對一道期末考試“新定義型”試題的探析

☉浙江省紹興市柯橋區平水鎮中學 沈岳夫

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確指出：數學在應用方面需要大力加強，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識的形成過程.“新定義型”試題是考查學生數學能力的最好題型之一，它既能考查學生適應新問題、接受新知識、認識新事物的能力，又能考查學生的自學能力，信息的收集、遷移和應用能力.此類題型新穎別致，頗具魅力，已成為中考試題中的一朵奇葩，其中對新概念信息的提取、化歸轉化和分類是求解的關鍵，也是一個難點.本文以柯橋區2017學年第一學期期終學業評價調測試卷八年級數學第26題“新定義型”試題為例，談談自己的一些認知與探析.這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”.例如，如圖1，等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”.

（1）判斷（對的打“√”，錯的打“×”）

①等邊三角形不存在“和諧分割線”；（ ）

②若三角形中有一個角是另一個角的兩倍，則這個三角形必存在“和諧分割線”.（）

（2）如圖2，Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，請畫出“和諧分割線”，并計算“和諧分割線”的長度.

（3）如圖3，線段CD是△ABC的“和諧分割線”，∠A=42°，求∠B的度數.

一、試題呈現

題目 定義：經過三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個三角形是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形的三個內角相等，那么把

本題的母題源于2016年寧波市中考數學試卷，經命題人改編而生成次壓軸題，此題是以三角形為依托，全面考查了三角形、特殊三角形、勾股定理等知識點及分類討論的數學思想，綜合性較強.在閱卷結束時，筆者發現此題得分率很低，得滿分（滿分8分）者寥寥無幾，特別是第（3）小題不少學生無從下手，失分現象尤為嚴重.那么該題如何解？筆者愿以此文與各位同仁探討.

二、思路探析

毋容置疑，這是一道設置新穎、獨特的期末考次壓軸拉分題，命題人將一道“新定義型”的題目設置成三個問題，難度由淺入深，層層遞進，學生的思維需要拾級而上.三個問題所表現的功能涇渭分明，清晰可見，問題之間確立的關系起承轉合，水到渠成.第（1）問謂“起”.問題的起源，起點低，容易上手，激發了學生進一步探究“和諧分割線”的理解與運用.第（2）問謂“承”.承上啟下，把第（1）問中的正誤判斷過渡到畫出“和諧分割線”并計算它的長度，為第（3）問的設置作好鋪墊.第（3）問謂“轉”.峰回路轉，問題的考查的能力、基本思想和呈現方式都發生了很大變化.在求解時需積累感悟第（2）問的經驗逆向思考，然后進行分級分類思考，即先考慮△ACD或△BCD是等腰三角形，然后再考慮腰、底邊的情形，這才是破解第（3）問的關鍵.當然這些念頭其實是前兩小題遷移而來，是一種順勢而為，是一種經驗的“噴薄”.

解：（1）①填“√”；②填“√”.

（2）由題意，作∠A的平分線，交BC與點D，則AD為“和諧分割線”，進而可求得AD=

（3）此題需要進行兩級分類思考：

當△ACD是等腰三角形時，

若AC=AD，因為∠A=42°，則∠ACD=∠ADC=69°，所以∠CDB=111°.由題意得∠ACB=111°，所以∠DCB=111°-69°=42°，進而可得∠B=27°；

若AD=CD，因為∠A=42°，則∠ACD=∠A=42°，所以∠CDB=84°.由題意得∠ACB=84°，所以∠DCB=84°-42°=42°，進而可得∠B=54°；

若AC=CD，因為∠A=42°，則∠CDA=∠A=42°，所以∠CDB=138°.由題意得∠ACB=138°，所以∠BCD=138°-96°=42°，進而可得∠B=0°，不合題意，舍去.

當△BCD是等腰三角形時，

若CD=BD，設∠B=x°，則∠BCD=∠B=x°，進而可得∠ADC=2x°，∠ACD=138°-2x°，∠ACB=∠ACD+∠BCD=138°-x°.根據題意，若∠ACB=∠ADC時，得138°-x°=2x°，解得x=46°，所以∠B=27°.

若CD=CB，設∠B=x°，則∠CDB=∠B=x°，進而可得∠ADC=180°-x°，∠ACD=x°-42°，∠ACB=∠ACD+∠BCD=138°-x°.根據題意，若∠ACB=∠ADC時，得138°-x°=180°-x°，不合題意，舍去.

若BC=BD，設∠B=x°，則∠BCD=∠BDC=90°-進而可得∠ADC=90°+∠ACD=90°-42°，∠ACB=∠ACD+∠BCD=138°-x°. 根據題意，若∠ACB=∠ADC時，得138°-x°=90，解得x=32°，所以∠B=32°.

綜上所述，滿足條件的∠B度數為27°、54°、46°和32°.

