“冪函數” 教學設計、反思及評析

楊永強 高勤

【教學分析】

一、教材分析

“冪函數”選自人教版高一數學教材必修1第2章第3節.冪函數是基本初等函數之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用.學生在初中曾經研究過y=x，y=1/x，y=x2三種冪函數，這節內容是對初中有關內容的進一步概括、歸納與發展，是與冪有關的知識的高度升華，可以培養學生邏輯推理能力，落實學科核心素養.從教材的整體安排看，冪函數的學習是為了讓學生進一步獲得比較系統的函數知識和獲取研究函數的方法，為今后學習三角函數等其他函數打下良好基礎.

二、學情分析

學生數學基礎較好，熟悉學案導學式的授課方式.通過之前的學習，學生已經會用描點畫圖的方法來繪制指數函數、對數函數圖像，并能借助函數圖像來研究函數性質，掌握了利用函數的定義域、值域、奇偶性、單調性來研究函數的方法，具備一定的數學思維和分析問題、解決問題的能力以及合作探究能力.

三、教學目標

知識與技能：

1.通過實例了解冪函數的概念；

2.會畫簡單冪函數的圖像，并能根據圖像得出這些函數的性質；

3.利用冪函數性質比較大小.

過程與方法：

1.通過觀察、總結冪函數的性質，培養學生的概括抽象能力和識圖能力；

2.使學生進一步體會數形結合思想以及從特殊到一般的思維方式.

情感、態度與價值觀：

1.通過生活實例引出冪函數的概念，使學生體會到數學在實際生活中的應用，激發學生的學習興趣；

2.通過師生、生生之間的討論、互動，培養學生數學核心素養中的邏輯推理能力.

四、教學重、難點

重點：常見的冪函數的定義、圖像和性質.

難點：畫冪函數的圖像，引導學生概括出冪函數的性質.

【教學流程】

一、情境創設，問題引入

數學在生活中是無處不在的，下面讓我們看一下生活中的5個數學問題，請同學們讀題并解答.

這就是我們這節課要學習的冪函數，請同學們齊讀本節課的學習目標（學生齊讀本節課學習目標）.

投影顯示：學習目標：1.了解冪函數的概念；2.會畫簡單冪函數的圖像，并能根據冪函數的圖像得出冪函數的性質.

二、知識構建，對照梳理

由5個特殊冪函數歸納出冪函數的定義，請學生觀察這5種冪函數的形式，看看它們有哪些共同特征.

投影顯示：y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1.

冪函數定義：一般地，我們把形如y=xa的函數稱為冪函數，其中x是自變量，a是常數.

投影顯示：判斷下列哪些函數是冪函數：（1）y=x4，（2）y=，（3）y=-x2，（4）y=x0，（5）y=2x，（6）y=x3+x.

答案：（1）（2）（4）是冪函數.

解疑1：（5）是什么函數？（追問）指數函數和冪函數有什么區別？

答：自變量位置不同，冪函數的自變量在底數上，指數函數的自變量在指數上.

解疑2：如何判斷一個函數是否為冪函數？

答：自變量在底數上，指數為常數，系數為1，項數為1.

（教師引導）

根據a的不同，冪函數是千變萬化的，其中有什么規律可循呢？我們再來看這5個解析式，我們就以它們為代表，研究冪函數的性質.我們要研究冪函數的性質，往往要借助冪函數的圖像.大家看這里，有沒有我們學過的函數？

投影顯示：y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x .

請同學們快速借助學案中的網格坐標系，在同一坐標系中畫出你熟悉的函數的圖像（學生在黑板上教師所畫坐標系中畫出圖像，教師糾正）.

這里有兩個陌生的函數y=x3，y=x ，我們如何畫出函數的圖像？采用怎樣的步驟呢？

列表、描點、連線（學生在黑板上教師所畫坐標系中畫出圖像）.

為了有所區分，教師在黑板上用不同顏色的粉筆分別畫y=x3和y=x 的圖像.

教師用幾何畫板在同一坐標系當中畫出了這5個冪函數的圖像，請學生觀察圖像的分布特征，哪些象限里有冪函數的圖像.

投影顯示：列表、描點、連線做出的圖像；用幾何畫板在同一坐標系當中做出的5個冪函數的圖像（如圖）.

探究1：冪函數的圖像分布的象限特征.

答案：冪函數在第一象限都有圖，在第四象限都沒有圖.

探究2：冪函數在第一象限圖像的變化趨勢是什么？如何繪制其他冪函數在第一象限的圖像？

教師引導：為了幫助大家明確各冪函數圖像的變化趨勢，在這里引入兩條線，分別是x=1，y=1，這樣就將第一象限分成了四個部分，分別用①②③④區域來表示.

得到性質：（1）如果a>0，則冪函數圖像過第一、三區域，是增函數；如果a<0，則冪函數圖像經過第二、四區域，是減函數.（2）在各區域內逆時針旋轉，指數a逐漸增大.

探究3：歸納冪函數的性質.

學生在黑板上歸納每一個冪函數的性質，教師引導學生檢查并改正表格填寫中的問題.

探究4：函數的奇偶性和單調性是根據a的不同而不同，它們有什么共性？（學生小組討論后分享組內同學研究出的共性特征.）

答案：指數是奇數時函數為奇函數，指數是偶數時函數是偶函數；在第一象限內，指數大于零時函數是增函數，指數小于零時函數是減函數.

總結：奇偶性，看指數，指奇奇，指偶偶；一象限，正遞增，負遞減.

探究5：如果冪函數在其他象限有圖像，那么我們可以利用冪函數的什么性質來補全它的圖像呢？

答案：奇偶性.

