結構主義視域下的現代邏輯學

郝一江1,陶 侃

(1.中國社會科學院 哲學所，北京 100732；2.四川師范大學 馬克思主義學院，成都 610066)

關于數學與邏輯的關系問題，費雷格學派主張：“數學是邏輯學的一個分支”；布爾學派則認為：“邏輯學是數學的一個分支”[1]220。不爭的事實則是：邏輯學與數學不能相互剝離，它們“血脈相連”、“生命相依”，二者“你中有我，我中有你”[1]220。從邏輯學和數學雙重視域來看，形式化的現代邏輯學可以說是應用數學的一個分支，其高度抽象性和形式化特征決定了它像數學一樣具有廣泛的應用性。現代邏輯學的蓬勃發展，離不開對邏輯進行哲學反思。

邏輯哲學就是對邏輯進行哲學反思的科學。而數學哲學是數學的基礎，“是研究數學的本體論、認識論和方法論以及其他問題的知識體系”，數學哲學研究的問題最后都會涉及到數學與邏輯的關系[2]15。雖然邏輯哲學與數學哲學在研究的論題、研究的視角、研究的側重點和研究方式等方面都有所不同，但是由于邏輯(尤其是形式化的現代邏輯學)與數學具有如下共同特征：純形式化特征、高度抽象性、極端精確性和嚴格性、廣泛的應用性[2]15-16。這些共同特征以及數學和邏輯學常常具有一批共同或類似的課題，決定了邏輯哲學和數學哲學具有非常密切的關系。因此，從某種意義上說，對邏輯的哲學思考，很大程度上就是對數學的哲學思考。就像邏輯學與數學不能相互剝離一樣，邏輯哲學和數學哲學其實也是很難剝離開來的。

20世紀以來，結構主義在數學哲學中占據著主導地位，那么結構主義是否在邏輯學中也有所反映呢？這正是本文要探討的問題。

一 結構主義的四大學派及其基本觀點

19世紀，在微積分的算術化和集合論的建立基礎上，逐步形成了數學基礎的三大學派——邏輯主義、形式主義和直覺主義。邏輯實證主義者主張哲學唯一合法的研究領域是邏輯學，數學哲學則是研究數學語言的邏輯句法學和邏輯語義學[3]9。

20世紀初，哥德爾提出的不完全性定理說明，邏輯分析以存在建構自身作為參照，不然則會陷入無窮回歸；而邏輯分析則是在集合論語言的基礎上建構數學存在，這些觀點蘊含了結構主義的思想[3]9。20世紀60年代，奎因認為，約束邏輯變元的取值其實就是存在，哲學本體論可以通過語言加以研究，利用語言可以研究存在，結構主義因而進行了數學哲學的范式轉換。關系與其所依附的所有個體共同組成結構。根據結構所依附的個體的不同類型來看，數學結構主義主要包括四大學派：集合論結構主義[4]184-211[5]、先物(ante rem)結構主義[4]188-198、范疇論結構主義[6][7]、模態結構主義[8]。

集合論結構主義使用模型論中熟知的方式，來描述數學結構及其相互關系。模態結構主義，不是通過對結構或位置進行字面上的量化，而是通過借助于適當的關系和定義域的(二階)邏輯可能性，來滿足經典公理系統的隱含定義條件[4]185。先物結構主義則主張：利用結構中的位置可以定義數學對象，數學對象的指稱則要求結構與能夠例示它們的任何系統是相互獨立[9]；數學公式能夠由相干公式來描述，而且這些相干公式能夠由實際存在的先物結構來滿足[10]。范疇論結構主義本質上是通過一系列結構保持映射，為數學結構提供系統概念，從而為數學作出哲學解釋[7]。夏皮諾(Shapiro)認為，雖然這些學派有著明顯的區別，但是，不論是從主流數學的目的來看，還是從某種更深層次的哲學意義來看，這幾大學派其實是等價的。例如：處理哲學問題的一種方法與處理這種問題的其他方法，具有關聯性，這種關聯性可以通過系統間的自然轉換來表達[4]184。這些學派通過語言的途徑，把數學哲學引向了對意義和真理的探討以及對數學對象的存在建構[3]10。