評注：解答此題只有深刻領悟“和諧分割線”的含義——經分割以后，一個是等腰三角形、另一個三角形和原三角形相似.因此，導致不少學生被第（3）問“卡殼”的主要原因在于：一是考慮不周，被圖3所迷惑，默認只有△ACD是等腰三角形；二是導角能力弱，當△BCD是等腰三角形時，找不出角之間的等量關系；三是分類意識差，學生沒有注意到圖形2是唯一的、確定的，而圖形3是不唯一的、不確定的，進而沒有兩級分類.當然，此題第 （3）問，為了減少計算量 （需計算6次），可再約定△BCD是等腰三角形這個條件，同樣能達到考查目的，這樣命題或許會好一點.

三、鞏固提升

鄭毓信教授曾說過：“知識求連，方法求變.”變則靈動，變則鮮活，變出智慧，變出情趣，“變”打開了學生獲取解題方法的有效通道.進行有效試題“變式”可以鏈接中考試題或改編題，進一步感悟、理解問題的本質，數學思想方法，提升分析、思考、研究問題的思維能力.

1.真題展示

（2016年浙江·寧波卷）從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.

（1）如圖4，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線.

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數.

解析：（1）根據完美分割線的定義只要證明：①△ABC不是等腰三角形；②△ACD是等腰三角形；③△BDC∽△BCA即可.

（2）分類討論：分三種情形討論即可.①如圖6，當AD=CD時，可求得∠ACB=96°；②如圖7，當AD=AC時，可求得∠ACB=114°；③如圖8，當AC=CD時，不合題意.

所以∠ACB=96°或114°.

2.試題改編

給出一個新定義：如果三角形的一個內角恰好是另一個內角的一半，那么這個三角形叫做“半角三角形”.例如，在△ABC中，則△ABC是“半角三角形”.

（1）若“半角三角形”是直角三角形，求它的三個內角度數.

（3）①如圖10，“半角三角形”ABC中，∠B=32°，∠C=64°，則可以把△ABC分割成兩個等腰三角形，請你給出分割的方案；

②“半角三角形”是否一定可以分割成兩個等腰三角形？并請說明理由.

解析：（1）此問中的另一個內角并沒有指明是直角還是銳角，因此需要分類討論：當一個內角是直角的一半時，三角形的三個內角度數分別為90°，45°和45°；當一個銳角是另一銳角的一半時，三角形三個內角度數分別為90°，30°和60°.

（2）此問可運用：如果一個三角形是2倍角三角形，則2倍角所對邊的平方等于一倍角所對邊乘以該邊與第三邊的和.如圖6，在△ABC中，若∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C所對的邊分別用a、b、c表示，則a2=b（b+c）.

（3）①因為在2倍角的三角形中，當2倍角關系中較小的那個角小于45°時，一定能分成兩個等腰三角形.具體圖形略；

②不一定.反例：如三個內角度數為100°，50°，30°的三角形；一般情況，若三個內角為2α，α，180°-3α，且45°＜α＜60°的三角形就不能分割成兩個等腰三角形.

四、解題反思

“數學試題是永遠做不完的！”那么如何在中考備考復習中通過一個或少數題目實現課堂教學效益的最大化呢？筆者認為進行一題多考量、一題多串聯是一種非常有益的嘗試.

首先，一題多考量有助于學生對數學知識和數學思想方法的理解和運用，有助于學生遷移能力的形成，有助于學生發散思維能力的提高.學生通過多角度思考問題，深入探究問題本質，從而找到解決問題的途徑.通過把同一問題的不同方法放在一起探究，不僅對解題方法作了歸納總結，而且對解題思想進行了梳理.這樣的教學方式，一方面能使學生避免“題海”戰術，減輕學生課業負擔；另一方面對知識的掌握、思維和能力的培養起著至關重要的作用.

其次，一題多串聯是指從不同角度，或不同情境，或不同層次，對數學中的某些例題、習題或中考試題進行條件的弱化或變化，使其暴露問題的本質特征，從而揭示不同知識點之間的內在聯系，通過解決原問題促進新問題的誕生和解決.一題多串聯教學不僅僅是一種數學教學方式，而且是一種數學教學思想，通過一題多法、一圖多變、一題多變等訓練，幫助學生在變式訓練中發展思維的靈活性與發散性.“解一題，會一類，通一片”，讓學生由此及彼，并感悟出同類問題的深層結構，使得學生下次再碰到類似問題時能快速找到切入點，順利貫通思路，提升解題能力的同時，發展數學洞察力，訓練思維的深度，讓一題多變成就精彩，讓課堂高效起來.

1.沈岳夫.對一道期末考試題的研究與拓展［J］.中學數學（下），2017（3）.

2.沈岳夫.細研解題思路 提煉解題模型［J］.數學數學，2017（1）.

3.嚴浩良，沈岳夫.對一道“新定義”型探究題的解法探析與拓展［J］.中學數學（下），2016（2）.

4.沈岳夫.抓住特殊角度 探求一題多解［J］.數學數學，2017（2）.J