初中生數學解題能力培養的若干策略

☉江蘇南京育英第二外國語學校 吳丹丹

波利亞在《數學的發現》中提出：“中學數學教學的首要任務，就在于加強解題能力的訓練.”［1］對學生解題能力的培養，不僅可以發展學生的邏輯思維能力，教會學生如何思考，更有利于學生自信心的建立和良好數學學習習慣的養成.培養和提高學生的解題能力，也是廣大一線教師的不懈追求.如何培養學生的解題能力成為教師教學的重點.下面筆者結合自己的教學實踐，談談在學生解題能力培養方面的一些策略.

一、關注整體教學，激活學生聯想

學生能否順利解題，關鍵在于學生能否通過審題，形成解題思路，而其實質是學生審題時聯想到的知識點有多少，這決定了學生能否解出這道題，或者能否找到最優解法.解題當從追求自然生長的最近聯想開始.學生審題時所聯想到的知識點就是學生的最近聯想，最近聯想越豐富，學生解題就越迅速，解法就越直接.因此，對教材有整體性的把握，從主線上幫助學生建構最近聯想，比較容易幫助學生在解題時找到思路，快速尋求到有效信息，從而形成解題思路.

案例1：筆者在教學蘇科版八年級上冊第二章軸對稱圖形的復習課時，引導學生思考回顧，形成了如圖1所示的整體性框架，學生在審題時就可以圍繞這樣的框架進行聯想解題.

從框架中可以看到的聯想有如下4條：①線段垂直平分線的聯想有3個點；②角平分線的聯想有3個點；③等腰三角形哪兩邊相等的分類，這在綜合題中常常出現；④等腰三角形的頂角大小，導致形狀不同，從而產生問題的多解性.后面又對三角形中的三條特殊線段的性質做了一些聯想和總結.通過這種整體性的學習，可建立豐富的最近聯想，使學生對知識點之間的聯系更清楚，可以有效提高解題效率，有助于學生快速找到最近聯想，根據已有經驗形成解題思路.

二、挖掘教材內涵，構建基本模型

羅增儒教授曾在《中學數學解題的理論與實踐》中提到：“當知識鏈的某一個環節受到刺激時，整條知識鏈就會活躍起來.有意識積累知識鏈，是優化知識結構的一個途徑，也是開拓解題思路的一個源泉，腦子里的知識鏈越多、越長，解題的思路與念頭也就越廣、越快.”［2］認知心理學認為，科學的建立知識組塊，是將零散的知識通過分類、比較、聯系等方法進行元認知，壓縮成更密集的組塊，簡縮思維形式，加速思維進程.這就要求教師在教學的過程中注意引導學生積累基本模型.如何建立知識組塊，構建基本圖形呢？簡單告知學生有哪些基本模型，學生往往印象不深刻，或者在解題過程中使用不熟練，不能恰當地構造基本模型.教師可以通過引導，啟發學生自己建構基本模型，有了自主建構的活動經驗，學生才能有效地將模型內化為己有，在解題時適時構造，靈活應用.

教師應創造性地理解和使用教材［3］.教師在教學過程中有效利用教材中典型習題進行教學，將課本中的零散知識有目的地組織整理，引導學生自主發現并總結，給學生一個自我建構基本模型的機會，發現基本模型中的不變量和基本關系，抓住基本模型的關鍵特征.這樣可以有效培養學生發現、提出問題，分析、解決問題的能力，提升學生的數學核心素養.下面是筆者在課堂中基于課本，引導學生自主建構基本模型的實例.

案例2：“小燕子模型”（如圖2）.

基本信息：

大三角形中：①公共角，②對應長邊-對應短邊；

小三角形中：③對頂角，④對應長邊+對應短邊（折線→直線）.

模型建構：

1.蘇科版數學八年級上冊課本P14練習題2.

已知：如圖2，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且AD=AE，求證：△ABE≌△ACD.

課本選題用意：引導學生發現圖中暗含公共角的信息.

2.蘇科版數學八年級上冊課本P22練習題2.

已知：如圖3，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且∠B=∠C.求證：DB=EC.

課本選題用意：①利用公共角證明全等；②引導學生發現圖中線段的和差關系：全等三角形的對應長邊-對應短邊.

3.蘇科版數學八年級上冊課本P30題6.

如圖4，點D、E分別在AB、AC上，BE、CD相交于點F. 如果BD=CE，∠B=∠C，試找出一對全等三角形，并證明.

課本選題用意：①利用隱含條件對頂角證全等：②線段的和差關系：全等三角形△BFD和△CFE的對應邊BF=CF，DF=EF，得BE=CD，簡稱“折線→直線”.

根據對上面三個小題的觀察和總結，學生可以輕松地發現這樣的圖形中，會有四個基本信息藏在其中：①大三角形中公共角相等；②全等三角形的對應邊相等；③對頂角相等；④全等三角形對應長邊+對應短邊相等（折線→直線）.為了方便稱呼，學生給這個基本模型起了個名字“小燕子模型”.

模型應用：蘇科版數學八年級上冊課本P36題10.

如圖5，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于點O.如果AB=AC，那么圖中有幾對全等的直角三角形？試證明你的結論.

