挖掘課本習題功能，拓寬數學思維空間
——一道課本習題的延伸與拓展

☉湖北武漢市第四十五中學 葉志剛

數學課程標準指出：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平上和已有的知識經驗基礎之上”“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解與掌握基本的數學基礎知識與技能、數學思想方法，獲得廣泛的數學活動的經驗”.課本例題、習題作為滲透新理念、傳授知識、培養能力的主要載體，教師應進行充分挖掘和研究，為學生創設合理的學習情境，構建開放的學習環境.

在現實的數學教學中，教師迫于考試壓力而拼命補充課外習題，讓學生大量地、單調地重復著某個或某幾個方法和技能，而對于課本上的例題、習題的講解基本上是蜻蜓點水，一帶而過，忽視了課本例題、習題的潛在功能.課本上的例題、習題蘊含著許多中學階段用到的數學思想方法.

用心領會課本的精髓，挖掘出例、習題設計的內在教育價值，精選課本中的典型例、習題，進行充分運用、挖掘、延伸、改造，能有效提高教學效率，幫助學生實現知識的整合、方法的遷移，提升學生綜合運用知識的能力.

下面對新人教版教材一道經典習題作如下拓展延伸：

課本原題：（人教版八年級數學上冊P83第12題）如圖1，△ABD、△AEC都是等邊三角形，求證：BE=DC.

由已知條件易證AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，則△ABE≌△ADC，因此BE=DC.

此題看似簡單，如果深入挖掘則能得到一些新的結論，從而拓展學生的思維空間，提升學習能力.

一、設計遞進問題，將數學思維引向深入

如圖2，設BE、DC交于點F，連接AF，設置遞進問題：

問題（1）：你能求∠BFD的度數嗎？

如圖3，由上面的證明過程可知△ABE≌△ADC，因此∠ABE=∠ADC.又∠1=∠2，則∠BFD=∠BAD=60°.

問題（2）：FA是∠DFE的角平分線嗎？

如圖4，過點A作AG⊥DC于G，AH⊥BE于H.因為△ABE≌△ADC，所以S△ABE=S△ADC，BE=DC，由此易知AG=AH，故FA是∠DFE的角平分線.

如圖4，由問題（1）知∠BFD=60°，所以∠DFE=120°.

由問題（3）知FA是∠DFE的角平分線，所以∠AFH=60°，可求得AH=3.由勾股定理可得EH=4，BH=9，所以BE=13，故S=BE·AH=△ABE

問題（4）：在問題（3）的條件下，求點D、C到直線BE的距離和.

如圖5，分別過點D、C作DM⊥BE于M，CN⊥BE于N.因為∠BFD=60°，所以DM=FD·sin∠DFM=FD.同理，CN=FC.所以DM+CN=（FD+FC）=DC=BE=，即點D、C到直線BE的距離和為

問題（5）：求證：FA+FB+FC=CD.

如圖6，在DC上截取DG=BF，連接AG.易證△GAD≌△FAB，可得AG=AF，即可判定△FAG為等邊三角形，可得AF=GF，即可證FA+FB+FC=CD.

問題（6）：將△AEC繞點A旋轉一周，則點F運動的軌跡是什么？

如圖7，由問題（1）可知∠BFD=60°，將△AEC繞點A旋轉一周，△ABE≌△ADC總成立，故∠BFD=60°總成立.由圓周角定理可推知點F的運動軌跡是一段圓弧.

……

類似的問題還可以設置很多，解決這些問題的核心知識，就是由課本原題所推理出的基本結論，即當條件為△ABD、△AEC都是等邊三角形時，有結論：①△ABE≌△ADC；②∠BFD=60°；③FA平分∠DFE.通過這些基本結論的分析運用，讓學生在問題的解答中暴露思維過程，加深對數學問題的理解，培養學生數學思維的深刻性.以課本原題為基礎設計的層層遞進的問題，讓學生在分析問題、解決問題的過程中，學會研究問題的實質，發現問題之間的聯系，從而提高思維能力.這些一個比一個深入的問題情境，能激發學生積極思考、深入探研、系統掌握知識，讓學生對知識的理解不僅僅停留在表面，而是能夠較好地建立知識體系，并用知識體系靈活解決實際問題.

二、將問題特殊化，探尋數學思維新的生長點

將課本原題中的△AEC繞點A旋轉，使得點C在BA的延長線上時（將問題特殊化往往是數學思維的一個生長點），如圖8，設直線BE、DC分別交直線AD、AE于點K、L，除了△ABE≌△ADC，還有其他三角形全等嗎？

因為△ABE≌△ADC，所以∠ABK=∠ADL.

又∠BAK=∠DAL=60°，BA=DA，所以△ABK≌△ADL.

同理可證△AEK≌△ACL.

