二次方程時(shí)，有哪些解題策略？

生：因?yàn)樗c一元一次方程相比，是未知數(shù)的次數(shù)高了，所以要“降次”，通常采用直接開平方法和因式分解法達(dá)到“降次”的目的.

師：你能說具體些嗎？

生：例如解方程x2-5=0，用直接開平方法得x1=x2=-

師：為何有兩個(gè)解？

生：由x2=5，根據(jù)平方根的定義可知，x是5的平方根.因?yàn)橐粋€(gè)正數(shù)有2個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，所以方程有兩個(gè)解.

師：根據(jù)平方根的概念，你還能得出別的結(jié)論嗎？

生：如果x2=-5，那么方程無解，如果x2=0，那么方程有兩個(gè)相等的解.因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，0的平方根是0.

師：真棒！你又如何理解因式分解法呢？以方程x2-5x=6為例說明.

生：解：x2-5x=6，x2-5x-6=0，（x-6）（x+1）=0，則x-6=0或x+1=0.

故x1=6，x2=-1.

生：因式分解法就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，所以方程的左邊是積的形式，那么方程的右邊一定是0，所以先把方程變形，這樣可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程；如果右邊不是0，就要分無數(shù)種情況討論.

師：一元二次方程的“二次”還體現(xiàn)在哪里嗎？

生：“二次”體現(xiàn)在它的解，若有解，就有兩個(gè)解.

師：本題給我們什么啟發(fā)嗎？

生：一元一次方程若有解通常是一個(gè)解，一元二次方程若有解是兩個(gè)，我想假如是一元三次方程，若有解，就有三個(gè)解.

師：你的想象力真豐富.

在以上教學(xué)片段中，教師引導(dǎo)學(xué)生理解一元二次方程的概念的內(nèi)涵和外延，并揭示解一元二次方程的思想方法和解題方法.

二、靈活運(yùn)用法則是提升運(yùn)算素養(yǎng)的手段

“正確、迅速、靈活”是衡量運(yùn)算能力的三個(gè)指標(biāo).運(yùn)算是一種技能，運(yùn)算技能需要運(yùn)算的法則做支撐，按程序操作，因此，需要教師帶領(lǐng)學(xué)生明晰運(yùn)算法則，進(jìn)行合理運(yùn)算.在一元二次方程的教學(xué)中，可以運(yùn)用對(duì)比的手段讓學(xué)生感悟，扎扎實(shí)實(shí)地落實(shí)每個(gè)運(yùn)算法則，培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng).

【教學(xué)片段】師：請(qǐng)大家回顧解一元二次方程的方法有哪些？

生：直接開平方法，因式分解法，配方法，公式法.

師：為了方便解答，我們分別標(biāo)記為：A←→直接開平方法，B←→因式分解法，C←→配方法，D←→公式法.

如何解下列方程？①4x2-5=0，②x2-5x+6=0，③x2-6x-1=0，④x2-x-1=0.

（幾分鐘后）

生1：第①個(gè)方程：A、B、C、D四種解法都可以，但直接開平方法和因式分解法簡單.

生2：我發(fā)現(xiàn)，能用直接開平方法的就一定可以用因式分解法.

師：你真善于思考！

生3：第②個(gè)方程可以用B、C、D，但B最簡單.

生4：第③個(gè)方程，可以用C、D，說不上哪種方法簡單，但第④個(gè)方程雖然C、D都可以，但D更簡便.

師：為什么？

生4：因?yàn)榉匠挞鄱雾?xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)，這樣配方時(shí)不會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，使得計(jì)算簡便，而④如果用配方法就出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，計(jì)算明顯復(fù)雜，所以用公式法快，計(jì)算簡便.

師：讓我們再歸納、比較這四種解法.

生5：A、B解法簡便，但不是萬能的，而C、D適合任何一個(gè)一元二次方程，但解法復(fù)雜，容易計(jì)算錯(cuò)誤，所以，能用A、B的就不用C、D.

在實(shí)施運(yùn)算的過程中，要分析運(yùn)算的條件，選擇運(yùn)算方法，進(jìn)行對(duì)比、優(yōu)化，力求使運(yùn)算符合算理，達(dá)到正確熟練、靈活、簡潔，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算思維的優(yōu)化及運(yùn)算能力的逐步提高.

