二項式定理教學探究
——從知識的形成過程詮釋計數原理

姚 剛

(浙江省寧波外國語學校 315211)

一、 問題引入，激發學生興趣

引入：二項式定理研究的是什么？研究：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=?(a+b)4=? (a+b)5=?

問題1：展開上述表達式，展開式各有多少項？系數是多少？(學生動筆展開表達式)

問題2：感受系數與什么數相關？排列數？組合數？(引導學生思考方向)

問題3：二項式定理僅僅研究這幾個式子嗎？(a+b)100=? 那么(a+b)n的展開式又是什么？

筆者的用意是以問題鏈的形式作為教學的起點，直接給出本節課需要解決的問題，同時板書展開式各項系數時，以楊輝三角的結構書寫，觀察系數的特點；

二、通過對(a+b)3的再次分析，引出計數模型

學生在展開過程中竊竊私語，覺得n慢慢變大時，展開越來越繁瑣，那么如何比較簡捷地求出系數呢？激發學生學習興趣.學生通過觀察發現：

(1)n=4、5的系數與n=3的系數有遞推的聯系；

(2)系數與我們的組合數有一定的聯系.

引導學生從組合數的角度與嘗試解釋，筆者又給出了第一個探究以及問題鏈：

問題1：如何展開(a+b)3？a3如何來？項如何產生？

板書：(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) =(a·a+a·b+b·a+b·b)(a+b)=a·a·a+a·b·a+b·a·a+b·b·a+a·a·b+a·b·b+b·a·b+b·b·b=a3+3a2b+3ab2+b3.

筆者板書一步一步展開，意圖讓學生感受項的產生過程，感受組合在展開過程的作用.

三、 由特殊到一般歸納出定理

同學們分組討論，通過對計數模型的討論，得出n=4、5其實不需要繁瑣計算就可以得出系數，筆者趁熱打鐵，又給出了第二個探究：推廣到一般結論

探究2：根據上述過程，請你推導(a+b)n展開式中有哪些項？系數是多少？

根據(a+b)3的展開原理不難發現(a+b)n中的項為：

an，an-1b，an-2b2，…，an-kbk，…，abn-1，bn，

教師指出：二項式定理就是我們計數模型的運用，從中告訴學生，我們計數原理是很有用的，而且身邊隨處可見，然后由學生總結出二項式定理的公式特征：

項數有n+1項；

次數和為n次，按b的升次或a的降次排列；

最后反思：通過本次教學，讓學生體會了整個探索過程，找到科學探索的一般規律：先找到特殊例子，再觀察特殊例子中的規律，形成不完全歸納、猜想，然后再去試圖證明或否定這些猜想，這對學生數學能力的提高非常重要，本節課有兩處歸納：

(1)發現n=3，n=4，n=5，…的系數有聯系，后續可以用數學歸納法證明;

(2)發現系數都是組合數,然后，根據這些猜想嘗試證明，挖掘出了其蘊含的內涵，得到了二項式定理.

但是很多時候我們忽略這些定理、公式最初發現所受到的艱辛歷程，再加上，傳統的教學比較重結果，輕過程，重應用，輕探究，從而導致我們學生看不到原理的生成，使學生對數學產生了一種數學難的想法，這絕對是我們不希望看到的.

教學過程中知識的運用固然重要，但是凸顯數學的本質才是關鍵，我們不必急于對知識進行機械的訓練，而應追求水到渠成的教學效果，只有這樣，才能增強學生的學習能力，提高學生綜合素質，才能真正體現高中數學課程標準的理念.