在實驗活動課中構建學生的數形結合思想*
——以蘇科版七年級第9章“數學活動 拼圖·公式”為例

☉江蘇運河中學 袁 健

筆者以蘇科版七年級下冊“拼圖·公式”的備課、上課、反思過程為例，重點讓學生構建數形結合思想.

一、教學設計片段

【活動準備】

A型紙片（邊長為a的正方形）、B型紙片（邊長為b的正方形）、C型紙片（長為a、寬為b的長方形）各若干張.

【教學設計內容摘要】

（一）情境再現.

問題1：觀察圖1，用含字母的式子表示圖中大正方形的面積.

你可以用幾種方法表示？你能得到一個什么公式？

問題2：你能用多項式乘多項式的法則計算（a+b）2嗎？

問題3：你認為整式乘法與因式分解是什么關系？設計意圖：教師幫助學生回憶所學過的完全平方公式的引出過程，感受圖形的作用的同時，由合情推理到演繹推理，體會數學的嚴謹性.同時感受整式乘法與因式分解是互逆關系.

（二）探索活動.

【數學活動一】

活動材料：若干張如圖2所示的正方形和長方形紙片.

活動要求：

1.分別選取A型紙片1張，B型紙片2張，C型紙片3張，拼成一個長方形.用不同的方法表示拼得的長方形的面積，你能得到怎樣的一個等式？

2.請各小組任意選取若干張這樣的三種紙片拼成一個長方形，通過不同的方法計算面積，探求相應的等式.是否能得到體現因式分解過程的等式？

設計意圖：通過拼圖，學生經歷觀察、運算、推理等活動，感受形到數的轉化過程，發展有條理思考和表達的能力.

【數學活動二】

1.分解因式：a2+4ab+3b2.

問題1：利用提公因式、套公式法能解決嗎？

問題2：能用“拼長方形”的方法解決嗎？A、B、C型三種紙片各需要幾張？

問題3：所拼長方形的長、寬各是多少？你得到怎樣的因式分解的等式？

2.分別選取A型、B型、C型三種紙片若干張，嘗試將它們拼成一個長方形，并且使所拼長方形的面積為2a2+5ab+3b2，所拼長方形的長是多少？寬是多少？你得到怎樣的因式分解的等式？

（三）閱讀.

名人名言：數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事休.——華羅庚

設計意圖：學生朗讀名人名言，感悟數形結合思想.

二、課堂教學片段

（一）情境再現.

師：第9章我們學習了整式乘法與因式分解，感受了圖形與等式、公式的關系.本節課我們通過“做”數學，用拼圖感受圖形與等式的關系.下面我們回顧一個情境.

（學生看題，準備答題）

生：從整體看，面積是（a+b）2，從局部看，面積是a2+2ab+b2，它們是相等的.

師：你能說出這是哪個公式嗎？

生：完全平方公式.

師：你能用多項式乘多項式的法則計算（a+b）2嗎？

生：依據乘方的意義把它變形為（a+b）（a+b），然后用多項式乘多項式的法則計算得到a2+ab+ab+b2，再依據合并同類項得到a2+2ab+b2.

師：我們通過圖形得到了完全平方公式，又通過多項式乘多項式的法則驗證了這個等式的正確性.剛才的等式（a+b）2=a2+2ab+b2（由積變和）反過來寫就變成了a2+2ab+b2=（a+b）2（由和變積），前面的運算叫整式乘法，后面的運算叫因式分解.你認為這兩者有什么關系？

生：整式乘法與因式分解是互逆關系.

師：我們感受了圖形與等式的內在關系，下面我們繼續用拼圖探索它與等式的內在聯系.

（小組合作交流拼圖，教師出示數學活動一的活動材料和活動要求.學生動手拼圖，感受由圖形到等式的轉化過程.學生代表回答第1個活動要求：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，第2個活動要求由一個小組代表展示回答）

師：剛才我們按活動要求拼圖得到了一個長方形，然后用長方形的長與寬的積表示這個代數式和的形式，進而寫出了一個等式.你能寫出一個體現因式分解的等式嗎？

生：能.把剛才的整式乘法的等式反過來寫就可以了.

