含參不等式求解的思維方向

郭洪林

(黑龍江省哈爾濱市第三中學 150001)

含參不等式恒成立問題常與函數、方程、數列等知識交匯，又涉及到諸多的數學思想和數學方法，一直是解題的難點.本文根據自己對此類題型的求解體會，歸納出以下幾種求解方法，希望提高學生解答此類問題的能力.

一、最值法

我們知道，要使不等式f(x)≥0恒成立，只要f(x)的最小值f(x)min≥0即可.因此問題轉化為求出f(x)的最小值，再繼續求解，得出參數的值(或范圍).

例1 (2017全國卷Ⅱ21題(1))已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0，求a的值.

解易見f(x)的定義域是(0，+∞)，因此f(x)≥0等價于g(x)=ax-a-lnx≥0恒成立.

觀察易見g(1)=0,故x=1應是g(x)的一個最小值點.

可見x∈(0,1)時，g′(x)<0,g(x)遞減；x∈(1,+∞)時，g′(x)>0,g(x)遞增.因此x=1是g(x)的最小值點，則有f(x)≥g(1)=0.

綜上知a=1.

點評本解法中觀察出g(1)=0是解題的關節點.上述求解的前半部分，利用特殊的g(1)=0是最小值，求出a=1；后半部分論證了a=1時，f(x)≥0恒成立.因此a=1是f(x)≥0的充要條件.

本例若觀察不到g(1)=0，也可采用將a分類討論來求f(x)的最小值，但是過程比較復雜.

二、分離參數

對于含參數a的不等式f(x,a)≥0，若能設法分離出參數a，化成a≥g(x)或a≤g(x)恒成立的問題，那么只要求出g(x)的最大值或g(x)的最小值，從而得到參數a的取值范圍.

例2 (2008江蘇卷14題)f(x)=ax3-3x+1對于x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立，則a=____.

分析本題中參數a的“系數”x3的符號不確定，為了分離出參數a，需對x的符號進行分類討論.

解(1)若x=0,則f(x)=1，顯然對任意a的值，f(x)≥0恒成立.

綜合上述三種情況，要使x∈[-1,1]時不等式f(x)≥0都成立，得a=4.

三、變更主元

在含參數m的不等式f(x,m)>0中，受常規思維的影響，往往把它看成關于變元x的不等式來考慮，而這樣的思維方式常常難以尋得解題思路，或囿于思路的復雜而陷入困境.此時若能及時調整思維方向，視已知范圍的量為主元，常可使思維豁然開朗.

例3 若函數f(x)=mx2-mx-6+m對任意x∈[-2,2]都有f(x)<0成立，求x的取值范圍.

分析本題所給是關于x的函數f(x)，常規思路是首先要分m=0，m≠0考慮f(x)是否二次函數；而m≠0時，又要按m<0,m>0兩種情況考慮相應拋物線開口方向；接著還要考慮對稱軸、最值點位置情況.簡直是太復雜了.注意到本題中的條件是m的范圍[-2,2]是已知的，應充分利用這個條件，把已知函數式視為關于m的函數，就容易把握問題了.

解把題設函數視為關于m的函數，即g(m)=f(x)=(x2-x+1)m-6,m∈[-2,2].

四、數形結合

將不等式轉化為形如f(x,m)>g(x,m)，然后考察該式左、右兩個函數圖象之間的上下位置關系問題，使解題直觀而易操作.

例4 (2013全國Ⅱ卷21題)已知函數f(x)=ex-ln(x+m).(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；(2)當m≤2時，證明f(x)>0.

解(1)略.

分析要證f(x)=ex-ln(x+m)>0,即證ex>ln(x+m).

聯想到課本上的兩個不等式ex>1+x,lnx

證明設g(x)=ex-(x+1),g′(x)=ex-1.當x<0時，g′(x)<0;當x>0時，g′(x)>0.因此x=0是g(x)的最小值點，即g(x)≥g(0)=0,得ex≥x+1(取“=”時，x1=0)①.

當x<1-m時，h′(x)>0;當x>1-m時，h′(x)<0.因此x=1-m是h(x)的最大值點，有h(x)≤h(1-m)=0，也即ln(x+m)≤x+m-1(取“=”時，x2=1-m)②.

而當m≤2時，有x+1≥x+m-1，則由①和②有ex≥ln(x+m).

①和②同時取“=”的條件是x1=x2，即1-m=0,m=1;且x+1=x+m-1，得m=2.但m=1與m=2不能同時滿足，故有ex>ln(x+m),即f(x)>0.

說明本例中的①和②兩個不等式，其實就是人教版《數學選修2-2A》第32頁B的1(3)、(4)兩個不等式的變形推廣.因此熟悉課本中的典型題目，并且明了題目的圖形背景，這對我們開拓思維，理解題意，構建解題思路十分有益，常可化隱為顯，化難為易.