結構主義對數學存在的語言建構是建立在邏輯主義、形式主義和直覺主義這三大學派的研究基礎之上的。這三大學派認為：結構主義可以利用語言框架來建構數學對象，這一點在模態結構主義和集合論結構主義中表現得尤為明顯，這使得結構主義的本體論建構與作為數學基礎的邏輯研究之間能夠建立起密切的關系，從而為邏輯學與本體論之間搭建了溝通的橋梁[3]12。范疇論結構主義掙脫了邏輯語言的束縛，創立了嶄新的本體論語言，在把語言納入存在的內涵的同時，還把存在上升到了語言的境界，并通過集合論與邏輯語言保持緊密的聯系，從而使得存在建構能夠像邏輯建構那樣成為嚴密的科學[3]13。

二 現代邏輯學具有結構主義特征

形式主義是20世紀上半葉出現的一種數學哲學思潮，它是極端唯名論在數學中的具體體現。而形式化則是現代邏輯學最重要的研究方法。形式化過程一般包括：進行預備性研究、構造形式系統并對其進行解釋、關于形式系統的元邏輯研究這幾大步驟[2]124-130。具體地說，對現實世界進行模擬的現代邏輯學形式系統，一般都遵循這樣的研究思路：首先，根據研究對象給出一個沒有歧義的形式語言，目的是規定哪些符號串是所研究的形式系統的合式公式；其次，給出這一形式語言的語義解釋，這需要利用賦值給出合式公式有效性定義；然后，給出這一形式系統的公理和推理規則；再次，根據這一形式系統的語言、語義、公理和推理規則，尋找相關定理；最后，研究系統的可靠性、完全性、可判定性和復雜性等等。

哲學本體論是研究隱藏在真實世界背后存在的最高本質，即對本體、屬性和關系進行哲學思考。因此，現代邏輯學本體論的現實原型就是現實世界的本體、屬性和關系。從科學哲學的視角看，不論是計算機科學、應用數學，還是邏輯學，一般都遵循著相同的研究思想——結構主義的研究思想：重要的不是個體對象、集合，而是所研究對象的結構以及結構之間的關系。正如高斯所說：“數學是關于關系的科學，從關系中可以抽象出任何概念。”彭加勒也認為，“數學家不是研究對象，而是研究對象之間的關系”[11]1-34。計算科學的基本特征就是研究對象的構造性的數學特征，并利用定義和解釋，在對現實中的對象進行抽象和模型化的基礎上，給出相關定理的證明[12]89。

從19世紀末以來發展起來的數理邏輯、模態邏輯、動態邏輯(包括命題動態邏輯、量化動態邏輯)、認知邏輯、廣義量詞理論、類型邏輯語法、范疇類型邏輯等邏輯分支，都或明或暗地采用了結構主義的方法，即對象的結構化的總體特征常常靠利用公理化方法、對象間的映射與同構來加以研究。從20世紀以來，作為數學哲學的結構主義，就已經成為研究邏輯學的主導方法，在模態邏輯、命題動態邏輯、廣義量詞理論和范疇類型邏輯中表現得尤為突出。從總體上看，結構主義的特征在邏輯學一直或隱或顯地存在著，正是這一結構主義特征激發了邏輯學界、科學哲學界等對結構主義進行深入研究的興趣。

筆者認為：不論數學結構主義有多少種學派，也不論各學派之間有何分歧，邏輯學，尤其是形式化的現代邏輯學，幾乎都或隱或顯地采用了結構主義的研究方法。也就是說，形式化的現代邏輯學主要是描述各自論域中的各種研究對象的結構性特征及其相互關系，而不必考慮具體對象的內在的品質，不同的邏輯對象可以由其相應結構的性質或結構之間的基本關系來表示。

比如：模態邏輯充分考慮了含有“可能”和“必然”的模態語句的這一命題結構，引入了“可能”和(或)“必然” 模態詞，對傳統的一階邏輯進行擴展而得到的。因為預設的公理和推理規則不同，而得到的模態系統也不同，對這些模態系統的框架進行解釋就可以得到不同的模型。認知邏輯則是模態邏輯的改版，即：把模態邏輯中的必然算子，解釋成相信算子或知道算子等而得到的。雖然各個邏輯系統千差萬別，但是，各個系統所給出的句法和語義，以及隨之而定義的框架與模型和在此基礎上對可靠性和完全性、可判定以及復雜性的探討等等，都或隱或顯地彰顯了結構主義的特征。