如圖9，連接KL，KL與BC平行嗎？

由△ABK≌△ADL，可得AK=AL.又因為∠KAL=60°，所以△AKL是等邊三角形，故∠ALK=∠EAC=60°，所以KL∥BC.

當點C在線段BA上時，如圖10，KL與BC還平行嗎？

此時圖形雖然發生了變化，但是證明思路還是一樣的，同樣可證明KL∥BC.

進一步將圖形的變換進行到底，如果將圖8中△AEC沿BA向右平移c個單位，得到△A′EC，其他條件都不變，如圖11，KL與BC還平行嗎？

設AB=a，A′C=b，過K、L分別作KM⊥AB，LN⊥AB，垂足分別為M、N.

進一步將問題延伸拓展，如圖12，當點A從點B運動到點C時，點F的運動軌跡是什么？如圖13，當點C從點A運動到點B時，點F的運動軌跡又是什么呢？

圖12中，當點A從點B運動到點C時，∠BFD總等于60°，可知∠AFC=120°，由圓周角定理可推知點F運動的軌跡是圓弧，圖13中，當點C從點A運動到點B時，∠BFD=60°，同理可知點F的運動軌跡是圓弧.

通過以上問題的探索、研究，使學生解決問題的方法、思路越來越靈活與深刻，讓學生從數學問題的表象，一步一步接觸到了數學問題的本質.

對教材中的例、習題進行多層次變換，特別是變換圖形的位置、形狀，可以訓練學生思維的靈活性.通過探究圖形在變化過程中所隱含的規律，讓學生研究特殊圖形與任意圖形的區別與聯系，通過一靜一動，體會特殊與一般的內在關聯，動靜結合，讓學生在靜中學法，在動中應用；雖然題目在不斷進行變式，但思路還是保持“多變歸一”，讓學生在經歷知識探究的過程中，充分體驗“一題多變”的樂趣與“多變歸一”的妙趣.

三、改變圖形形狀，提高類比遷移能力

將課本習題進行推廣、拓展和延伸，給學有余力的學生提供思考的空間和發揮的平臺.提高學生對數學知識的運用和遷移運用能力，體會數學基本思想方法，培養學生的類比猜想、探究推理能力.

如圖14，將課本原題中的條件“△ABD、△AEC都是等邊三角形”變為：

（1）“△ABD、△AEC都是等腰三角形，兩頂角∠BAD=∠CAE，求證：BE=DC”，可以嗎？

（2）“正方形ABGD和正方形ACFE，求證：BE=DC”，可以嗎？

（3）再將正方形變為正五邊形、正六邊形、…、正n邊形，能否得到類似結論？

（4）將原題圖形中的“形外”變為“形內”，上述結論是否還成立？

……

在這些問題中，不論圖形發生了怎樣的改變，△ABE≌△ADC總成立，故BE=DC.這些問題的設置，使學生在起初的驚奇、疑惑和略加證明后的豁然開朗中發現：異圖同解，各盡其妙；不變中有變，變中有不變.達到了“做一題，解一類”的目的，使學生解題、思維的能力得到升華.

以上只是對一道課本習題的一連串思索，然而我們所獲得的卻遠非解答這道習題本身，既讓學生掌握了一類問題的規律與內在聯系，又使師生獲得了研究問題的一些基本方法，同時對減輕學生負擔，訓練培養學生思維的廣闊性、探究性和創造性也有一定的促進作用.

數學教材是一批教育教學專家依據數學課程標準、經過反復審編形成的教學素材，其基本理念、基本要求具有導向性.目前數學教材仍是數學教師教學的基本范本，更是學生數學學習中獲得數學知識、數學思想方法，積累基本活動經驗，形成數學素養的重要載體.因此平時教學時，教師要能充分利用教材素材，明晰數學概念，展開數學“悟”的過程，以課本中的例題、練習題、習題為基礎，通過類比、加工改造、加強條件或減弱條件、延伸或擴展，對課本習題進行改編，這樣能有效地避免“題海戰術”，引導教師遠離資料的干擾，減少收集過多教材以外的題目，減輕學生課業負擔，以發揮良好的教學導向功能.因此，我們的教學要回歸課本，認真研究教材，發揮教材的示范作用.

總之，在新課標理念的指導下，教師可以不拘泥于教材，可以不按教材教學，教師要有獨立性，要能根據自己的教學實際情況創造性地使用教材.但在課本例題、習題的教學中，教師首先要對課本例題、習題進行認真分析和研究，為學生參與實踐、自主探究、合作交流、閱讀自學提供豐富的學習資源，從而幫助學生養成獨立思考、積極探索的習慣，讓學生在開放的教學環境中培養數學思維品質，發展自己的數學能力.

1.孫紅.挖掘教材習題演繹多彩數學——從一道課本經典習題引出的中考題變化［J］.中學數學（下），2014（8）.

2.白軍強.教材中一道經典習題在中考中的“多面孔”［J］.中國數學教育（初中版），2009（10）.

3.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.W