巧用錯題資源 提升學(xué)習(xí)能力

☉浙江省寧波市奉化區(qū)剡溪中學(xué) 鄭 鋒 王祥表

所謂錯題就是指習(xí)題本身在文字語言或者圖形語言表述上出現(xiàn)了條件欠缺、互相矛盾或結(jié)論不可求證的題目.教師們在教學(xué)中經(jīng)常會遇到一些錯題，有的錯題題目本身就出現(xiàn)了表達(dá)性錯誤，解答者得不到答案；有些錯題沒有明顯的錯誤，只有在解答中才會出現(xiàn)相互矛盾的結(jié)果.

當(dāng)我們在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)了錯題，通過師生合作、生生合作的方式更正錯題，進(jìn)而對于更正后的錯題一題多解，或者變式練習(xí)，這種方式有效地激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣一旦激發(fā)，課堂效率也隨之提高，學(xué)生學(xué)習(xí)能力也得以提升.在美國數(shù)學(xué)教育家Tam Kieren寫的《數(shù)學(xué)教育研究——三角形》一書中，他提出了把數(shù)學(xué)教育研究的對象視作三角形的三個頂點，即數(shù)學(xué)教育是有三個研究方面：課程、教學(xué)、學(xué)習(xí).而三角形的中心稱為“興趣中心”，指學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣（如圖1）.

由此可見，錯題資源的有效利用，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，也能有效地提高課堂效率，最終轉(zhuǎn)化成學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.以下是由學(xué)生在練習(xí)中所發(fā)現(xiàn)的一個錯題，筆者以此為例談?wù)勫e題資源對學(xué)生學(xué)習(xí)能力提升方面所起到的作用.

一、試題呈現(xiàn)

如圖2，在正方形ABCD中，折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長為______.

本題條件中出現(xiàn)了正方形及∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，由此學(xué)生會朝著正方形的性質(zhì)、等邊三角形、30°特殊直角三角形方向思考，以此添加輔助線.在課堂中，同學(xué)們很快解答出了答案，幾乎每個同學(xué)都有自己的想法，加上參考答案，大致有以下四種解法.

二、解法展示

解法1：如圖3，分別延長AE和FE交BC于點G和H.因為在正方形ABCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因為∠DAE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因為AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，AG=AE+EG=5. 因為∠AGB=60°，可得BG=，所以BH=BG-GH=，即BC=解法2：如圖3，分別延長AE和FE交BC于點G和H.因為在正方形ABCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因為∠DAE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因為AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，AG=AE+EG=5.因為∠AGB=60°，可得，所以AB

解法3：如圖3，分別延長AE和FE交BC于點G和H.因為在正方形ABCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因為∠DAE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因為AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，即CG=2.設(shè)正方形的邊長為x，在Rt△ABG中，因為∠BAG=30°，所以AB=G，可列得方程x=x-2），解得x=3+

解法4：（參考答案）如圖3，分別延長AE和FE交BC于點G和H.因為在正方形ABCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因為∠DAE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因為AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，即CG=2.設(shè)正方形的邊長為x，在Rt△ABG中，可列得方程x2+（x-2）2=52，解得x=

四種不同的解法得到了不同的結(jié)果，解題思路也都正確，同一個題出現(xiàn)了不同的結(jié)果.或許當(dāng)我們在教學(xué)中遇到此類問題的時候有些老師可能會告訴學(xué)生“這是一個錯題”，或許就錯過了一個利用錯題再學(xué)習(xí)的機會.巧妙地利用錯題，不僅能解決了錯題本身的問題，還能激發(fā)學(xué)生解決錯題的興趣，也進(jìn)一步提升了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題、解決問題的能力，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高.

對于上述錯題，筆者通過師生合作、生生合作的方式對該題進(jìn)行了探究.以下是一段師生對話的內(nèi)容.

生1（鼓足勇氣）：會不會這題目有問題？

師：為什么？你是怎么看的？

生2：一個題目如果有多個答案，那肯定是分類討論的結(jié)果.但是該題沒有這個必要.許多學(xué)生表示贊同.

師（豎起大拇指）：這位同學(xué)非常有勇氣，敢于質(zhì)疑.請大家記?。禾岢鲆粋€問題往往比解決一個問題更為重要，這就是創(chuàng)新啊！既然大家都覺得這個題目有問題，那它錯在哪，我們可以如何進(jìn)行改進(jìn)呢？

生3：根據(jù)解法1和解法2，AB和BC的值不同，我覺得這應(yīng)該是一個矩形.所以可以把“正方形”改成“矩形”.

師：你很善于觀察發(fā)現(xiàn).其實“矩形ABCD”、“折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4”和“∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°”這三個條件是并列的，要不我們將后面六個條件任意刪去一個試試.

三、試題改進(jìn)

變式1：在矩形ABCD中，折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，則矩形ABCD的長和寬分別為______.

解：如圖4，分別延長AE和FE交BC于點G和H.因為在矩形ABCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因為∠DAE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因為AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，AG=AE+EG=5.因為∠AGB=60°，可得，所以BH=BG-，即BC=因為∠AGB=60°，可得，所以

變式2：在正方形ABCD中，折線EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長為______.