由于很多數學都研究抽象的結構，因此，數學結構主義在數學哲學中占據著主導的地位。根據數學結構主義的觀點，數學理論描述各自論域中的結構的性質，而不必考慮所討論對象的內在品質[13]。狄德金主張把數學結構作為以集合、運算和關系的系統的基礎，并認為同構概念與結構的類型緊密相關[3]10。為了準確清晰地表述“結構”或“結構映射”的概念，數學只有利用集合論，或者只有利用作為結合論的一個分支的模型論，才能夠準確表征結構、結構映射等概念。因此，集合論就成為結構主義重建數學的語言基礎，成為結構主義表述各種數學對象及其相互關系的基本語言。作為現代邏輯學的重要分支之一的廣義量詞理論，集合論語言是其基本語言，因此，廣義量詞理論也采用了結構主義的研究方法。下面，筆者將以廣義量詞理論為例，來考察結構主義在現代邏輯學中的具體體現。

三 結構主義在現代邏輯學中的具體實例

廣義量詞理論是揭示廣義量詞的普遍語義性質和推理特征的自然語言邏輯理論。集合論視域下的廣義量詞是通過對自然語言中的名詞短語或其限定詞進行語義解釋后而得到的。即：廣義量詞對應于所有名詞短語或其限定詞的指稱。一階邏輯的全稱量詞和存在量詞也是廣義量詞。可見，廣義量詞理論是在一階邏輯和集合論的基礎上發展起來的，它對廣義量詞的真值定義是建立在標準模型論的基礎之上，廣義量詞的量化論域是由個體組成的集合，真值的模型論概念則是利用非邏輯符號的解釋和量化論域來加以表述的[14]40-41。廣義量詞理論以集合論語言作為其基本語言，而集合論語言是結構主義表述各種數學對象及其相互關系的基本語言，因此，廣義量詞理論在諸多方面都體現了數學結構主義的思想。

(一)廣義量詞的同構閉包性彰顯了結構主義的思想

1957年，莫斯托維斯基(Mostowski)為〈1〉類型廣義量詞附加了這樣條件：不允許我們對論域中的元素加以區分。1966年，林登斯托姆(Lindstr?m)把這一條件推廣到更為普遍的情況，而且這一條件得到了邏輯學家的公認。這一條件被稱為同構閉包(isomorphism closure)，即：在邏輯中，只有結構才是重要的，個體對象、集合本身并不重要。這一思想與數學哲學中的結構主義思想不謀而合。用邏輯的術語來表述同構閉包的思想就是：如果一個邏輯語言中的語句在一個模型中為真，那么該語句在所有的同構模型中為真。即：邏輯是主題中立的[14]95。如果邏輯是獨立于主題事物，那么邏輯常元將在論域間的任意雙射下都是不變的，或者更弱一點地說，邏輯常元在論域的任意置換下是不變的[14]324-325。比如：假設把“學生”一一映射成“狗狗”，把“面包”一一映射成“骨頭”，把“在吃”一一映射成“在啃”，那么，如果“每個學生最少吃三塊面包”在一個模型中為真，那么“每個狗狗最少啃三塊骨頭”肯定在其同構模型中也為真。這說明，“每個”和“最少三(塊)”具有同構閉包性。可見，邏輯學對所有對象都同等對待，邏輯性質不但在嚴格變換下是不變的，而且在所有雙射下也是不變的[14]325。

同構閉包不僅僅局限于量詞。比如，命題聯結詞也不關注主題事物：合取詞可以統一運用于兩個語句或兩個集合或兩個別的對象，而不考慮這兩個對象的具體內容，僅僅考慮這兩個對象的結構。這說明，同構閉包表達的思想與結構主義的思想也是相通的。對于自然語言量化而言，同構閉包具有重要的意義。莫斯托維斯、林登斯托姆、塔斯基和范本特姆都認為，滿足同構閉包性是滿足邏輯性的必要條件[14]327-328。值得我們注意的是，邏輯學家和計算機科學家，在實踐中提出的所有形式語言都具有這樣的性質：真在同構下得以保持，在系統中使用的所有算子以及由這些算子定義的別的所有算子，都滿足同構閉包性[14]328。

