傳動柔性提升機神經網絡魯棒控制及振動抑制

王志剛，朱　暢，郭宇飛

(1.武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室,湖北 武漢,430081；2.武漢科技大學機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室,湖北 武漢,430081)

作為一種常見的垂直運輸設備，傳統物料提升機質量大、負載/自重比低，一般被視為剛性結構，但實際工作時，其關節鉸接和傳動鏈(帶)等結構具有一定的柔順性。這種特性可以對物料裝卸時產生的沖擊起到緩沖效果，但也會引起關節柔性部位的高頻振動。因此，可以將機械臂關節的柔順特性按Spong模型[1]簡化為線性扭(彈)簧，主動引入到物料提升機運動控制研究中，并對柔性關節在運動中產生的高頻振動加以抑制，使系統具有更高的控制精度[2-3]。

引入柔性關節特性后的物料提升機剛-柔系統表現出非線性、強耦合等特點[4-5]，采用傳統剛性系統的控制方法無法對柔性振動加以抑制，且不能保證系統的穩定性。郭闖強等[6]針對機械臂柔性關節振動問題，設計了基于振動力矩負反饋的PD控制器，可快速抑制振動。Liu等[7]將輸入成型理論與反饋線性化結合，采用對基準輸入預成型的方法抑制柔性振動。不過，上述控制器雖對機械臂運動中產生的振動加以抑制，卻未考慮復雜的外界干擾。Alam等[8]則針對有擾動的單桿柔性臂，基于遺傳算法對模糊控制中的比例因子進行調節，設計了混合控制器，削弱了柔性桿運動時末端的振動，但該控制器設計較為復雜，增加了實時控制的難度。

通過奇異攝動法可將適合任意剛性系統的控制器用于柔性系統中，不需要針對柔性系統設計專用控制器，其原理是將剛-柔耦合系統中的剛性軌跡運動與柔性振動通過降階的方法分解為慢、快兩個時變子系統，獨立設計控制器，慢變子系統可設計成剛性運動魯棒控制器，快變子系統則設計成可快速抑制振動的反饋控制器[9]。Aoustin等[10]基于奇異攝動理論設計控制器，實現了兩自由度柔性桿機械臂的魯棒位置控制及振動抑制。陳志勇等[11]采用奇異攝動法，針對柔性關節空間機械臂設計了能對系統參數不確定因素進行補償的滑模神經網絡混合控制器，保證了機械臂控制的精確性。

在上述滑模神經網絡控制器中，神經網絡起到了對系統誤差進行逼近的作用，在不能建立系統準確模型的情況下，RBF神經網絡可實時辨識系統的模型誤差并進行調整[12]，而且這種基于神經網絡設計的修正控制器是整個控制系統的附加部分，可以應用到很多非線性控制系統中[13]。Wang等[14]為克服機器人系統的不確定性和外界干擾，基于RBF神經網絡以及Hamilton-Jacobi-Issacs (HJI)不等式設計了一種混合自適應魯棒跟蹤控制器，其中，RBF神經網絡即為一種附加控制，其作用是將系統及建模誤差視為外界干擾進行在線辨識及逼近，然后通過HJI魯棒控制器將其衰減到規定范圍內，以實現機械臂位置的魯棒控制。

本文為提高物料提升機位置控制精度與抗沖擊能力，將傳動鏈和諧波驅動裝置的柔順特性引入其模型中，并建立整個系統的拉格朗日動力學方程?；谄娈悢z動法將系統降階為快、慢兩個時變子系統。慢變子系統采用基于HJI理論和RBF神經網絡的魯棒控制，以實現系統剛性部分軌跡的精確控制；快變子系統則通過速度差值反饋控制器抑制柔性關節的振動。最后通過仿真來驗證該混合控制器的有效性。

1　傳動柔性物料提升機模型

1.1　結構原理與三維模型

物料提升機結構如圖1所示[15]，主要由支架、升降安裝板和帶料斗的翻轉支臂三個部分組成。電機通過鏈輪帶動安裝板沿支架上下移動，承載物料的料斗安裝在支臂末端，支臂可繞安裝板上的旋轉軸翻轉，其三維模型如圖2所示。