三、弄清算理是發(fā)展運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)鍵

運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展不僅包括運(yùn)算技能的逐步提高，還應(yīng)包括運(yùn)算思維的提升和發(fā)展.在一元二次方程的內(nèi)容中，“課標(biāo)”設(shè)置了“能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程”等內(nèi)容，不僅要學(xué)習(xí)和掌握解一元二次方程的運(yùn)算方法，更要思考和領(lǐng)悟解一元二次方程的算理.在反復(fù)操練、相互交流的過程中，不僅會(huì)逐步形成運(yùn)算技能，還會(huì)引發(fā)對(duì)“怎么算得好？”“為什么要這樣算？”等一系列問題的思考.這是由法則到算理的思考，是運(yùn)算從操作層面提升到思維層面，這是運(yùn)算發(fā)展的重要內(nèi)容.

【教學(xué)片斷】師：昨天我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的概念，請(qǐng)說出它的一般式.

生1：ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c是常數(shù)）

師：很好，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，今天我們要研究什么呢？

生（眾）：解一元二次方程.

教師板書課題，并出示下列一元二次方程：①x2-4=0，②x2-4x=0，③x2-4x+4=0，④x2-5x+6=0，⑤x2-5x-1=0.

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察以上5個(gè)一元二次方程，把你認(rèn)為會(huì)做的解答在練習(xí)本上.

10分鐘后統(tǒng)計(jì)結(jié)果：第①題，知道解的有95%；第②題，知道解的有70%；第③題，知道解的有60%；第④題，知道解的有10%；第⑤題，知道解的0%.

師：請(qǐng)問第①題如何解的？

生2：移項(xiàng)得x2=4，所以x=±2.

師：你為什么要移項(xiàng)？

生2：因?yàn)椋ā?）2=4，所以x=±2.

師：±2是4的平方根，也就是對(duì)4開平方，所以這種解法叫直接開平方法.

通常，把x=±2寫成x1=2，x2=-2，還有其他解法嗎？

生3：我原來是想把方程x2-4=0寫成（x+2）（x-2）=0，再往下就不會(huì)了.現(xiàn)在看到方程的解是x1=2，x2=-2，給我啟發(fā)：（x+2）（x-2）=0可得x+2=0或x-2=0.

所以x1=2，x2=-2.

師：真聰明！請(qǐng)說說你的解法.

生3：第一步通過因式分解把方程化成A·B=0，即A=0或B=0，再分別解兩個(gè)新的方程A=0和B=0.

師：這兩個(gè)新方程是什么方程？

生3：一元一次方程.

師：請(qǐng)?zhí)釤捘愕慕忸}思路.

生3：一元二次方程因式分解成兩個(gè)一元一次方程.

師：回顧我們已學(xué)過的二元一次方程組、分式方程的解法.

生4：二元一次方程組通過加減消元或代入消元轉(zhuǎn)化成一元一次方程，分式方程通過去分母轉(zhuǎn)化成一元一次方程.

生5：哦，我明白了.原來一元一次方程是其他所有方程的根源，任何方程都要化成一元一次方程.

師：這就是我們數(shù)學(xué)上最重要的化歸思想.經(jīng)過剛才一段探究學(xué)習(xí)，請(qǐng)大家重新來思考第③④小題.（幾分鐘后）

師：現(xiàn)在會(huì)做的請(qǐng)舉手（課堂反饋：約85%）.

生6：x2-4x+4=0，（x-2）2=0，x=2.

師：注意方程的解的正確寫法，因?yàn)椋▁-2）2=（x-2）（x-2），所以x-2=0或x-2=0，所以應(yīng)寫成x1=x2=2.

生7：x2-5x+6=0，（x-2）（x-3）=0，所以x-2=0或x-3=0，所以x1=2或x2=3.

師：請(qǐng)大家思考：解方程x2-x=6.

生8：x2-x=6，x（x-1）=6.所以x1=3，x2=-2.

師：對(duì)這位同學(xué)的解法有什么想法嗎？

生9：由x（x-1）=6為什么就可以解出x1=3，x2=-2.

生8：我是湊出來，因?yàn)?×3=6，所以只能x=3，x-1=2，

同理（-2）×（-3）=6，所以只能x=-2，x-1=-3.

