關注數學文化，信息調用探究
——以以數學文化為背景的材料探究題為例

☉江蘇灌云縣九年制實驗學校 劉 翠

數學有著悠久的歷史，它不僅是一門學科更是一種文化，數學在發展的同時也承載了眾多的人文故事、情感文化.近年來中考對數學知識點的考查加強了數學文化的滲透，通過閱讀材料與問題探究的融合考查學生知識理解、問題探究的能力，因此有必要引領學生關注以數學文化為背景的材料探究題.

一、真題解析，試題點評

1.真題呈現.

（2017年山西中考卷第22題）背景閱讀：早在三千多年前，我國周朝數學家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”.它被記載于我國古代著名數學著作《周髀算經》中.在本題中，我們把三邊的比為3∶4∶5的三角形稱為（3，4，5）型三角形.例如，三邊長分別為9、12、15或的三角形就是（3，4，5） 型三角形.用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形.

實踐操作：如圖1，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm.

第一步：如圖2，將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在AB上的點E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平.

第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點D與點F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF.

第三步：如圖4，將圖3中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD′H，再沿AD′折疊，折痕為AM，AM與折痕EF交于點N，然后展平.

問題解決：

（1）請在圖2中證明四邊形AEFD是正方形.

（2）請在圖4中判斷NF與ND′的數量關系，并加以證明.

（3）請在圖4中證明△AEN是（3，4，5）型三角形.

2.試題解析.

分析：（1）略.（2）首先需要理解古書中“勾三，股四，弦五”的具體含義，它表示直角三角形的三邊關系，其次理解何為（3，4，5）型三角形，即滿足上述三邊關系的直角三角形.證明邊的關系可以將其放置在特殊三角形中，利用三角形全等證明.（3）求證△AEN是（3，4，5）型三角形，需要求出三邊的值，可利用特殊圖形和折疊特性得相關條件，設出NF的邊長，并表示出其他兩邊，將其放在直角三角形中，利用勾股定理求解，最后通過三邊之比證明.

解：（2）如圖5，連接HN.

由折疊知∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，∠EFD=90°，∠ND′H=90°.

（3）根據四邊形AEFD為正方形，可知AE=EF=AD=8cm.

由折疊特性知AD′=AD=8cm.

設NF=ND′=x，則AN=8+x，EN=8-x.

在Rt△AEN中，利用勾股定理解得x=2，則AN=10，EN=6，所以EN∶AE∶AN=6∶8∶10=3∶4∶5，則△AEN是（3，4，5）型三角形.

3.試題點評.

本題是以數學文化為背景的材料閱讀、分析探究題，首先給出了“勾三，股四，弦五”的數學淵源，以此為載體開展幾何探究，問題的求解充分利用了材料信息，在理解（3，4，5）型三角形的基礎上，利用三角形相似及勾股定理進行推理探究.對于以數學文化為背景的材料探究題，需要深入理解材料中的核心概念及相關特性，然后加以有效利用開展問題探究，信息理解是解題的基礎，基礎知識的調用是解題的關鍵.

二、試題銜接，思路剖析

以數學文化為背景的探究題的解題關鍵是理解、運用，即充分理解材料中所陳述的概念、定理、公式，以及相關證明過程，對于公式中的相關符號必須有清晰的認識，理解符號所代表的含義，以此為基礎進行深入分析，合理調用材料信息，必要時可以采用數形結合的方式加以分析.

試題1：（2016年涼山州中考卷第24題）閱讀下列材料并回答問題：

古希臘幾何學家海倫（Heron，約公元50年），在數學史上以解決幾何測量問題而聞名.他在《度量》一書中，給出了公式①和它的證明，這一公式稱海倫公式.

我國南宋數學家秦九韶（約1202—約1261），曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：

這說明海倫公式與秦九韶公式實質上是同一公式，所以我們也稱①為海倫-秦九韶公式.

問題：如圖6，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O內切于△ABC，切點分別是D、E、F.

（1）求△ABC的面積；

（2）求⊙O的半徑.

分析：首先需要理解上述公式所表述的含義，無論是海倫公式還是秦九韶公式，都是利用三角形的三條邊長求面積的.第（1）問求面積，利用海倫公式和秦九韶公式都可以，只需將邊長代入即可；第（2）問求半徑，需要以圓心為公共點，將△ABC分割為幾個小三角形，設出半徑長，表示出△ABC的面積，利用第（1）問的結論建立方程求解.