分析：此題出現在課本章節總復習的靈活運用中，具有一定的難度，由于前面和學生一起總結了“小燕子模型”的基本信息，學生能夠輕松解決問題，大大縮短了學生的思考時間.課堂中筆者又對此題做了適當的變式，

變式1：圖形不變，若去掉所有的已知條件，只給出AD=AE，BD=EC，你能證出圖中所有的全等三角形嗎？

變式2：圖形不變，已知BD=EC，∠B=∠C，你能證出所有的全等三角形嗎？

學生在解決變式的過程中都顯得很輕松，還有學生甚至打斷我的變式，提出了一個新的發現：只要給我們的條件能夠證出這些三角形中的任意一對全等，就可以證出其他的三角形全等.

與這個模型對應的還有一個模型（如圖6），證法幾乎和小燕子模型一模一樣.模型的形成過程在這里不再贅述.學生根據其形狀把它稱為“貓耳朵模型”.

類似可以建立的模型還有很多，如八字形、飛鏢型、等平角模型（等腰、平行角、平分線模型）、公共點旋轉型等，一個個基本模型就是一個個組織良好的數學知識結構，學生自主建構的基本模型越多，解題時聯想的知識結構就越多，解題就越高效，解題能力自然得以提高.

波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本，良好的組織使得所提供的知識易于用上，這甚至比知識的廣泛更為重要……把你記憶里的知識安放得有條不紊只會對你有更多的幫助.”［1］

三、鍛煉畫圖能力，獲取直觀猜想

圖形是數學表述的重要語言和方式，它可以較為直觀地反映一些抽象的數學關系和特征.解題過程，起于觀察，經歷思考，成于方法.沒有準確的圖形，就難以從直觀上觀察出正確的結果.因此，能夠根據題目條件，正確畫出圖形，成為學生解題的必備能力.學生根據題意作圖的過程也是分析題目條件的審題過程，在畫圖中發現圖形中的不變量，理清變量之間的關系.畫出正確的圖形，有助于學生通過直觀得出正確的猜想，培養學生的幾何直觀能力.因此，教師在教學過程中，要有意識地培養學生的動手畫圖能力.

案例3：如圖7，△ABC中，∠ACB=90°，點Q為斜邊AB的中點.動點P在直線AB上（不與A、B重合），分別過A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F.

（1）如圖①，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是______，QE與QF的數量關系是______；

（2）如圖②，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明；

（3）如圖③，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明.

學生在做練習時曾遇到這樣一題，在完成第二小問時，即便是猜，學生也沒能給出正確答案，而且完全沒有思路.筆者在講評時未作過多引導，只是要求學生按照題目條件要求，自己重新畫圖，再完成此題.結果反差很大，多數學生通過獨立作圖并觀察，給出了正確的結論，一部分學生很快有了思路，并能夠順利解題.通過觀察不難發現，原題給的圖不符合圖形的基本特征，中點Q不是線段AB的中點，從而影響學生通過直觀猜想得出正確結論.此外，畫圖還可以啟發學生的思維，如果題干改為“當點P是Rt△ABC斜邊AB所在直線上一動點時”，學生在根據題意畫圖的過程中，會為P點的位置感到困惑，不知該畫在何處，從而受到啟發，想到有分類討論的必要.可以看出，根據題意準確畫圖，從某種意義上說可以防止漏解.

學生畫圖能力的培養不能一蹴而就，需要長期一貫培養.蘇科版教材的編寫，具有螺旋上升式的特點，因而對學生的能力也要求螺旋上升.只有長期一貫關注學生畫圖能力的培養，學生在解綜合題時才能如魚得水.在七年級時，教師在教學時要注重實際操作與實踐，幫助學生積累數學活動經驗，在操作中感受圖形的變化，形成直觀感受；在八年級學習幾何時，要讓學生把靜態的圖形，在腦海中作運動變換.可通過幾何畫板演示，再根據題意畫圖.隨著學習的深入，學生的畫圖能力也將逐步加強.經過長期訓練，學生的解題能力在畫圖能力提升的同時得以提高.

筆者認為，學生解題能力的差異，往往是因為學生的數學知識結構、思維習慣和基本活動經驗之間存在差別.利用整體性教學方式完善學生的數學知識結構，豐富學生的最近聯想.訓練學生熟練畫出準確的圖形，培養學生良好的思維習慣，可以增強學生的審題能力和直觀想象能力.構建一些基本圖形，了解其蘊含的數量關系和位置關系，可以幫助學生積累解題經驗，提高解題效率，從而達到發展學生解題能力的效果.當然，提高數學解題能力是一項長期、復雜的系統工程，它與學生的學習目的、學習態度、學習方法等密切關，我們在進行數學學習時，應該把發現問題和解決問題放在首要地位.學習數學應當有“法”，但又無“定法”，解決問題也是這樣.［4］

1.［美］波利亞，著.數學的發現：對解題的理解、研究和講授［M］.劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學出版社，2006.

2.羅增儒.中學數學解題的理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

3.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.諶涵.淺談中學數學解題能力的培養［J］.數理化解題研究，2016（4）.W