“基于素養，能力立意”引領下的高階思維培養*
——以直角坐標系中“斜三角形”的面積求法為例

☉浙江寧波市鎮海蛟川書院 陳 麗

“核心素養”是近年教育研究的熱點問題，2018年1月23日—24日，教育部長陳寶生在全國教育工作會上提出繼續把“聚焦根本任務，系統推進立德樹人”作為2018年教育事業發展的七大主攻方向之一.核心素養的落實離不開學科素養，而數學是思維的科學，在數學課堂上培養學生的數學高階思維、滲透數學素養是現在教學的核心價值取向和教學目標追求.按照布盧姆教育目標分類對認知過程的劃分，數學高階思維是指發生在數學活動中的較高的認知水平層次上的心智活動或認知能力，它在教學目標分類標準中主要表現為分析、評價和創造.如何在數學課堂上培養學生的數學素養，促進學生高階思維的發展？筆者以直角坐標系中“斜三角形”的面積求法為例，淺談自己的一些嘗試.

一、研磨教學目標，精準對焦

數學課堂只有制定貫通整節課的教學目標，才能精準把握教學方向，尋找培養學生素養、發展學生高階思維的契機.三角形面積及面積產生的坐標問題是中考命題者比較喜歡的方向，尤其與一次函數、二次函數、反比例函數相結合，其中相關的變式問題也很多.并且在直角坐標系中，對于任意一個三角形，當三角形的三個頂點坐標確定時，都可以通過平移變換將三角形轉化為頂點在原點的三角形，因此只需要研究頂點是原點的常規三角形的面積求法.本節課的教學目標是課堂上通過數學活動，讓學生掌握頂點在原點的常規三角形的常用處理方法，如割、補、移等.那么課堂上如何啟發引導才能讓學生自然想到這些方法？如何讓學生通過自主探究、合作交流掌握常規三角形幾種常見的處理方法？能不能讓學生在課堂產生一些有創造性的想法，產生一些增量，讓學生有更多的體會和新的收獲？

二、創新教學設計，融情啟智

1.追本溯源，為形成學生高階思維接力.

問題1：如圖1，在直角坐標系中，若A（2，1）、B（3，0），求△AOB的面積.

師：3是誰的長？

生：OB.

師：OB這條線段在面積公式中指什么？

生：底.

師：1是什么呢？

生：高.

師：為什么選擇OB作為底呢？

生：因為底在坐標軸上，比較容易求解.

問題2：如圖2，在直角坐標系中，若A（2，1）、B（0，3），求△AOB的面積.

師：你選誰為底？

生：OB.

師：為什么？

生：因為OB在y軸上.

【設計意圖】問題是思維的起點，巧設問題串，層層推進，由表及里，將學生淺顯易懂的知識進行剝離，表象知識內隱化，去表存真，探本求源，幫助學生找到思維的原點，這也是新知的生長點，為發展學生高階思維接力.

2.拾階而上，為培養學生高階思維助力.

問題3：如圖3，在直角坐標系中，若A（2，1）、B（1，2），求△AOB的面積.

師：我給大家兩點建議，有思路的同學將思路寫下來：你是怎么處理的？為什么這么處理？有的同學做不出來，沒關系，我們還在學習階段，思考一下在求解過程中你碰到了什么問題干擾你思路的形成？什么原因困擾你？

（三分鐘后）

生：底和高不知道.

師：你選誰為底？

生：（支支吾吾）我想選OA為底.

師：OA的長是多少？

師：怎么求的？

生：勾股定理.

師：OA上的高可以求嗎？

（學生沒有太大反應）

師：我們來看題目中的條件，這個題目中給的條件是什么？是不是三個點的坐標都給定了？三角形的邊OB、AB可以求嗎？怎么求？

師：如圖4，過點B作BC⊥AC于點C，要想求高線BC的長，需要求誰的長？

生：OC.

師：怎么辦？

生：設OC=x，列方程.

