一元二次方程起始課：從教教材走向用教材教
——對(duì)兩節(jié)“青優(yōu)展評(píng)課”的概述與商榷

☉江蘇海安縣海陵中學(xué) 張曉波

近期研習(xí)第十屆初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課展示活動(dòng)中的一些課例，對(duì)兩節(jié)“一元二次方程的解法（1）”較為關(guān)注，對(duì)兩節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)與教學(xué)處理除了欣賞學(xué)習(xí)，也有一些不同的意見.本文先概述兩節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)，再給出筆者的學(xué)習(xí)心得與商榷意見，供研討.

一、課例概述

課例1：來(lái)自北京海淀區(qū)育英中學(xué)張潔老師的課例.

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 請(qǐng)學(xué)生寫出幾個(gè)一元二次方程，為了方便觀察，要求統(tǒng)一都寫成一元二次方程的一般形式.

教學(xué)意圖：教師讓學(xué)生有意識(shí)地根據(jù)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)代數(shù)學(xué)中研究方程的一般順序，自主提出研究的內(nèi)容和方向.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 請(qǐng)學(xué)生試著將這些一元二次方程按適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類.

教學(xué)意圖：使學(xué)生在分類活動(dòng)中逐步認(rèn)識(shí)一元二次方程的各種形式，為探究一元二次方程的解法布好局，學(xué)生在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中探究每個(gè)不同形式的方程的解法，也就完成了整個(gè)單元中解法探索的整合教學(xué).

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 小組討論分類標(biāo)準(zhǔn)和呈現(xiàn)方式后，將自己小組同學(xué)寫出的所有一元二次方程進(jìn)行歸類.分小組匯報(bào)后，全班進(jìn)行優(yōu)選.

教學(xué)意圖：教師引入“列表法”，讓學(xué)生填表，以加深學(xué)生對(duì)一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)的認(rèn)識(shí)，以及對(duì)方程不同類型的理解，并為后續(xù)研究方程的解法作鋪墊.學(xué)生舉例用卡片寫好后貼到黑板上，如圖1：

圖1

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 觀察表格中的各類方程，尋找你會(huì)解的方程，并思考：是不是這個(gè)方程所在類型的所有方程都能用此方法求解？

教學(xué)實(shí)錄的板書如圖2所示：

圖2

課例2：來(lái)自長(zhǎng)春南湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)黃永坤老師的課例.

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 回顧歷史，引入新課.

教學(xué)組織：學(xué)生課前自行收集和整理與一元二次方程的解法有關(guān)的數(shù)學(xué)史料，課上借助多媒體交流、展示.

設(shè)計(jì)意圖：開課階段展示學(xué)生收集的資料，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史的了解，培養(yǎng)學(xué)生不忘傳承的情感態(tài)度.同時(shí)，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 生成新知.

先給出課前提供給學(xué)生思考的5個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：我們之前學(xué)過(guò)哪些方程及方程組？

問(wèn)題2：平方根的定義及性質(zhì)是什么？

問(wèn)題3：通過(guò)自學(xué)，你認(rèn)為本節(jié)課講了哪些內(nèi)容？

問(wèn)題4：如何解方程x2=4？求解過(guò)程用到了之前所學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)？

問(wèn)題5：如何求解下列方程？

教學(xué)組織：結(jié)合學(xué)生課前思考“5個(gè)問(wèn)題”，課上進(jìn)行知識(shí)梳理、答案展示.針對(duì)階段學(xué)習(xí)進(jìn)行反思與總結(jié)，通過(guò)小組交流、解決自學(xué)中存在的問(wèn)題，幫助學(xué)有所難的學(xué)生完成預(yù)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)新知的生成.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 深化問(wèn)題.

問(wèn)題6：如何求解下列方程？

問(wèn)題7：滿足什么形式的一元二次方程可用直接開平方法求解？

教學(xué)組織：針對(duì)問(wèn)題6、問(wèn)題7，小組合作交流，借助展臺(tái)，學(xué)生展示求解思路及提煉直接開平方法所適用的方程的形式，師生參與對(duì)話、評(píng)析.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 把握思想.

問(wèn)題8：能否試著編寫一個(gè)可以用直接開平方法求解的一元二次方程？

問(wèn)題9：用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟有哪些？

教學(xué)組織：對(duì)于問(wèn)題8，通過(guò)小組合作，加深學(xué)生對(duì)可用直接開平方法求解的方程形式的理解；問(wèn)題9意在讓學(xué)生更加清晰解題步驟，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力.

教學(xué)環(huán)節(jié)（五） 提升思維.

問(wèn)題10：直接開平方后，一元二次方程最終轉(zhuǎn)化成了什么方程？

問(wèn)題11：二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程、一元二次方程在求解過(guò)程中，有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

教學(xué)組織：這兩個(gè)問(wèn)題層層遞進(jìn)，問(wèn)題10是對(duì)本節(jié)課所有的解一元二次方程中蘊(yùn)含的方法及思想的總結(jié)；問(wèn)題11則是讓學(xué)生體會(huì)所有方程及方程組在求解過(guò)程中由特殊到一般的思想方法.