解：（1）a=BC=12，b=AC=7，c=AB=13，則p==16.

（2）如圖7，連接AO、BO、CO、OD、OE、OF.

⊙O內切于△ABC，設⊙O的半徑為r，則OD=OE=OF=r，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=16r.

根據第（1）問可知S△ABC=24，即16r=24，解得r=，即⊙O的半徑為

試題2：材料：“三等分角”是數學史上一個著名的問題，但僅用尺規不可能“三等分角”.下面是數學家帕普斯借助函數給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖8）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中，邊OB在x軸上，邊OA與函數的圖像交于點P，以P為圓心、2OP為半徑作弧交圖像于點R.分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB.要明白帕普斯的方法，請研究以下問題：

（1）略；

（2）分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q，請說明Q點在直線OM上，并據此證明∠MOB=∠AOB.

分析：（2）首先需要理解題干所表述的“三等分角”及實現方法，對于證明Q點在直線OM上，只需說明點的坐標滿足直線方程即可；證明∠MOB=AOB，需要說明∠POS=2∠SQB，可以根據特殊四邊形的性質、外角的特性及直線平行的性質推導轉化.

上述問題均為以數學文化為背景的探究題，理解材料信息、合理運用是解題的關鍵，試題1給出了海倫公式和秦九韶公式，求解過程在理解上述公式是“運用三條邊長求面積”的本質上加以展開；試題2則給出了“三等分角”的概念及實現方法，求解過程以此為線索加以應用展開.對信息的理解是解決材料探究題的關鍵，有效結合幾何性質、數形結合可實現問題的簡便作答.

三、解后反思，教學思考

1.挖掘閱讀材料，感受數學文化.

上述均為以數學文化為背景的材料探究題，無論是“勾三，股四，弦五”的直角特性、海倫公式與秦九韶公式，還是經典的“三等分角”概念，均蘊含著深刻的數學真理，是對數學真善美的充分體現.該類題型對于拓展學生知識面、發展學生的推理能力有著極大的幫助.在教學中應該有意識地引導學生關注教材的閱讀材料，深刻挖掘其中的數學文化和應用特性，對其中的定義、概念、定理和公式進行深入學習，讓學生體驗數學文化博大精深的同時提升自身的創造性.

2.經歷探究過程，發展數學思維.

蘊含數學文化的材料題本質上是數學的探究題，是從信息理解到探究應用的過程，該過程體現出知識的形成，而問題的解答需要學生經歷理解、觀察、猜想、證明等思維過程，同時該題型也折射出中考對于學生探究能力的考查要求，也是未來中考命題的發展方向.教師的思維無法代替學生的思維，照搬硬套只會弱化學生的理解能力，探究題有著較好的價值導向，深入講解可以使學生達到知識的內化和自省，對于提升學生的思維能力極為有利.

3.依托數學文化，提升科學素養.

中考試題對于數學文化史的引入也反映出中學課程“倡導數學文化價值”的理念，這在每一章節的閱讀材料中都有體現.閱讀材料是對知識的一個補充和延伸，對學生深刻理解知識的應用價值及體系地位有著重要的意義.將文化史與數學知識點融合講解，利用文化史的吸引力及情感作用引導學生學習，讓學生“因史生趣，由愛到知”，可有效促進學生知識體系的構建，科學素養、人文素養的提升，促進素質教育到教育方針的落實.

四、寫在最后

數學文化在試題中的滲透融合開辟了中考命題的新方向，該類問題的解答也需要從理解數學文化所蘊含的概念和公式入手，提取有效信息，開展深入探究，依托文化知識，解決數學問題.對于數學文化的日常教學，需要教師有效把握知識點與數學文化的聯系點，深刻挖掘閱讀材料的文化價值，通過數學史的講解使學生充分理解數學知識，構建完整的知識體系，促進學生人文素養的提升，同時關注學生數學思維的培養，讓學生親歷探究過程，提升思維能力.

1.楊虎.重視閱讀材料挖掘數學文化——從2016年涼山州中考第24題談起［J］.中學數學（下），2016（9）.

2.邢成云.文化打底素養立意——一道綜合與實踐創新題賞析［J］.中學數學（下），2017（9）.

3.王新宇.基于數學文化視角的初中數學教學實踐［J］.數學教學通訊，2017（23）.

4.白露.例談數學文化在中學數學教學中的滲透［J］.數學教學通訊，2017（27）.W