橢球被平面截得的截面面積

黃 之

(上海智啟教育培訓有限公司 200000)

本文首先得到平面截橢球所得的截面的面積，然后提出一些與此相關的問題.其中一些比較繁雜的運算會省略，因為那將耗費很大篇幅.

一、因為容易看到，任何一個平面截橢球，截面必然是橢圓，其在軸截面的投影也是一個橢圓，所以，應該首先得出平面上橢圓的面積的一般公式.

設xOy面上有一條二次曲線為F:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0，首先通過平移變換將它的一次項消去.這只需要設F:a(x-s)2+b(x-s)(y-t)+c(y-t)2+g=0,展開后進行系數對比，得到：

眾所周知，當判別式Δ=b2-4ac為負數時F為橢圓，為0時F為拋物線，為正數時F為雙曲線(都包括退化情形).(s,t)即是F的對稱中心，當判別式為0時F所表示的拋物線的中心在無窮遠處.

這樣，就可以把任何一個橢圓化為形如E:ax2+bxy+cy2+g=0，下面求E的面積.首先將它的xy項消去，即進行旋轉變換.易得：將E繞著原點逆時針旋轉θ角后的方程為：

(acos2θ-bsinθcosθ+csin2θ)x2+((a-c)sin2θ+bcos2θ)xy+(asin2θ+bsinθcosθ+ccos2θ)y2+g=0

其中A=acos2θ-bsinθcosθ+csin2θ,B=asin2θ+bsinθcosθ+ccos2θ.

(順便指出，由此可以得到E有兩條對稱軸：y=k1,2x，其中k為bk2+2(a-c)k-b=0的實根.)

而且可見G與H的位置關系取決于T′=a2p2+b2q2+c2-r2的正負，當T′>0時交于實橢圓，當T′=0時相切，當T′<0時相交于虛橢圓.

那么，由一中的公式可以得到投影G′的面積為：

三、現在將平面的方程改為一般式K:Ax+By+Cz+D=0.

其中T=a2A2+b2B2+c2C2-D2，當T>0時交線為實橢圓，當T=0時平面與橢球相切，當T<0時平面與橢球交于虛橢圓.

下面將二維的計算結果列出來作對比：

令t=a2A2+b2B2-C2，當t>0時直線與橢圓交于兩個不同實交點，當t=0時直線與橢圓相切，當t<0時直線與橢圓交于兩個不同的虛交點.

雖然還可以繼續計算四維的情形：四維空間中一個三維平面截超橢球所得到的橢球的體積.可是這樣的方法顯然會使運算量極其龐大！

四、下面來簡單的應用一下這個截面面積公式：

1.如果一個平面同時經過橢球

的三個頂點A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),求平面ABC截橢球所得的面積與三角形ABC的面積之比.

2.從橢球外一點P看去，看到的區域面積(觀察者認為這平面，不理會視覺差異，定義為這個區域的實際面積)為固定數值S，求所有的P構成的軌跡.

設過P作G的某一個切面的切點為P1(x1,y1,z1)，則該切面的方程為：

這相當于說，所有的切點都滿足下面這個方程：

它是一個平面，故而所有切點都在一個平面上，且切點確定的平面方程就是U.

那么從P(x0,y0,z0)看橢球，看到的就是U截橢球所得到的截面，由文中公式得到：

此問題如果考慮視覺的話，應該會稍微復雜一點，在上述基礎上還應乘以某個角的余弦值.

另外，在二維上也可以有類似的問題，比如：

1.從橢圓外一點P看橢圓，總是看到一條長度為定值L的線段，求所有的P構成的軌跡.

2.從橢圓外一點P看橢圓，看到橢圓的視角總是一個給定大小的角(0度至180度)，求P點的軌跡.