教學(xué)環(huán)節(jié)（六）小結(jié)梳理，目標(biāo)檢測(cè).（略）

二、評(píng)課與商榷意見

作為通過(guò)層層選拔推到全國(guó)平臺(tái)上評(píng)優(yōu)、展評(píng)的兩節(jié)課例，可學(xué)習(xí)之處當(dāng)然很多，比如，課堂教學(xué)流程的完整，對(duì)教學(xué)內(nèi)容推進(jìn)的層層遞進(jìn)，注意與學(xué)生之間的互動(dòng)對(duì)話，以學(xué)生為主體，等等.特別是，讓學(xué)生自主舉例的開放式教學(xué)是這兩個(gè)課例的突出亮點(diǎn).然而，作為教學(xué)研討，本著個(gè)人興趣，我認(rèn)為，這兩節(jié)課主要問(wèn)題是辨識(shí)教學(xué)難點(diǎn)不到位，沒(méi)能從“教教材”走向“用教材教”（這也是華東師大終身教授鐘啟泉先生所指出的新舊教學(xué)的分水嶺）.

1.辨識(shí)初三教學(xué)難點(diǎn)不到位，直接開方法多數(shù)學(xué)生已掌握.

反復(fù)研讀這兩節(jié)課發(fā)現(xiàn)，一個(gè)顯著的不足就是拘泥于教材的課時(shí)安排，只組織學(xué)習(xí)了用直接開方法解一些特殊形式的一元二次方程，根據(jù)我們長(zhǎng)期初三的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，就是不組織學(xué)習(xí)，學(xué)生也已會(huì)解這種一元二次方程.原因是初一、初二階段對(duì)這類問(wèn)題的訓(xùn)練已到位，比如，人教版七年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)數(shù)的開方時(shí)，教材上已有如下習(xí)題：

題1：求下列各式中x的值：

（1）x2=25；（2）x2-81=0；（3）25x2=36.

題2：自由下落物體的高度h（單位：m）與下落時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系是h=4.9t2.如圖3，有一個(gè)物體從120m高的建筑物上自由落下，到達(dá)地面需要多長(zhǎng)時(shí)間（結(jié)果取整數(shù)）

說(shuō)明：求解題1時(shí)，就是上文課例中的一些典型例題，而題2需要列出一元二次方程120=4.9t2，運(yùn)用直接開方法求出t的正值，舍去負(fù)數(shù).

還有，初二下學(xué)期二次根式、勾股定理等內(nèi)容的學(xué)習(xí)也涉及直接開方解簡(jiǎn)單的一元二次方程，所以，我們說(shuō)學(xué)生對(duì)這類簡(jiǎn)單的一元二次方程訓(xùn)練已經(jīng)到位.

2.踐行單元教學(xué)，從“教教材”走向“用教材教”.

根據(jù)以上分析，本課的教學(xué)目標(biāo)（教學(xué)內(nèi)容）應(yīng)該重新調(diào)整，至少應(yīng)該適當(dāng)引入用配方法解二次項(xiàng)為1的一元二次方程.在這里，我們可推介著名特級(jí)教師李庾南老師在一元二次方程起始課教學(xué)時(shí)的“教材再建構(gòu)”，以下簡(jiǎn)要概述李老師的教學(xué)環(huán)節(jié)：

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 提出實(shí)際問(wèn)題，引入課題.

開課時(shí)提出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，師生合作列出方程x2-14x+24=0，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不是已學(xué)的一元一次方程，不會(huì)解.通過(guò)回顧一元一次方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自覺(jué)給新方程命名為“一元二次方程”，教師板書課題.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 概括一元二次方程的定義和一般形式.

定義一元二次方程及一般式之后，適當(dāng)跟進(jìn)訓(xùn)練.

將下列方程化成一元二次方程的一般形式后，說(shuō)出各項(xiàng)及二次項(xiàng)、一次項(xiàng)的系數(shù)：

（x+1）2-2（x-1）2=6x-5 → x2-4=0 ①；

3x（x-1）=2（x+2）-4 → 3x2-5x=0 ②；

（x+2）（x-4）=7 → x2-2x-15=0 ③.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 師生合作解方程①、②、③.

1.研究由已有知識(shí)能否求得方程①x2-4=0的解.

方法1：x1=2，x2=-2→給出解法的名稱：直接開平方法.

方法2：根據(jù)提公因式法因式分解來(lái)解方程，并命名為因式分解法.

2.小組研究方程②、③的解法.

學(xué)生用“因式分解法”解方程②3x2-5x=0和方程③x2-2x-15=0.

3.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究、概括.

（1）解一元二次方程的基本思想：降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解.

（2）降次方法：直接開平方，因式分解.

教師講解對(duì)于方程③x2-2x-15=0，也可以通過(guò)適當(dāng)變形，運(yùn)用直接開平方來(lái)解（師生合作給出具體過(guò)程，這里略去），并進(jìn)一步定義配方法.

綜上，一元二次方程的解法有：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法.

以下是李老師這節(jié)課的板書設(shè)計(jì)：

賞析：可以發(fā)現(xiàn)，李老師對(duì)一元二次方程的四種解法有深刻理解，發(fā)現(xiàn)它們相互間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所以先幫助學(xué)生建立知識(shí)體系框架，即形成“整體”知識(shí)，后續(xù)課再讓學(xué)生站在知識(shí)“整體”的高度，自主而深入地研究知識(shí)整體的各個(gè)“局部”，是一節(jié)單元教學(xué)的經(jīng)典課例.

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