(二)廣義量詞的真值定義體現了結構主義的思想

從語法的視角看，一個廣義量詞是一個變元約束算子，此算子把每個定義域與其任意子集間的一個二元關系聯系起來。從語義的視角看，一個廣義量詞是一個映射，此映射通過表征廣義量詞的論元集合的性質或論元集合之間的關系，來揭示廣義量詞的語義性質[15]。例如：每個亞氏量詞(即：all、some、no、not all這四個特殊的廣義量詞)實際上表示的是個體的集合之間的一個特殊的二元關系。比如：在“所有學生都去操場了”中，令論域中所有學生組成的集合用S表示，論域中所有去操場的個體組成的集合用P表示，這一語句就可以表示為all(S, P)這一三分結構，其真值定義all(S, P)?S?P的意思是，集合S是包含在集合P中，即：論域中，所有學生組成的集合包含在所有去操場的個體組成的集合中。

從以上的分析可以看出，廣義量詞理論很好地詮釋了數學結構主義的內涵。比如：all(S, P)這一三分結構還可以表示“所有的人都是要死的”、“所有的狗狗都要睡覺”、“所有的大米都吃完了”等等，這里的“學生”“人”、“狗狗”“大米”等對象所組成的集合S，以及這些對象分別與“去操場了”、“要死的”、“要睡覺”和“吃完了”等對象所組成的集合P，這些具體對象本身并不重要，重要的是這些語句都可以用all(S, P)這一三分結構來加以統攝。其真值條件就是，當S?P(即S包含于P時)時，all(S, P)就為真。

(三)廣義量詞理論對單調性的處理也展示了結構主義的思想

廣義量詞的單調性是廣義量詞最為重要的語義性質。例如：至少三分之二的學生認真完成了作業。?至少三分之二的學生完成了作業。令S表示論域中所有學生組成的集合，P表示論域中認真完成作業的個體組成的集合，P′表示論域中完成作業的個體組成的集合。“至少三分之二的學生認真完成了作業”可表示成at least 2/3(S, P)這樣的三分結構，“至少三分之二的學生完成了作業”可表示成at least 2/3(S, P)這樣的三分結構。這一單調性推理可形式化為at least 2/3(S, P)?at least 2/3(S, P′)，由于P?P′，由P到P′，集合在增大，因此，這一推理體現了“至少三分之二的”這一廣義量詞的右單調遞增的性質。而P?P′可以理解為，所有的P都是P′，這可表示成all(P, P′)。具體地說，就是：所有認真完成了作業的個體都是完成了作業的個體。這一單調性推理其實是省略了all(P, P′)這一前提的廣義三段論推理，其形式化結構為：at least 2/3(S, P)∧all(P, P′)?at least 2/3(S, P′)。事實上，所有關于廣義量詞的單調性推理，都是省略了一個暗含前提的廣義三段論推理。

可見，廣義量詞理論對單調性的處理所使用的基本語言也是集合論語言，這一語言也是結構主義的基本語言，因而體現了結構主義的思想。1984年范本特姆提出的利用數字三角形方法，來表征具有駐留性、擴展性和同構閉包性的〈1〉類型和〈1, 1〉類型廣義量詞的單調性，其背后也暗含了濃烈的結構主義思想。限于篇幅，不再詳細論述。

(四)基于廣義量詞理論的廣義三段論推理蘊涵了結構主義的思想

正如一階邏輯的全稱量詞和存在量詞是廣義量詞的特例一樣，亞氏三段論也是廣義三段論的特例。自亞里士多德開始的很長時期內，對亞氏三段論的有效性的研究，幾乎都是采用的是非形式化的方法。自從有了廣義量詞理論后，對包括亞氏三段論在內的廣義三段論的研究，就可以用形式化的方法來對其進行表示和有效性的證明[1]155-202。而且利用廣義量詞理論，不僅可以對24個有效的亞氏三段論進行形式化，而且還可以對其進行公理化[16]。這種形式化的邏輯研究方法不僅拓展了邏輯研究的范圍、提升了邏輯學的研究能力，更重要的是有利于計算機科學中的知識表示、知識推理和自然語言信息處理。

