滲透分類討論思想 提升數學解題能力

李早華

(江蘇省海門市第一中學 226100)

一、參數分類，分析函數變化

高中數學試題中，往往會涉及較多的參數.參數范圍的變化，會引起函數的變化，因此，在解題的過程中，必須將影響函數變化的參數進行分類討論.

在習題課上，我給學生出了一道題.題目是：證明函數f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒為正數.學生剛看到試題時，大多數并沒有思路.我先問：影響f(x)的數值的因素有哪些呢？學生紛紛回答是參數x.然后，我就引導學生對參數進行分類，將參數x分為三類：x<0、0≤x≤1、x>1.當x<0時，f(x)的每一項都是正數，則f(x)一定大于零；當0≤x≤1時，x6-x3+x2-x+1中的x6-x3，x2-x均小于等于零，所以就不能判斷x6-x3+x2-x和1的大小關系，將函數進行變形，即f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x),這樣各項都是大于零，函數為正數.當x>1時，我們也可以將函數形式進行變形，可以得到x3(x3-1)+x(x-1)+1，這樣各項都是大于零的.綜上所述，函數f(x)的值恒為正數.

在高中數學試題中，關于參數分類的試題眾多，在教學過程中，遇到參數問題，教師應當為學生不斷滲透分類思想，促使學生能夠舉一反三，很好地解決類似問題.

二、結果分類，探究變量數值

高中數學中，有些問題的結果，通過認真閱讀試題，學生可以做一個預判.通過前提假設結果，去探討題目中涉及變量的數值，也是分類思想在高中數學的一個重要應用.問題的結果包含多種情況，抓住主要影響變量，確定其變化的條件和范圍，就可以很好的得到我們預定的結果.當然，最初假設的結果可能也存在錯誤，在學生對變量進行分析時，也要引導學生對結果進行論證，這樣，學生邏輯思維能力會得到全面提升.

最值問題，學生往往都知道函數在極值點、端點處容易取得最值.但是在實際解題中，學生經常因為不知如何有效分類，而導致出現錯誤.為了使學生在解決最值問題上提高準確率，我對其可能的情況進行分類講解.首先最值可能在單調性變化處改變，由此，需要對函數的單調性進行分類，函數的導數值的正負性可以很好的反映函數的單調性，因此對函數的導數進行分類，當f′(x)>0時，f(x)為增函數，當f′(x)<0時，f(x)為減函數.確定函數單調性之后，那么需要對函數值進行分類，函數值可能為最大值，也可能為最小值.當函數在x0為極大值點，那么在x0附近的點，都有f(x)

三、公比分類，確定取值范圍

分類討論思想在解決高中數學數列問題中也得到了廣泛應用，特別是在解決周期性數列、等比數列問題等方面.學生利用分類討論的思想，對數列公比進行分類討論，可以很快地確定函數的取值范圍，即提高了解題速率，也提高了解題的準確性.

在解決等比數列問題時，往往要對公比進行分類，這樣才能更好地得知等比數列各項數值.例如：設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a3=3/2，S3=9/2，求數列{an}的通項公式.在解決該問題時，如果不對公比進行分類，則會漏項，出現錯誤.在解決這樣問題時，首先對公比進行分類，當q=1時，a1=a2=a3=3/2，則an=3/2.若q≠1時，Sn=a1(1—qn)/(1—q)，an=a1qn-1，可得an=6×(-1/2)n-1.將分類討論的思想滲透到數列的教學中，為學生捋清解決數列問題的思路提供了良好的方法.這樣，有助于提升學生解題的正確性和自信心.

四、底數分類，明確對數關系

在高中數學解題過程中，對于對數問題往往需要進行分類討論，通過分類討論才能有效的保證學生能夠從各個角度認識問題，對問題有深度的解析，提升解題的效率和準確性.

在教授與對數有關的內容時，我們往往要對底數進行分類，因為底數的不同會影響對數函數的單調性.當底數大于0小于1時，對數函數在定義域上單調遞減；當底數大于1時，對數函數在定義域上單調遞增.在教授這部分內容時，我首先給學生們出了一道題目，題目的內容是解不等式logn(1-1/x)>1.學生們看到這道題目中含有兩個未知數，之后感覺很茫然不知道該如何去入手.然后我提醒學生們對底數n進行分類討論，聽到我的提醒后學生們恍然大悟，然后學生們趕緊進行解答.不一會兒，學生們便得出了結果.學生們的結果非常正確.后來我讓學生們對對數的性質進行復習，因為只有熟練地掌握對數的相關性質才能更好地對對數問題進行分類討論.

總之，分類討論思想是高中數學解題中常用的一種思想.有效的對問題進行分類，不僅可以提高解題的速率，還可以提高解題的準確性.