師：怎么列？

師：這種解法比較煩瑣，思考：為什么問題1、問題2中的兩個三角形的面積容易求出？與問題3的區別在哪里？

生：問題1、問題2中的三角形有一條邊在坐標軸上，而問題3中三角形的邊沒有在任何坐標軸上.

師：你有沒有什么辦法將問題3中的三角形進行轉化？

生：如圖5，可以用矩形ODEF的面積減去三個三角形S△AOD、S△ABE、S△OBF，進行求解.S△AOB=S矩形ODEF-S△AOD-S△ABES△OBF=2-

師：我們用了兩種方法，對這兩種解法你有哪些體會？

生：將三角形轉化成邊在坐標軸上，方便求解.

師：非常好，問題1、問題2中的三角形的邊是有“橫豎”的線段，而問題3中的三角形沒有一邊是“橫豎”的，為了方便，我們約定，存在“橫向”或“豎向”邊的三角形稱為“直三角形”，沒有“橫向”或“豎向”邊的三角形稱為“斜三角形”.

師：請思考剛才的解答，我們作了什么樣的處理？為什么要進行這樣的處理？請跟大家分享一下.

生：通過構造矩形，把斜三角形變成了直三角形.

師：非常好，要求斜三角形的面積我們要進行處理，處理的目標很清楚，就是產生直三角形，請思考：剛才我們是怎么產生直三角形的？

生：作垂線，構造矩形.

師：一定要構造矩形嗎？可不可以優化一下？

生：如圖6，直接補成梯形就好.

師：很棒，是的，可以通過作垂線，把斜三角形補成矩形或梯形，轉化成直三角形進行求解.

【設計意圖】順應學生的思維軌跡，巧設階梯型問題，通過師生對話，啟迪學生的思維，促進學生對數學的深度理解.通過對問題的感知、探索、求解、對比，深化思維，激發學生思維發展的內部動機，轉化為高階思維發展的內驅力，創造合適契機，滲透素養，逐步實現由“低層次思維”向“高階思維”的轉化，培養學生的高階思維能力.

3.自然生長，為發展學生高階思維發力.

師：我們發現將斜三角形轉化為直三角形更容易求解，那么除了作垂線的方法，還有沒有別的處理途徑，能夠產生直三角形，且產生的直三角形與原來的斜三角形之間存在聯系？先獨立思考，有想法了把想法寫下來，在圖上畫出你的處理方案，思考并寫出你的處理方案產生了哪些直三角形.

（三分鐘后，合作交流）

師：前后四人為一小組，各小組起立，交流各自的處理方法，說出這樣處理的原因.若無自己的處理方法，則交流困惑的問題.同伴間可幫助.若討論后小組仍無思路，思考以下三個問題：

（1）能不能在x軸上找點P，使△PBO包含△AOB？（2）如何分割△AOB能產生直三角形？

（3）是否存在與△AOB面積相等的三角形？若存在，該怎么找？

討論結束后，請坐下去，任選一種方法，寫出詳細解答過程，并與大家分享

生：如圖7，延長BA交x軸于點P.

師：非常好，產生了哪些與斜△AOB有關的直三角形？

生：△BOP、△AOP.

師：那么斜△AOB的面積怎么求？

生：S△AOB=S△BOP-S△AOP.

生：如圖8，也可延長AB交y軸于點M，S△AOB=S△MOAS△MOB.

師：很好，這兩個同學都是通過補的方法，將斜三角形的面積轉化成了兩個直三角形的面積差來求解.結合老師剛才提出的三個問題，還有哪個小組有不同的方案？

生：如圖9，可以過點A作AN平行于x軸，交OB于點N，則S△AOB=S△ANO+S△ANB

師：如何求AN的長？

生：我們組還有另一種做法，如圖10，過點B作BQ平行于y，交OA于點Q，做法和剛才的類似.

（同學們情不自禁地報以熱烈的掌聲）

師：你們組很棒.