師：很好.通過拼圖我們感受了由形到數的轉化過程.下面繼續用拼圖解決問題.

（出示數學活動二）

師接著問：這個代數式a2+4ab+3b2能用提公因式法、運用公式法來因式分解嗎？能用拼圖的方法解決嗎？

（學生帶著疑惑進行小組交流、嘗試）

學生代表回答：它能用一個長為a+3b、寬為a+b的長方形的面積表示，即（a+b）（a+3b）.所以a2+4ab+3b2就因式分解為（a+b）（a+3b）.

師：很棒！請同學們試著再用拼圖把多項式2a2+5ab+3b2因式分解.

學生代表回答：它能用一個長為2a+3b、寬為a+b的長方形的面積表示，即（a+b）（2a+3b）.所以2a2+5ab+3b2就因式分解為（a+b）（2a+3b）.

師：說得太棒了！我們先按要求拼成一個長方形，把數轉化成形，然后把這個代數式用一個長方形的面積表示，把形轉化成數，進而把一個和的形式的代數式借助圖形因式分解.在這個過程中，感受由數到形再到數的轉化過程，感受數形結合思想.正如數學家華羅庚先生說得那樣，（課件出示）大家齊讀.

生：數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事休.

師：你有什么發現？有什么感悟？

生：我發現了對于2a2+5ab+3b2的因式分解，我們可以通過數形結合思想借助拼圖解決.但如果不能拼出一個長方形就意味著不能分解嗎？

師：這個問題問得太好了，不是所有的二次三項式都可以借助拼圖完成因式分解，這與我們今后學習的一元二次方程的判別式有關.

三、教后反思

1.數學實驗活動課落實“四基、四能”.

筆者在設計這節課時參考了課本和實驗手冊第9課.本片段主要是引導學生通過動手實驗感受拼一個長方形可以得到一個等式，感受數的問題可以借助形解決，體會由形到數的轉化過程，然后引導學生用拼圖“做數學”，把二次三項式進行因式分解.

在實驗操作過程中，筆者以問題為載體，師生互動、生生互動，小組活動充分.給學生充分的展示機會，讓學生合作、用語言表達自己的觀點和想法.事實證明，數學實驗讓學生在動手操作“做數學”中保持良好的參與興趣，寓學于樂，寓樂于學；讓抽象的知識可視化，學生更加主動地進入探究狀態，調動了學生學習的主動性.學生在活動過程中會將二次三項式借助圖形因式分解，鞏固了“雙基”，滲透了數學思想，積累了數學活動經驗.另外，學生在動手操作中不僅鍛煉了自己分析問題和解決問題的能力，還培養了自己發現問題和提出問題的能力.

2.數學實驗活動課構建數形結合思想.

數學思想是對數學理論與內容本質的規律性的認識，是人們在認識、學習、應用數學中總結、提煉、歸納和概括出來的，是數學思維活動后產生的結果.數學思想是數學方法的靈魂.本教學片段構建了學生數形結合思想的知識網絡：由形到數，由數到形再到數，數形結合.緊接著感悟數學家華羅庚的“數形關系”，學生對數形結合思想的理解更加深刻了.此外，本節課還讓學生感受到了整式乘法與因式分解的互逆性，體會轉化的數學思想.數學實驗活動課是建構學生數學思想的有效載體.

3.數學實驗活動課培養核心素養.

學生從實驗活動中以直觀形象的圖片、材料、工具等為載體，小組合作進行數學推理、運算，在此過程中培養學生的語言表達和合作交流能力，以及勇于克服困難、磨礪意志，促進了思維發展和能力形成，引導學生學會學習，培養了核心素養.

1.董林偉主編.初中數學實驗教學的理論與實踐［M］.南京：江蘇科學技術出版社，2013.

2.關興榮.數學思想是數學方法的靈魂［J］.吉林教育，2011（10）.

3.王漢平.初中數學作業布置及評價有效性的研究［J］.科學大眾，2016（10）.W