解：如圖5，延長AE交BC于點G.因為在正方形ABCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因為∠DAE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因為EF=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，即CG=2.設(shè)正方形的邊長為x，在Rt△ABH中，因為∠BAG=30°，所以AB=，可列得方程x=x-2），解得x=

變式3：在正方形ABCD中，折線AE=3，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長為______.

解：如圖6，分別延長AE和FE交BC于點G和H.因為在正方形ABCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因為∠DAE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.設(shè)AB=x，EF=a，在Rt△ABH中，因為∠BAG=30°，可列得方程，

變式4：在正方形ABCD中，折 線 AE=3，EF=2，∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長為______.

解：如圖7，延長CF交AD于點G，其余過程同變式2.

變式5：在正方形ABCD中，折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠AEF=60°，則正方形ABCD的邊長為______.

解：解答過程同上述的解法4.

變式6：在正方形ABCD中，折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長為______.

解：如圖8，分別以AB和BC所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系，點D的坐標(biāo)為（a，a），過點E作EG⊥AD，垂足為G，再連接EG.因為AE=3，∠DAE=60°，所以點E的坐標(biāo)為因為EF=2，F(xiàn)C=4，∠EFC=60°，所以EC=.根據(jù)點C和點E的兩點距離公式，可列得，解得a=

變式7：在正方形ABCD中，折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長為______.

解：如圖9，延長EF交AD于點G，過點F分別作FH⊥AD，F(xiàn)I⊥CD，垂足分別為H和I.因為∠DAE=∠EFC=60°，所以△AEG為等邊三角形.因為AE=3，EF=2，可得FG=EG-EF=設(shè)正方形的邊長為x，在Rt△CFI中，解得

通過師生、生生合作，巧妙地利用了習(xí)題中的錯題，將錯題視為一種再學(xué)習(xí)的資源，通過錯題不僅回顧了正方形、等邊三角形、30°特殊直角三角形的性質(zhì)以及常規(guī)的輔助線的做法，也復(fù)習(xí)了解題中運用的方程思想、轉(zhuǎn)換思想等.巧妙地利用錯題資源進(jìn)行錯題更正，變式練習(xí)，將學(xué)生單純地掌握知識提升到了運用知識進(jìn)行命題的新高度，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力也達(dá)到了另一個境界.

四、幾點思考

建構(gòu)主義觀點認(rèn)為：數(shù)學(xué)的知識不可能僅僅依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以鞏固，必須有一個自我否定、自我糾錯的過程.所以，學(xué)生所犯的“錯誤”是我們寶貴的教學(xué)資源.同樣，少數(shù)的試題“錯誤”，如不嚴(yán)密、條件少、條件多……在平時的教學(xué)中，如能發(fā)現(xiàn)及時，并處理得當(dāng)，將會使課堂增色不少.正如上述的試題，“錯誤”在于條件過多，七個條件中只要任意刪去一個都是一道好題，而且有個別題的思維含量還挺高的.

所以在課堂上出現(xiàn)不同的“錯誤”時，我們切不可自亂陣腳，應(yīng)當(dāng)要惜“寶”，要有自己的“待錯”態(tài)度：容錯——思錯——糾錯.

1.容錯

對待學(xué)生的錯誤我們或許會理性和寬容，但是對待試題中的“問題”，可能就有老師說了：“題目有問題，這是一個錯題.”其實，題目出得不嚴(yán)謹(jǐn)固然不對，需要克服，但是既然遇到了這個問題，我們不如“將錯就錯”，好好利用好這個“錯題”.

2.思錯

在上述的試題呈現(xiàn)出幾種不同的答案時，學(xué)生達(dá)到了最高的興奮點.他們都想從別人的解答過程中看出什么破綻，但是又無濟(jì)于事，心里一直在想：到底“錯在哪”.這是學(xué)生思維最為活躍的時候，也是最會產(chǎn)生智慧火花的時候.首先，他們肯定先檢查一番自己的解答過程，確定無誤后，再次回到題目上去，看是否審題出錯，當(dāng)所有的檢查都確認(rèn)沒有錯誤時，就有個別學(xué)生大膽地提出疑問：會不會是試題有問題？

3.糾錯

通過師生、生生合作共同思錯，接下來的糾正錯誤也就水到渠成、迎刃而解了.試題不是條件多了嗎，那我們就一起進(jìn)行壓縮，把出現(xiàn)的新問題再一起解決.所以對待教學(xué)中的一些“錯誤”，有時候不妨“將錯就錯”，或許能因錯而美.

五、結(jié)束語

錯題資源的巧妙運用能讓學(xué)生全面參與到問題的認(rèn)知、探索、發(fā)現(xiàn)、設(shè)計中去，獲得系統(tǒng)性的知識，并提升合作學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)的能力.通過錯題資源的合理運用，使課堂教學(xué)方式和模式多樣化，既梳理了知識內(nèi)容，也使學(xué)生學(xué)習(xí)能力得到了有效的提升，同時也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.錯題不再是實際意義上的錯題，而是一種再學(xué)習(xí)的資源，只要我們在教學(xué)中多思考、多利用，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣激發(fā)了，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力也提升了.

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