生10：x2-x-6=0，（x-3）（x+2）=0，所以x1=3，x2=-2.

師：這位同學(xué)還是湊出來的嗎？

眾生：不是了.

師：湊與不湊關(guān)鍵在哪里？

生9：右邊必須是零.

師：真好！請(qǐng)大家注意因式分解法化歸到的重要模型是A·B=0.

生：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到方程求解的基本思路——多元化一元，高次化低次.

師：對(duì)，其實(shí)我們解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)核心：未知化已知.笛卡爾在《思維的法則》中設(shè)計(jì)了一種能解決各種問題的“萬能方法”的模型：（1）把任何問題化為數(shù)學(xué)問題；（2）把任何數(shù)學(xué)問題化為一個(gè)代數(shù)問題；（3）把任何一個(gè)代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個(gè)方程問題.縱然我們大數(shù)學(xué)家的“萬能方法”不可能是萬能的，有偏頗之嫌.但不可諱言，透射出的方程思想確實(shí)非同凡響，這節(jié)課我們觸摸了方程體系的整體魅力，領(lǐng)悟了一種解決問題的思想：化歸思想.

本案例中教師有針對(duì)性的挑選，保證學(xué)生的開放與教師的預(yù)設(shè)有機(jī)統(tǒng)一，而且做到收放自如.4個(gè)方程從結(jié)構(gòu)上看是從特殊到一般，從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，層層推進(jìn)，步步說理，環(huán)環(huán)相扣.探究的過程中讓學(xué)生辨析與探討.給學(xué)生方法上的指引，思想上的感悟，學(xué)生明晰了數(shù)學(xué)運(yùn)算背后的算理，就明確了解題方向，可能采取自覺的行動(dòng)，必將有益于學(xué)生運(yùn)算能力的提升，素養(yǎng)的熏陶.

四、聯(lián)系現(xiàn)實(shí)是提升運(yùn)算素養(yǎng)的保障

一般地，運(yùn)算都是因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活的需要而產(chǎn)生的.幫助學(xué)生感受每一種運(yùn)算模型的特點(diǎn)，聯(lián)系現(xiàn)實(shí)，加強(qiáng)運(yùn)算模型的理解是運(yùn)算教學(xué)應(yīng)該力求滲透的.

例題 在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅如圖所示的矩形掛圖.如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，求金色紙邊的寬.

生1：解：設(shè)金色紙邊的寬為xcm，根據(jù)題意，得

（80+2x）（50+2x）=5400. （*）

學(xué)生展開：4x2+260x+4000=5400，2x2+130x-700=0.

師：（*）數(shù)據(jù)較大，觀察左右，能否加以微調(diào)、改進(jìn)，簡化運(yùn)算？

生2：左邊每個(gè)因式都含有2，兩邊同時(shí)除以4，得

（40+x）（25+x）=1350，展開可得x2+65x-350=0.

解之，得x1=70，x2=-5（負(fù)值不合題意，舍去）.

答：金色紙邊的寬為70cm.

生3：矩形的寬只有50cm，而金色紙邊的寬為70cm，我覺得不對(duì)吧？一般生活中看到的風(fēng)景畫的四周鑲的邊總是小于矩形的寬和長的.

生2：哦，我解錯(cuò)了！應(yīng)該是x1=-70（負(fù)值舍去），x2=5，所以金色紙邊的寬為5cm.

師：這樣符合實(shí)際了嗎？

眾生：嗯，符合了！

在運(yùn)算教學(xué)中滲透模型思想，滲透數(shù)學(xué)來源于生活，又回歸生活的教育理念.引導(dǎo)學(xué)生多聯(lián)系實(shí)際，或者從現(xiàn)實(shí)或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示算式，是提升運(yùn)算素養(yǎng)的保障.

隨著以核心素養(yǎng)為顯著特征的課程標(biāo)準(zhǔn)的出臺(tái)，作為課程改革的實(shí)踐者——數(shù)學(xué)教師，怎樣認(rèn)識(shí)核心素養(yǎng)，并積極、創(chuàng)造性地投入到教學(xué)實(shí)踐中，是不容回避的話題，愿我們不忘初心，以提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為不變的育人本質(zhì).

1.章民.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)實(shí)踐與反思——以課題“一次函數(shù)的概念”課堂教學(xué)為例.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.J