三、重難突破，探究解惑

例1 函數f （x）=（m2-m-1） xm -2m-3是冪函數，且在（0，+∞ ）上是減函數，求m的值.（投影顯示例1，學生在屏幕上書寫計算）.

歸納提升：這是有關冪函數定義的應用，明確冪函數的定義.

例2 比較大小

（投影顯示例2，學生說答案，引導學生利用所學冪函數性質解題.）

歸納提升：利用冪函數單調性比較大小.

四、歸納總結，提升能力

冪函數的概念、圖像、性質.

五、知識反饋，作業鞏固

學案作業：完成，限時反饋.

【教學反思】

冪函數作為一類重要的函數模型，是學生在系統學習了指數函數、對數函數之后研究的又一類基本初等函數.學生已經有了對指數函數和對數函數的圖像和性質的學習經歷，本節課要使學生再次經歷函數的研究過程，獲得學習體驗，落實學科核心素養.

以學生為主體，讓學生經歷知識構建的過程.本節課先由生活中的實際問題入手，得到5個函數解析式，通過引導學生總結這5個特殊冪函數的共同特征得出冪函數的定義.整節課都圍繞5個特殊函數展開，教學設計環環相扣，教學結構完整而連貫.學生通過采用歸納類比的邏輯推理來舉一反三，形成合乎邏輯的思維方式和有條理性的交流方式，學科核心素養在過程中得以落實.

設置系列探究問題，提升學生探究能力.本節課無論是概念的生成、圖像的繪制還是性質的歸納，都使學生感受到從特殊到一般的邏輯推理過程和層層遞進的研究方式.在冪函數圖像繪制的教學環節，由特殊函數圖像到第一象限函數圖像趨勢，再到繪制任意冪函數在第一象限的圖像，更是對學生邏輯推理能力的一大考驗.我通過5個探究問題將難點分解，分層遞進、逐一解決，讓學生經歷了提出問題、解決問題的全過程.

利用課堂生成問題，提升學生的學習能力.本節課涉及到很多冪函數圖像，學生的繪制過程并不順利，但我在授課過程中引導學生利用已有知識合作交流、相互補充，并隨時幫助學生修改所繪制的圖像，動態演示冪函數圖像的變化趨勢，有效地引導學生總結歸納解決問題的共性、通法.

用“導學案”有效延伸學生的學習空間.利用“導學案”的課前篇和課后篇將學生的學習過程覆蓋到課前及課后，并在本節課的課堂教學中充分引導學生，嘗試放手讓學生自主合作探究，在學生暴露問題時不急于灌輸答案，而是啟發學生互相補充，直至解決問題.

剖析存在的問題，提升教學能力.在課堂教學中，放手給學生的幅度越大對教師的課堂駕馭能力就越是一種考驗，我在這方面的能力仍顯薄弱，表現是：放得開，收得卻不夠及時果斷，掌控駕馭課堂的能力仍需提高.

【評析】

本節課是一節比較成功且精彩的“百花獎”現場課，楊老師采取“以問題為核心、以啟發為主導”的教學方法，借助自己編寫的學案，營造了教師點撥引導、學生積極參與、師生共同探討的課堂氛圍，對如何在課堂教學中落實高中數學核心素養做了大膽嘗試，教學效果良好，具體表現在以下幾方面.

1.教學設計合理.

本節課在充分分析教材和學情的基礎上，設定了合理的教學目標及教學內容，突出了重點，突破了難點.既幫助學生形成了冪函數的完整知識結構，又引導學生通過類比的方法再次體驗了函數的一般研究方法，將數形結合、分類討論等數學思想方法貫穿于整節課的教學，有助于學生學科核心素養的形成.在本節課中，學生真正成為了學習的主體，在整個教學過程中，教師幾乎沒有代替學生得出過任何結論，教師總是引導學生發現問題，引導他們找到解決問題的途徑，獲得學習體驗.

2.“問題”的設計精準有效.

教師對問題的設計頗下了一番功夫，問題的梯度搭建合理，問題串的核心直指數學本質.教師設計出的一系列問題貼近學生生活、融合學生已有認知、引發思維沖突、體現數學思維本質，同時又富有挑戰性.學生在教師設計的問題串的引導下最終形成了比較完整的知識網絡.

引入“問題”有針對性.“生活中的5個數學問題”針對學情，貼近學生已有知識經驗，激發了學生探究的興趣，并在解決這些問題的過程中，引導學生歸納出了冪函數的概念.

解疑及追問的“問題”有方向性.教師把問題設在學生有疑之處，引起了學生的認知沖突，而問題一旦得以解決，學生就會有“柳暗花明”的感覺，有極大的成就感，從而激起進一步探究的欲望.

探究“問題”有調控性.教師所設計的一系列探究問題既有較強的可操作性，促進學生動手、動腦，又有一定的開放空間，使學生通過合作、探究、交流，將思維引向深入.

3.“導學案” 使用得當.

這節課的導學案既有學習目標的引領，又有學習方法的指導，還有為探究本節知識所設計的問題串，更有問題的反饋和回收，將課堂比較好地延伸到了課前和課后，有效地促進了核心素養的落實.學案的課前篇比較好地引導學生進行課前的自主探究，課上篇的完成突出了本節課的重點，突破了本節課的難點.

存在的問題及建議：

課堂上越放手，對教師的課堂掌控能力要求越高.本節課楊老師在個別環節上實現了放得開，但收得卻不夠及時果斷，效果欠佳，駕馭課堂的能力仍需提高。比如最后一道例題是培養學生運算能力的最好時機，楊老師能夠在學生暴露運算問題時不急于灌輸答案，而是啟發學生互相補充，直至解決問題，但前面探究時間過長，習題的講解稍顯匆忙。建議在例題的講解過程中采用實物投影的方式展示學生的解題過程，讓學生合作解決問題，從而實現對知識的升華。