圖1　物料提升機的結構

圖2　物料提升機三維模型

1.2　動力學模型

建立傳動柔性物料提升機動力學模型時主要考慮升降和翻轉兩個部分，其簡化模型見圖3，其中柔性關節的簡化模型見圖4。升降部分傳動柔性是將傳動鏈簡化為具有質心的線性彈簧,等效剛度為k1；翻轉部分傳動柔性是將諧波驅動裝置簡化為線性扭簧，轉動慣量等效到電機轉軸上,等效扭轉剛度為k2。建立如圖3所示的OXY慣性坐標系,A1為鏈條等效質量質心，A2和A3分別為升降部分和旋轉支臂，支臂長為L。y和yL分別為升降部分位移和鏈條位移；θ和θL分別為支臂轉角和電機軸轉角。

圖3　傳動柔性物料提升機簡化模型

Fig.3Simplifiedmodeloftheelevatorwithtransmissionflexibility

圖4　柔性關節簡化模型

采用拉格朗日方法建模，其動力學方程如下：

(1)

式中:M1為系統正定慣性矩陣；M2=diag(mL,I)為柔性關節慣性矩陣；N為哥氏力、離心力矩陣；G為重力矩陣；K=diag(k1,k2)為柔性關節剛度系數矩陣；q=(y,θ)為系統廣義位移；qL=(yL,θL)為傳動部分的柔性位移；u=τ1,τ2為驅動力矩向量。

1.3　奇異攝動模型

傳動鏈和諧波驅動裝置的關節柔性會引起系統的彈性振動，影響整個系統的穩定性和控制精度，所設計的控制器必須同時滿足物料提升機位置控制和柔性關節振動抑制兩方面要求。采用奇異攝動法將系統分解為快、慢兩個時變子系統：慢變子系統表征系統剛性運動，控制律為us；快變子系統表征系統柔性振動，控制律為uf。因此系統混合控制律如下：

u=us+uf

(2)

(3)

(4)

令ε=0,電機轉子與關節之間近似為剛性聯接，并將其代入式(4)，可得慢變子變量：

(5)

將上式中的zs代入式(3)中，經化簡可得慢變子系統的動力學方程：

(6)

其中H(q)=M1+M2。

(7)

(8)

(9)

式(6)和式(9)即為降階后的慢、快變子系統的奇異攝動模型。

2　控制器設計

由式(2)可知，完整的系統控制器由快變子系統控制器uf和慢變子系統控制器us組成。前者實現對柔性關節振動的主動抑制，后者實現物料提升機的位置控制。

2.1　快變子系統控制器

將系統傳動關節運動速度與柔性關節運動速度的差作為反饋，基于該反饋值設計快變子系統控制器：

(10)

式中：Kf=Kα/ε，其中Kα為正定對角矩陣。系統通過反饋的速度差值調節uf以實現振動抑制和保持系統的穩定性。

2.2　慢變子系統控制器

由于物料提升機工作環境復雜，運輸時有不確定的外界干擾，并且裝載的物料質量具有可變性，所以精確的物料提升機數學模型難以建立。針對這種情況，本文采用基于HJI理論和RBF神經網絡設計的魯棒控制器[12]，通過神經網絡對系統參數誤差進行逼近和自適應調整，再通過魯棒控制器將該誤差進行約束，使其降低到規定范圍以內，以保證系統能在參數不確定的情況下快速到達期望軌跡。

2.2.1HJI定理

針對如下模型：

(11)

其中d為外界干擾，設η為系統參數，為了評判系統抗干擾能力，可定義性能指標J：

(12)

2.2.2控制器設計和穩定性證明

在物料提升機動力學方程式(6)中加入系統建模誤差，得到方程如下：

(13)

定義期望軌跡為qd，軌跡誤差為e=q-qd，設計前饋控制律為：

(14)

式中：T為反饋控制律。

將式(14)代入式(13)，可得閉環系統為：

(15)

Δf=W*Φ+δ

(16)