廣義量詞理論完成以上這些任務主要還是利用了集合論語言，彰顯了結構主義的思想。具體地說，就是充分利用了“含有〈1, 1〉類型的廣義量詞Q的量化語句具有Q(S, P)這樣的三分結構”這一知識。〈1, 1〉類型的廣義量詞揭示的是所涉及的左論元所組成的集合與其右論元所組成的集合之間的二元關系。〈1〉類型的廣義量詞揭示的是所涉及的論元所組成的集合的性質。由于自然語言中的廣義量詞絕大多數都是〈1〉類型和〈1, 1〉類型的廣義量詞，而且對〈1〉類型的廣義量詞的研究可以轉化為對其〈1, 1〉類型的親緣廣義量詞的研究[1]46。因此，利用這一結構主義思想，就可以對自然語言中絕大部分廣義三段論進行形式化和有效性的證明。簡言之，這一結構主義的研究方法具有很強普適性。

例如：“所有渴望暴富的人都是浮躁之人。大多數人都是渴望暴富的人。所以，大多數人都是浮躁之人。”其中的“大多數的”對應的是〈1, 1〉類型的廣義量詞。令論域中所有人組成的集合用S表示，論域中浮躁之人組成的集合用P表示，論域中渴望暴富的人組成的集合用M表示。利用結構主義的形式化表示方法，這一廣義三段論，可以形式化為：all(M, P)∧most(S, M)?most(S, P)。利用廣義量詞的真值定義就可證明這一廣義三段論的有效性。證明：假設all(M, P)與most(S, M)這兩個條件均成立。根據all和most的真值定義可知：all(M, P) ?M?P，且most(S, M)?|S∩M|≥|0.55|S|，因此，|S∩P|≥0.55|S|。再根據most的真值定義“most(S, P)?|S∩P|≥0.55|S|”可知：most(S, P)成立。證畢。對亞氏三段論和其他廣義三段論的形式化及其有效性的證明均可以類似處理。可見，利用結構主義的形式化研究方法，可以簡潔明了地對包括亞氏三段論在內的廣義三段論進行形式化及其有效性的證明。

筆者多年的研究表明：這一結構主義研究方法普適性非常強。因為不論是自然語言中無處不在的廣義量詞的單調性推理，還是亞氏三段論推理，抑或是廣義三段論推理，以及建基于這三種推理之上的語篇推理，都可以使用這種結構主義的研究方法來進行形式化及其有效性的證明。

四 結論

綜上所述，弗雷格學派主張“數學是邏輯學的一個分支”，布爾學派則認為“邏輯學是數學的一個分支”， 事實上，二者是“你中有我”、“我中有你”，不能相互剝離。現代邏輯學的蓬勃發展，離不開對邏輯進行哲學反思。就像邏輯學與數學不能相互剝離一樣，邏輯哲學和數學哲學其實也是很難剝離開來的。20世紀以來，結構主義在數學哲學中占據著主導地位，作為與數學密不可分的現代邏輯學也具有結構主義特征，即：重要的是考察所研究對象的結構以及結構之間的關系，而不必考慮所研究對象本身的內在品質。現代邏輯學的總體特征就是研究對象的構造性的數學特征，即：在句法和語義的基礎上，利用定義、公理和推理規則，對現實中的對象進行抽象化和模型化，進而給出相關定理的證明。作為現代邏輯學重要分支之一的廣義量詞理論，以集合論語言作為其基本語言，而集合論語言也是結構主義表述各種數學對象及其相互關系的基本語言，因此，廣義量詞理論在諸多方面都體現了數學結構主義的思想。

由于數學結構主義根據結構所依附的個體不同，可以分為集合論結構主義、先物結構主義、范疇論結構主義、模態結構主義這四大主要的學派；加之現代數學與現代邏輯學都是主要研究各自領域中的抽象的結構及其相互關系，通過揭示結構之間的各種關系來處理各種現實問題等共同點，以及形式化的現代數學和現代邏輯學難以剝離的親緣關系，都有必要對現代邏輯學進行進一步的哲學反思。例如：現代邏輯學的各分支學科(比如：模態邏輯、認知邏輯、動態邏輯、廣義量詞理論、范疇類型邏輯、類型邏輯語法等)是否集中體現了數學哲學不同學派的結構主義？從前面的論述中不難看出，廣義量詞理論所采用的結構主義研究方法更多的屬于集合論結構主義的范疇。模態邏輯、認知邏輯和動態邏輯所采用的結構主義是否更多趨向于模態結構主義？范疇類型邏輯、類型邏輯語法所采用的結構主義方法是否屬于范疇結構主義呢？等等問題，都需要我們進一步地進行更加深入細致的研究。

注釋:

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