（這時已經有學生在舉手，迫不及待地要發言了）

生：如圖11，過點B作BG平行于OA，交y軸于點G，連結GA，則S△AOB=S△AOG.

師：如何求直△AOG的面積？

生：先求G點的坐標.因為GB與OA平行，所以kGB=，所以點G），則S=△AOG

師：這個直三角形你是怎么找到的？

生：過點B作OA的平行線，平行線上任意一點與OA構成的三角形都與△AOB的面積都相等，只要與坐標軸相交，便可以找到相應的面積相等的直三角形.

師：你歸納得非常好，也就是要過三角形的一個頂點作邊的平行線，與坐標軸的交點構成的三角形便是要找的直三角形.請大家作圖試試看，你可以找到多少個這樣的直三角形？

生：過點B作BI平行于OA，交x軸于點I，連接AI，則S△AOB=S△AOI.

生：還可以過點A作OB的平行線分別交x軸于點H，交y軸于點J，則S△AOB=S△HOB，S△AOB=S△AOJ.

【設計意圖】為了激活不同思維程度的學生的思維，筆者以素養為本，精心設計啟發性問題串，置學生于憤悱狀態，激發學生探知的欲望.筆者首先讓學生自己操作，自己感悟，再進行小組合作，給學生提供動腦、動口的機會，使學生積極主動地進行思維活動，讓學生在對話和思維的碰撞中提升思維能力，活化所學知識，讓學生在探究的過程中既掌握所學知識和技能，又感悟知識的本質，積累思維和實踐的經驗，形成和發展核心素養，助力培養學生的高階思維，讓不同思維層次的學生更上一個思維臺階.

三、提煉知識方法，聚焦智慧

師：通過以上交流和探索，對于如何求斜三角形的面積，你有哪些解題經驗？

求斜三角形的面積→求直角三角形的面積：

【設計意圖】教師引導學生及時梳理、歸納，幫助學生理清思維脈絡，形成知識體系.課堂小結不僅是對本節課所學知識的總結，還是對獲得知識所用方法的提煉，更是對解決學習困惑的經驗積累與提升.通過小結，可以讓學生內隱的數學活動經驗顯性化，形成體系.

四、注重思維延伸，以思啟智

課后思考：先畫圖思考你對這些斜三角形有哪些處理方法，任選一種方法求△AOB的面積.

問題1：在直角坐標系中，若A（2，1）、B（3，3），求△AOB的面積.

問題2：在直角坐標系中，若A（2，1）、B（1，-1），求△AOB的面積.

問題3：在直角坐標系中，若A（2，1）、B（1，-1）、求△ABC的面積.

徐斌艷教授曾指出：學生核心素養的形成不是依賴單純的課堂教學，而是依賴學生參與其中的教學活動；不是依賴記憶與理解，而是依賴感悟與思維；它應該是日積月累的、自己思考的經驗的積累.因此數學課堂上教師要創設基于學情的教學活動，幫助學生感悟、內化，形成高階思維能力.一節課的結束，不應該是思維的終點，而應該是思維更高的起點.教師要精心設計延伸性問題，幫助學生創造性思維的培養與發展，讓學生不因教學的停止而使數學思考停止.

教育的目的是什么？懷特海認為，學生是有血有肉的人，教育的目的是激發和引導他們的自我發展之路，他指出“不能讓思維僵化，而要讓它生動活潑起來——這是所有教育的核心問題”，這不僅關系到學生的成長，更關系到社會的發展.

1.安德森，等，著.布盧姆教育目標分類學：分類學視野下的學與教及其測評（完成版）［M］.蔣小平，張琴美，羅晶晶，譯.北京：外語教學與研究出版社，2009.

2.羅增儒.核心素養與課堂研修［J］.中學數學教學參考（中），2017（8）.

3.廖輝輝，史寧中，朱丹紅.數學基本思想、核心素養內涵及教學［J］.福建教育（中學版），2016（7/8）.

4.褚水林.促進高階思維能力發展的數學問題設計［J］.中學數學教學參考（中），2017（10）.W