式中：W*為RBF理想權值；Φ為RBF高斯基函數；δ為逼近誤差。

定義

(17)

式中：α>0，為一常數。

將式(13)改寫為：

(18)

(19)

針對式(18)所表示的系統，設計自適應調整律為：

(20)

設計系統控制律為：

(21)

式(14)所表示的慢變子系統控制器結構如圖5所示：

圖5　慢變子系統控制器結構

閉環系統式(15)滿足HJI定理，即J≤λ，下面證明系統的穩定性。

定義Lyapunov 函數為:

(22)

由式(18)和式(21)可得:

(23)

定義函數H為

(24)

鑒于:

可得H≤0，再根據式(24)中H的定義，可知：

(25)

式(25)即表明系統穩定。

3　仿真及結果分析

為檢驗所設計的控制器對傳動柔性物料提升機模型的控制有效性，進行兩組仿真實驗：①通過開、關快變子系統控制器(式(10))，檢驗柔性關節振動抑制效果以及其對整個系統穩定性的影響；②通過在模型中加入參數不確定性和外界干擾，檢驗慢變子系統控制器(式(14))的控制精度和魯棒性。系統模型參數及控制器參數如表1～表2所示。

表1　系統模型參數

表2　控制器參數

選取機械臂初始狀態為：

(26)

不失一般性，可選零狀態為期望狀態，仿真結果如圖6～圖11所示。

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

(a) 振動未抑制

(b) 振動抑制

首先，不考慮外界擾動，即采用標稱模型。關閉系統的快變子控制器，不對柔性關節振動進行>主動抑制，圖6(a)～圖11(a)分別為不抑制振動情況下系統的廣義位移、速度和控制力矩。從圖6(a)和圖7(a)可知，系統廣義位移軌跡在趨于零狀態附近時會呈現出有規律的振蕩現象，其振幅相對于整體軌跡較小，但并未收斂。從圖8(a)～圖11(a)可知，系統的速度響應與控制力矩在運動軌跡趨于零狀態的過程中，其振幅不斷增大，呈發散趨勢，系統處于不穩定狀態。這說明柔性關節振動對系統軌跡控制影響較大，使其難以達到期望軌跡。

采用標稱模型且開啟系統快變子控制器的仿真結果如圖6(b)～圖11(b)中的實線部分(系統參數確定)所示，與圖6(a)～圖11(a)對比可知，系統的廣義位移、速度和控制力矩的振蕩現象在運動初始就得到明顯抑制，柔性關節振動控制效果較好，系統廣義位移快速到達期望位置，速度趨于零狀態點，系統處于穩定狀態。為檢驗控制器應對復雜工況時的控制效果，取系統參數誤差為：

并在開啟系統快變子控制器的情況下進行仿真，結果如圖6(b)～圖11(b)中的虛線部分(系統參數不確定)所示，與相應圖中實線部分對比可知，當系統參數存在誤差時，其系統響應曲線與標稱模型的系統響應曲線的變化趨勢基本一致，但響應速度稍慢，柔性關節振動同樣得到較好抑制。這表明該復合控制器能夠克服系統參數誤差的影響，可對其進行補償，且能有效消除因關節柔性而導致的振動，系統狀態穩定。

4　結語

為提高物料提升機控制精度和抗沖擊能力，本文考慮到傳動鏈和諧波減速裝置的傳動柔性，將其簡化為無慣量線性扭(彈)簧，提出一種傳動柔性物料提升機模型，并建立系統拉格朗日動力學方程。

基于奇異攝動理論，將剛-柔耦合模型的控制降階為軌跡控制和振動抑制兩部分。設計了一種自適應RBF神經網絡控制器對系統參數誤差進行逼近，并通過HJI魯棒控制器使誤差衰減到規定范圍內，以實現剛性系統的軌跡控制。對于柔性振動部分，基于柔性傳動部件速度差值設計振動抑制控制器。

經仿真驗證，所設計的復合控制器能克服未知載荷參數和有界外部干擾的影響，實現系統點對點位置的精確控制，魯棒性較好，并能對柔性關節振動進行快速抑制，可有效保持整個系統的穩定性。

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